[Aufgabensamlung] Fragen & Antworten 2

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[Aufgabensamlung] Fragen & Antworten 2
Hier gibt es eine kleine Sammlung von 15 Aufgaben in "Frage & Antwort" Form. Lesen2

Themen
  • Polynominterpolation (28, 33 )
  • numerische Integration (29, 31, 32 )
  • Gewichte von Quadraturformeln (26, 30 )
  • Integration durch Extrapolation (27 )
  • trigonometrische Interpolation (36) 38)
  • Tschebyscheff-Polynome (34)
  • Fourier-Transformation (35)
  • Bernstein-Polynome (37)
  • Cholesky-Zerlegung (39)
  • Singulärwertzerlegung (40 )

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 26 - Gewichte von Quadraturformeln
Richtig oder falsch?

Alle Gewichte der Gauß-Legendre Formeln sind betragsmäßig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 26
Richtig. Die Gewichte sind nicht negativ und summieren auf die Intervallänge 2 (Intervall [-1,1])
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 27 - Extrapolation
Nehmen sie an, dass eine Integrationsformel mit Schrittweite h folgende Fehlerentwicklung




  1. Schätzen sie s_0 mit Hilfe von Extrapolation aus den Werten



  2. Interpretieren sie den extrapolierten Wert als Wert eines Polynoms p an der Stelle 0 und geben Sie p bezüglich der Daten aus (a) in der Newton Form an.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 27a
Es ist der wahre Wert des Integrals und s(h) eine von der Schrittweite h abhängige Näherung. So können wir die Gleichung wie folgt umschreiben:




Die angegebene Tabelle beinhaltet übersetzt auf die im Workshop verwendeten Bezeichnungen die Daten:










Mit der Vorgehensweise zum Erhalt Formeln höherer Ordnung ergeben sich dann folgende Näherungswerte für das Integral:






Eine weitere Wiederholung des Verfahrens ist noch möglich. Beachte, dass nun verwendet werden muss.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 27b
Hier liegt im Gegensatz zur Romberg-Integration (sum. Trapezregel) das Fehlerpolynom in h und nicht h² vor. Es kann zur Extrapolation das Neville-Schema 1 zu 1 übertragen werden.

code:
1:
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3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Neville Schema  - Funktionswerte bei 0 
=====================================
 
NW =
    1.0000    1.9100    0.9900    1.2300
    0.5000    1.4500    1.1700         0
    0.2500    1.3100         0         0


Um die Koeffizienten der IPS in Newton-Form zu gewinnen, verwenden wir das Schema der dividierten Differenzen.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
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16:
17:
18:
Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
            1         1.91         0.92         0.48
          0.5         1.45         0.56            0
         0.25         1.31            0            0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         + 1.91 
         + 0.92 * [x - 1]   
         + 0.48 * [x - 1] [x - 0.5]


Das Auswerten an der Stelle 0 erledigt man durch einsetzen:



 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 28 - Polynominterpolation
Richtig oder falsch?

Ist die dividierte Differenz f[1,2,3] einer glatten Funktion f größer als 4, so folgt

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 28
Aus der Darstellung der dividierten Differenzen wissen wir dass gilt





Damit folgt:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 29 - Numerische Integration
  1. Gegeben sei das Integral und die Knoten . Bestimmen Sie dazu eine Quadraturformel mit Exaktheitsgrad 2.

  2. Von einer Funktion seien folgende Funktionswerte gegeben:



    Nähern Sie das Integral mit der zusammengesetzten Keplerregel unter Verwendung aller gegebenen Funktionswerte an.

  3. Schätzen Sie unter der Voraussetzung den Fehler ab.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 29a
Da die Quadraturformel die den Exaktheitsgrad 2 hat, besitzt die Ordnung 3. Es werden also Polynome bis zum Maximalgrad 2 exakt integriert. Es muss also gelten, angepasst an die Bezeichnungen des Workshops.







Das ergibt dann








Nun muss man mittels Gaussalgorithmus das folgende LGS lösen:













Somit lautet die Quadraturformel:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 29b
Zusammengesetzte Keplerregel wird auch als zusammengesetzte Simpsonregel bezeichnet. Damit erhalten wir, insbesondere unter der Beachtung der Maschenweite





Dabei gilt hier:








tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 29c
Es gilt die Fehlerabschätzung




Damit erhalten wir hier:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 30 - Gewichte von Quadraturformeln
Richtig oder falsch?

Alle Gewichte der Gauß-Formel für sind positiv.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 30
Richtig. Zum Beweis.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 31 - numerische Integration
Richtig oder falsch?

Die Trapezregel ist für periodische Funktionen exakt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 31
Falsch,

es gilt lediglich, dass glatte periodische Funktionen auf Integrationsintervallen die einem ganzzahligen Vielfachen der Periodenlänge entsprechen mit beliebig hoher Ordnung approximiert werden können.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 32 - Interpolation & Integration
  1. Schätzen Sie das Integral aus den folgenden Daten mit quadratischer Interpolation




  2. Geben Sie eine obere Schranke für den Fehler mit Hilfe von an.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 32a
code:
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14:
15:
16:
Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
    -1     6    -5     3
     0     1     1     0
     1     2     0     0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         +    6 
         -    5 * [x + 1]   
         +    3 * [x + 1] [x - 0]    


code:
1:
2:
3:
p_ 2(x)= 
 
     + 1 * x^0     - 2 * x^1     + 3 * x^2  



Hieraus folgt die Integralabschätzung:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 32b
Für den Interpolationsfehler gilt:




Somit ergibt sich folgende Abschätzung für den Integrationsfehler:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 33 - Polynominterpolation
  1. Es sei beliebig oft differenzierbar, und es gebe ein M > 0, so dass

    Weiter sei eine Folge gegeben mit

    Zeigen Sie, dass die Folge der interpolierenden Polynome mit auf ]a,b[ gleichmäßig gegen f konvergiert.

  2. Nun soll die Funktion in n äquidistanten Stützstellen durch Polynome interpoliert werden. Konvergiert die Folge der interpolierenden Polynome gegen f? Wie ist diese Beobachtung mit (a) zu vereinbaren?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
33. Lösung
...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 34 - Tschebyscheff Polynome
Entwickeln Sie das Polynom nach Tschebyscheff-Polynomen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 34
code:
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11:
12:
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14:
15:
Es werden Monom- in Tschebyscheff-Koordinaten umgerechnet.
Höchstgrad ist n=10
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koordianaten: a_0 ,...,  a_n
 
Monom-Koordinaten eingeben:   [-1,-3,22,-8,-32,16]
 
------------------------------------------------------------------------------
 
Tschebyscheff-Koordinaten:  -2,  1,  -5,  3,  -4,  1,  
 
p_ 5(x)=      - 2 * T_0(x)     + 1 * T_1(x)     - 5 * T_2(x)     + 3 * T_3(x)     - 4 * T_4(x)     + 1 * T_5(x) 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 35 - trig. Interpolation
Richtig oder falsch?

Die Fourier-Transformierte des Vektors ist
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 35
Richtig.

Ein kleiner Test legt die Gültigkeit der Behauptung nahe.

code:
1:
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6:
sft([1;1;1;1;])
ans =
     4
     0
     0
     0


Schauen wir uns die zugehörige Fouriermatrix an.



Etwas allgemeiner gesagt:



Die Multiplikation mit dem Vektor v entspricht der Bildung der Zeilensumme. Der Rest steht hier: [Workshop - Trigonometrische Interpolation]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 36 - trig. Interpolation
Richtig oder falsch?

Die diskrete Fouriertransformierte einen reellen Vektors ist reell.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 36
Falsch.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
sft([1;2;3;4])
ans =
  10.0000          
  -2.0000          
  -2.0000 - 2.0000i
  -2.0000 + 2.0000i
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 37 - Bernstein Polynome
Gegeben sei das Polynom .
  1. Bestimmen Sie die Bezier-Darstellung fur p(x).

  2. Berechnen Sie mit dem Algorithmus von Casteljau.

  3. Skizzieren Sie den Graphen des Polynoms sowie das Bezier-Polygons für in einem Schaubild
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 37a
Gegeben ist ein Polynom p in Monom-Darstellung. Nun führen wir einen Basiswechsel durch, so dass wir eine Darstellung bzgl. der Bernsteinpolynome ([Artikel] Bernstein - Polynome und CAD) erhalten. Als Vektorraum wählen wir aufgrund des Maximalgrads 3 von p den . Somit lauten die Basispolynome:









code:
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10:
11:
12:
13:
MtoB
 
Es werden Monom- in Bernstein-Koordinaten umgerechnet.
Höchstgrad ist n=3
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koordinaten: a_0 ,...,  a_n
 
Monom-Koordinaten eingeben:   [2,-3,3,4]
 
Bernstein-Koordinaten:  2,  1,  1,  6,  
 
p_ 3(x)=      + 2 * B_0(x)     + 1 * B_1(x)     + 1 * B_2(x)     + 6 * B_3(x) 


Damit lautet die Bezier-Darstellung von p:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 37b
Mit dem Algortihmus (siehe Anhang) ergibt sich durch fortgesetzte lineare Interpolation:

























tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 37c
Die Ecken des Bezierpolygons berechnen sich wie folgt:



Somit lauten hier die Punkte:



[attach]9217[/attach]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 38 - trig. Interpolation
Gegeben sei die Funktion Bestimmen sie bzgl. der Knoten , i=0,1,2, das reelle trig. Interpolationspolynom.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 38
code:
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20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
TrigoInt
 
Es wird trigonometrisch interpoliert.
 
Der Datensatz hat die Form
    Knoten:  [x_0,...,x_n]
    f-Werte: [y_0,...,y_n]
 
f-Werte eingeben: [1,-0.125,-0.125]
---------------------------------------------------
Current plot released
 
1. Approximation. Koeffizienten anzeigen? 0 - ja / 1 - nein 1
 
 
2. Trigonometrische Interpolation. Koeffizienten anzeigen? 0 - ja / 1 - nein  1
 
Current plot held
3. Diskrete Fourier Analyse. Koeffizienten anzeigen? 0 - ja / 1 - nein  0
 
ai =
    0.5000
    0.7500
bi =
 -1.8504e-017




[attach]9222[/attach]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 39 - Cholesky Zerlegung
Berechne die Cholesky-Zerlegung der MAtrix



und lösen sie damit das LGS Ax=b mit

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Aufgabe 39
code:
1:
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24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
Es wird eine LL^T-Zerlegung nach Cholesky berechnet
(Annahme: A ist SPD-Matrix)
 
A0 =
     9     3     3
     3     2    -1
     3    -1     7
 
 
Durchgang 1 
============
L =
     3     0     0
     1     0     0
     1     0     0
 
Durchgang 2 
============
L =
     3     0     0
     1     1     0
     1    -2     0
 
Durchgang 3 
============
L =
    3.0000         0         0
    1.0000    1.0000         0
    1.0000   -2.0000    1.4142
 
Die Cholesky-Zerlegung lautet:
==============================
L =
    3.0000         0         0
    1.0000    1.0000         0
    1.0000   -2.0000    1.4142
LT =
    3.0000    1.0000    1.0000
         0    1.0000   -2.0000
         0         0    1.4142


code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
L\[3;2;1]
ans =
    1.0000
    1.0000
    1.4142

LT\[1;1;sqrt(2)]
ans =
    -1
     3
     1
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Aufgabe 40 - Singulärwertzerlegung
Bestimme die Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse von

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe 40 - Singulärwertzerlegung


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