Extremwertaufgabe

27.12.2007, 11:39

wdfgea

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Extremwertaufgabe

Zwei Anschlussstellen A und B liegen abseits von einer Versorgungsleitung, die geradlinig durch die Punkte C und D verläuft (s. Skizze).
Die Punkte C und D sind 420m voneinander entfernt. Die Anschlussstelle A ist 85m von C und die Anschlussstelle B ist 135m von D entfernt. Die Lage einer Versorgungsstation soll geplant werden.

http://img153.imageshack.us/img153/6294/skizzexn8.th.png

Hier noch die Aufgabenstellung:

Die Kosten für die Anschlussleitung sollen minimal werden. Für die Streckenführung von A nach V sind 250€ pro Meter und für B nach V sind 605€ pro Meter zu planen.
Wo müsste man unter diesem Gesichtspunkt die Versorgungsstation V bauen?
Wie groß sind die Kosten für die gesamte Anschlussleitung A-V und V-B?

Danke für eure Hilfe.
Grüße
wdfgea

27.12.2007, 11:44

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe
Und was soll "optimiert" werden? Die Gesamtlänge [AV] + [VB] soll minimiert werden?

27.12.2007, 11:47

riwe

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RE: Extremwertaufgabe
pythagoras und differentialrechnung für anfänger sollten da aber genügen unglücklich

unglücklich

27.12.2007, 11:49

wdfgea

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RE: Extremwertaufgabe
Mein grundsätzlicher Ansatz war es erstmal die Funktionen für die beiden Dreiecke aufzustellen bzw. die einfache Formel für die Hypothenuse der Dreiecke.

Für das Linke:
\sqrt{(v+x)²*(f(x))²}

Für das Rechte:
\sqrt{(v+x)²*(f(x))²}

Da das aber zweimal die gleichen sind, denke ich, dass der Ansatz schon mal fürn A**** ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hilfe...

27.12.2007, 11:51

wdfgea

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RE: Extremwertaufgabe
Das hier einfache Mittel ausreichen weiß ich auch. Der Ansatz ist meistens schwer. Und die Übung fehlt mir auch.

Ein Forum sollte ja dafür da sein, seine Defizite zu erkennen und zu beseitigen.

Danke für die Hilfe!

27.12.2007, 12:02

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} [AC] = 85,~[BD]=135,~[CD]=420 \end{eqnarray*}$

Nun gilt für einen Versorgungspunkt V

$\begin{eqnarray*} [AV]^2 =[AC]^2 + [CV]^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [BV]^2=[BD]^2 + [VD]^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [CD] = [CV] + [VD] \end{eqnarray*}$

Nun mal die Werte einsetzen und die dritte Gleichung nutzen um eine Variable zu eliminieren. Am Ende gilt es dann die Kosten

$\begin{eqnarray*} K = [AV] \cdot 250 + [BV] \cdot 605 \end{eqnarray*}$

zu minimieren.

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27.12.2007, 12:21

wdfgea

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} [AC] = 85,~[BD]=135,~[CD]=420 \end{eqnarray*}$

Nun gilt für einen Versorgungspunkt V

$\begin{eqnarray*} [AV]^2 =[AC]^2 + [CV]^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [BV]^2=[BD]^2 + [VD]^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [CD] = [CV] + [VD] \end{eqnarray*}$

Nun mal die Werte einsetzen und die dritte Gleichung nutzen um eine Variable zu eliminieren. Am Ende gilt es dann die Kosten

$\begin{eqnarray*} K = [AV] \cdot 250 + [BV] \cdot 605 \end{eqnarray*}$

zu minimieren.

Wenn ich in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ einsetze habe ich doch noch die beiden Unbekannten $\begin{eqnarray*} [CV]^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [VD]^2 \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2007, 12:35

Airblader

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Du weißt aber was über CD.
Damit sollte es dir nicht schwer fallen, für CV etwas einzuführen. Und was dann VD ist, sollte dir auch auffallen Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

27.12.2007, 12:36

wdfgea

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Ich komme hier nicht weiter.

V ist unbekannt und somit ergeben sich pro Formel zwei verschiedene Variablen.
Da bringt mir das Einsetzen ja auch nichts. Hilfe

Hilfe

27.12.2007, 12:42

wdfgea

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Ich weiß immernoch dass es einfach ist, aber ich steh aufm Schlauch.

Natürlich ist $\begin{eqnarray*} CV = 420 - VD \end{eqnarray*}$ , aber dennoch habe ich dann eingesetzt in $\begin{eqnarray*} AV=\sqrt{85²+(420-VD)²} \end{eqnarray*}$ .

Dementsprechend ja wieder zwei Unbekannte... Was ist hier nur falsch!
Ich konnte den Kram mal! SCH****

Trotzdem Danke

27.12.2007, 13:01

klarsoweit

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Das AV kannst du dort einsetzen:

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} K = [AV] \cdot 250 + [BV] \cdot 605 \end{eqnarray*}$

Analog machst du das mit dem BV.

27.12.2007, 13:17

wdfgea

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} AV \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BV \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ einsetze bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{85²+(420-VD)²} * 250 + \sqrt{135²+(VD)²} * 605 \end{eqnarray*}$

Ist das so gemeint?

27.12.2007, 13:31

klarsoweit

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Genau. Nun sind die Kosten K nur noch von VD abhängig. Ich würde die Variable VD mal mit x bezeichnen. Dann ist man wieder auf bekanntem Terrain. smile

smile

27.12.2007, 13:38

wdfgea

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$\begin{eqnarray*} = \sqrt{85²+(420-x)²} * 250 + \sqrt{135²+(x)²} * 605 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (505-x)*250 + (135+x)*605 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 126250 - 250x + 81675 + 605x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 207925 + 355x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -585,704 \end{eqnarray*}$

Das macht keinen Sinn?! Eine negative Zahl?

27.12.2007, 13:58

klarsoweit

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Erstmal wäre es vorteilhaft, wenn du ein K(x)= davor schreiben würdest, um den funktionalen Zusammenhang zwischen der Strecke x und den Kosten K zu kennzeichnen.

Zweitens hast du wohl die bei Schülern beliebte Regel $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} = a + b \end{eqnarray*}$ verwendet. Wie man an dem Beispiel $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} =\sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 4 =7 \end{eqnarray*}$ sieht, ist diese aber total falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2007, 14:04

wdfgea

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Das habe ich wohl.

Jetzt habe ich allerdings da stehen

$\begin{eqnarray*} \sqrt{183625-840x+x²} + \sqrt{18225+x²} \end{eqnarray*}$

Und wie weiter?

27.12.2007, 14:10

klarsoweit

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Wie ich schon sagte: Mit einem K(x)= kennzeichnen wir, daß wir hier eine Funktion haben:

$\begin{eqnarray*} K(x)=\sqrt{183625-840x+x^2} + \sqrt{18225+x^2} \end{eqnarray*}$

Von dieser Funktion brauchst du das Minimum.

27.12.2007, 14:33

wdfgea

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Bevor ich ableiten kann, muss ich den Ausdruck doch erst zusammenfassen, oder?

Und dann nach der Kettenregel?

Bin ich denn überhaupt auf dem richtigen Weg?

27.12.2007, 14:37

klarsoweit

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Ja, du bist auf dem richtigen Weg. (Sonst hätte ich schon protestiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Nein, man kann nichts mehr zusammenfassen.

Ja, du mußt mit der Kettenregel ableiten.

27.12.2007, 14:55

wdfgea

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$\begin{eqnarray*} K'(x)=\frac{x-840}{\sqrt{x²-840x+183625}}+\frac{x}{\sqrt{x²+18225}} \end{eqnarray*}$

Bitte bestätigen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.12.2007, 15:02

klarsoweit

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Beim ersten Bruch hast du irgendwie eine 2 rausgekürzt, aber nicht ganz richtig.

27.12.2007, 18:56

wdfgea

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Warum wird die nicht rausgekürzt?

Beim zweiten ist der gleiche Fall und da kürze ich.

????

27.12.2007, 21:58

iammrvip

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Es ist

$\begin{eqnarray*} K(x) &=& \sqrt{x^2 - 840x + 183625}\\K'(x) &=& \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}}\cdot (-840 + 2x)\\&=& \frac{2x - 840}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt im Zähler die 2 ausklammerst, siehst du deinen Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

27.12.2007, 22:06

wdfgea

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Hab leider immernoch nicht verstanden, warum ich einmal kürzen darf und bei der zweiten Funktion nicht?
Kann ich also nur kürzen, wenn ich die 2 ausklammere?

Ist zwischen den Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2x-k}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

ein Unterschied?

Grüße

27.12.2007, 22:08

iammrvip

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Du darfst kürzen, aber wenn du im Zähler 2 ausklammerst steht da was?

27.12.2007, 22:13

wdfgea

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Da steht dann $\begin{eqnarray*} 2(x-420) \end{eqnarray*}$
Dann darf ich kürzen??

27.12.2007, 22:17

iammrvip

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Richtig, also erhälst du als Lösung nicht

$\begin{eqnarray*} K'(x) = \frac{x - 840}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} \end{eqnarray*}$

sondern?

27.12.2007, 22:21

wdfgea

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Es macht also keinen Unterscheid, ob ich den Bruch so stehen lasse:

$\begin{eqnarray*} K'(x) = \frac{x - 840}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} \end{eqnarray*}$

oder ausklammere und dann kürze:

$\begin{eqnarray*} K'(x) = \frac{2(x - 420)}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} \end{eqnarray*}$

Macht ja eigentlich keinen Unterschied?

27.12.2007, 22:32

iammrvip

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Nein.

klarsoweit meinte nur, dass du beim Kürzen von Zähler und Nenner nicht beachtet hast, dass im Zähler eine Summe steht.

Es ist

$\begin{eqnarray*} K'(x) &=& \frac{2x - 840}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} \end{eqnarray*}$

Nun klammerst du im Zähler die 2 aus zum Kürzen,

$\begin{eqnarray*} K'(x) &=& \frac{2(x - 420)}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun kürzt, kommst du auf das gewünschte Ergebnis.

27.12.2007, 22:33

wdfgea

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Da nun die Ableitung bekannt ist, setze ich diese nun Null, richtig?

Also

$\begin{eqnarray*} K'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x - 420)}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} \end{eqnarray*}$

Hänge an folgendem Schritt:

$\begin{eqnarray*} (x - 420)*\sqrt{x^2 + 18225} + x*\sqrt{x^2 - 840x + 183625} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich weiter?

27.12.2007, 22:46

iammrvip

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Lies bitte meinen letzten Beitrag.

27.12.2007, 22:49

wdfgea

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Es geht nicht mehr ums ableiten.
Hänge beim Null setzen!!

Hilfe

27.12.2007, 23:06

iammrvip

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Nein, es geht darum, dass du den letzten Beitrag nicht richtig verstanden hast.

Nochmal zur Veranschaulichung:

Es ist:

$\begin{eqnarray*} K(x) &=& \sqrt{x^2 - 840x + 183625} + \sqrt{18225+x²}\\K'(x) &=& \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}}\cdot (-840 + 2x) + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}}\\&=& \frac{2x - 840}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} \end{eqnarray*}$

Nun klammern wir im Zähler aus:

$\begin{eqnarray*} K'(x) &=& \frac{2(x - 420)}{2\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} \end{eqnarray*}$

Nun kürzen wir im Zähler und Nenner 2 und erhalten die erste Ableitung

$\begin{eqnarray*} K'(x) &=& \frac{x - 420}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich hast du jetzt verstanden was klarsoweit die ganze Zeit meinte ^^.

Noch eine kleiner Erklärung: Die erste Ableitung stellt bildlich die Steigung des Graphen in einem bestimmten Punkt. Logischerweise liegt demzufolge ein Minimun oder Maximum dann vor wenn die Steigung gleich 0 ist.

Z.B für $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ hat die Funktion demzufolge einen Extrempunkt (hier ein Minimum)

Am Graph

Vlt kannst du dir jetzt vorstellen, warum man $\begin{eqnarray*} K'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ setzen muss, um das Minimum zu ermitteln.

Zu deiner Funktion:

Wie du schon richtig gemacht hast, setzt duch $\begin{eqnarray*} K'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x - 420}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ich würde einen Summanden "auf die andere Seite bringen", also

$\begin{eqnarray*} \frac{x - 420}{\sqrt{x^2 - 840x + 183625}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} &=& 0 | - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 18225}} \end{eqnarray*}$

Die Wurzel auf eine Seite isolieren und die wurzelfreien Terme auf die andere, danach quadrieren und den Term normal lösen.

27.12.2007, 23:12

wdfgea

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Vielen Dank für die Antwort. Was gab dir denn den Anlass, dass ich das nicht verstanden habe. Ich weiß, dass ich einen Extremwert erhalten, wenn ich die 1.Ableitung null setze.

Die Ableitung war doch auch richtig. Und meine weitere Frage hatte doch nichts mit der Ableitung zu tun... Trotzdem Danke für die ausführliche Antwort. War aber garnicht nötig!! Der letzte Teil war interessant und hilfreich.

Ich bin einfach so vorgegangen, dass ich den Nenner mit jedem Glied multipliziert habe. Was allerdings in die Hose ging.

Wie isoliere ich denn die Wurzel, nachdem ich einen Term "auf die andere Seite" gebracht habe!?

27.12.2007, 23:14

iammrvip

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Mit "isolieren" meine ich nur, dass du alle Terme die eine Wurzel enthalten auf eine Seite bringst und alle Terme, die keine Wurzel enthalten auf die andere Seite der Gleichung.

27.12.2007, 23:30

wdfgea

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das meinst du mit isolieren. ok!

Wie löse ich die Wurzeltherme aus dem Nenner, um sie auf die andere Seite zu bekommen!?

Grüße

27.12.2007, 23:36

iammrvip

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Ein kleines Beispiel:

Du hast die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{x - 1} + (x+2)\sqrt{x^2 - 1} = 0 \end{eqnarray*}$

gegeben und sollst nach x auflösen. Die einfachste Lösung ist wohl, die Wurzel zu "isolieren":

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{x - 1} + (x+2)\sqrt{x^2 - 1} &=& 0 \\ x\sqrt{x - 1} &=& -(x+2)\sqrt{x^2 - 1} \\ \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}} &=& -\frac{x+2}{x} \\ \sqrt{\frac{x - 1}{x^2 - 1}} &=& -\frac{x+2}{x} \end{eqnarray*}$

Nun noch die Terme vereinfachen, quadieren und die Gleichung lösen, und man erhält die Lösung dieser Gleichung. Sieh nun analog dazu deine Aufgabe.

27.12.2007, 23:45

wdfgea

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Und wie bekomme ich die Wurzel nun "weg"?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x - 1}{x^2 - 1}} &=& -\frac{x+2}{x} \end{eqnarray*}$

Bei mir macht schon tierische Panik breit. Das macht aber mit Sicherheit die späte Uhrzeit... Es ist einfach keine Mathe-Zeit momentan!

Bringt mir der Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x - 1}{x^2 - 1}} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} ({\frac{x - 1}{x^2 - 1}})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ bedeutet etwas?

Grüße

28.12.2007, 00:01

iammrvip

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Nicht verunsichern lassen, nur weil es eine Gleichung ist. Die Wurzel bekommst du ganz einfach durch quadrieren weg.

Denn $\begin{eqnarray*} (\sqrt x)^2 = \left(x^\frac{1}{2}\right)^2 = x \end{eqnarray*}$ .

Du kannst "salopp" gesprochen mit einer Gleichung alles machen, solange du es auf beiden Seiten tust.

Um eine Wurzel zu beseitigen quadriert man normal. Also machen wir hier genau das gleiche, nur müssen dabei beachten dass wir es auf beiden Seiten der G.eichung tun.

Somit erhälst (den Term vorher noch etwas vereinfachen)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x - 1}{x^2 - 1}} &=& -\frac{x+2}{x} | (...)^2 \\ \sqrt{\frac{x - 1}{(x - 1)(x+1)}} &=& -\left(\frac{x}{x} + \frac{2}{x}\right) \\ \sqrt{\frac{1}{x+1}} &=& -\left(1 + \frac{2}{x}\right) |(...)^2 \\ \frac{1}{x+1} &=& \left(1 + \frac{2}{x}\right)^2 \\ \frac{1}{x+1} &=& 1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsstest du noch alle x auf eine Seite bringen und ganz normal die Gleichung lösen.

Jetzt mach das analog mit deiner Rechnung.

Wenn du alles durchrechnest, müsstest du dir Lösung $\begin{eqnarray*} x = \frac{2835}{11} \end{eqnarray*}$ erhalten.

28.12.2007, 15:23

wdfgea

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall der Aufgabe ist doch allein der Nenner unter der Wurzel...
Ich kann also demnach ja garkeine Wurzelfreienterme bilden???

Benötige weitere Hilfe!!

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