[Aufgabensamlung] Fragen & Antworten 2 |
27.12.2007, 11:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
[Aufgabensamlung] Fragen & Antworten 2 Themen
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27.12.2007, 11:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 26 - Gewichte von Quadraturformeln Richtig oder falsch? Alle Gewichte der Gauß-Legendre Formeln sind betragsmäßig |
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27.12.2007, 11:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 26 Richtig. Die Gewichte sind nicht negativ und summieren auf die Intervallänge 2 (Intervall [-1,1]) |
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27.12.2007, 11:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 27 - Extrapolation Nehmen sie an, dass eine Integrationsformel mit Schrittweite h folgende Fehlerentwicklung
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27.12.2007, 11:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 27a Es ist der wahre Wert des Integrals und s(h) eine von der Schrittweite h abhängige Näherung. So können wir die Gleichung wie folgt umschreiben: Die angegebene Tabelle beinhaltet übersetzt auf die im Workshop verwendeten Bezeichnungen die Daten: Mit der Vorgehensweise zum Erhalt Formeln höherer Ordnung ergeben sich dann folgende Näherungswerte für das Integral: Eine weitere Wiederholung des Verfahrens ist noch möglich. Beachte, dass nun verwendet werden muss. |
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27.12.2007, 12:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 27b Hier liegt im Gegensatz zur Romberg-Integration (sum. Trapezregel) das Fehlerpolynom in h und nicht h² vor. Es kann zur Extrapolation das Neville-Schema 1 zu 1 übertragen werden.
Um die Koeffizienten der IPS in Newton-Form zu gewinnen, verwenden wir das Schema der dividierten Differenzen.
Das Auswerten an der Stelle 0 erledigt man durch einsetzen: |
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27.12.2007, 15:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 28 - Polynominterpolation Richtig oder falsch? Ist die dividierte Differenz f[1,2,3] einer glatten Funktion f größer als 4, so folgt |
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27.12.2007, 16:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 28 Aus der Darstellung der dividierten Differenzen wissen wir dass gilt Damit folgt: |
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27.12.2007, 16:12 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 29 - Numerische Integration
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27.12.2007, 16:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 29a Da die Quadraturformel die den Exaktheitsgrad 2 hat, besitzt die Ordnung 3. Es werden also Polynome bis zum Maximalgrad 2 exakt integriert. Es muss also gelten, angepasst an die Bezeichnungen des Workshops. Das ergibt dann Nun muss man mittels Gaussalgorithmus das folgende LGS lösen: Somit lautet die Quadraturformel: |
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28.12.2007, 12:12 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 29b Zusammengesetzte Keplerregel wird auch als zusammengesetzte Simpsonregel bezeichnet. Damit erhalten wir, insbesondere unter der Beachtung der Maschenweite Dabei gilt hier: |
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28.12.2007, 14:33 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 29c Es gilt die Fehlerabschätzung Damit erhalten wir hier: |
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28.12.2007, 14:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 30 - Gewichte von Quadraturformeln Richtig oder falsch? Alle Gewichte der Gauß-Formel für sind positiv. |
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28.12.2007, 14:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 30 Richtig. Zum Beweis. |
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28.12.2007, 14:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 31 - numerische Integration Richtig oder falsch? Die Trapezregel ist für periodische Funktionen exakt. |
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28.12.2007, 14:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 31 Falsch, es gilt lediglich, dass glatte periodische Funktionen auf Integrationsintervallen die einem ganzzahligen Vielfachen der Periodenlänge entsprechen mit beliebig hoher Ordnung approximiert werden können. |
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28.12.2007, 14:55 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 32 - Interpolation & Integration
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28.12.2007, 15:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 32a
Hieraus folgt die Integralabschätzung: |
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28.12.2007, 16:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 32b Für den Interpolationsfehler gilt: Somit ergibt sich folgende Abschätzung für den Integrationsfehler: |
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28.12.2007, 19:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 33 - Polynominterpolation
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23.09.2008, 02:10 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
33. Lösung ... |
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23.09.2008, 02:12 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 34 - Tschebyscheff Polynome Entwickeln Sie das Polynom nach Tschebyscheff-Polynomen. |
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23.09.2008, 02:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 34
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22.11.2008, 12:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 35 - trig. Interpolation Richtig oder falsch? Die Fourier-Transformierte des Vektors ist |
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22.11.2008, 13:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 35 Richtig. Ein kleiner Test legt die Gültigkeit der Behauptung nahe.
Schauen wir uns die zugehörige Fouriermatrix an. Etwas allgemeiner gesagt: Die Multiplikation mit dem Vektor v entspricht der Bildung der Zeilensumme. Der Rest steht hier: [Workshop - Trigonometrische Interpolation] |
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22.11.2008, 13:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 36 - trig. Interpolation Richtig oder falsch? Die diskrete Fouriertransformierte einen reellen Vektors ist reell. |
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22.11.2008, 13:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 36 Falsch.
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22.11.2008, 17:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 37 - Bernstein Polynome Gegeben sei das Polynom .
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22.11.2008, 20:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 37a Gegeben ist ein Polynom p in Monom-Darstellung. Nun führen wir einen Basiswechsel durch, so dass wir eine Darstellung bzgl. der Bernsteinpolynome ([Artikel] Bernstein - Polynome und CAD) erhalten. Als Vektorraum wählen wir aufgrund des Maximalgrads 3 von p den . Somit lauten die Basispolynome:
Damit lautet die Bezier-Darstellung von p: |
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22.11.2008, 20:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 37b Mit dem Algortihmus (siehe Anhang) ergibt sich durch fortgesetzte lineare Interpolation: |
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22.11.2008, 22:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 37c Die Ecken des Bezierpolygons berechnen sich wie folgt: Somit lauten hier die Punkte: [attach]9217[/attach] |
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22.11.2008, 23:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 38 - trig. Interpolation Gegeben sei die Funktion Bestimmen sie bzgl. der Knoten , i=0,1,2, das reelle trig. Interpolationspolynom. |
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23.11.2008, 00:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 38
[attach]9222[/attach] |
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01.02.2009, 18:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 39 - Cholesky Zerlegung Berechne die Cholesky-Zerlegung der MAtrix und lösen sie damit das LGS Ax=b mit |
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01.02.2009, 18:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Lösung Aufgabe 39
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01.02.2009, 19:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aufgabe 40 - Singulärwertzerlegung Bestimme die Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse von |
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01.02.2009, 20:48 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Aufgabe 40 - Singulärwertzerlegung |
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