komplex multiplikation (bei komplex scheinleistungen)

28.12.2007, 16:57

andim

komplex multiplikation (bei komplex scheinleistungen)

Hallo, ich habe mal wieder ein problem mit komplex rechnung:

Wenn ich eine komplexe Scheinleistung berechnen will, habe ich die Formel

$\begin{eqnarray*} S = U * I^{*} \end{eqnarray*}$

Ich brauch hier I konjugiert komplex, weil die scheinleistung nicht

$\begin{eqnarray*} Ue^{j\alpha} *Ie^{j\beta} = Se^{j(\alpha+\beta)} \end{eqnarray*}$

sondern:

$\begin{eqnarray*} Se^{j(\alpha-\beta)} \end{eqnarray*}$

ist.

soweit schön und gut, wenn ich jetzt U oder I, respektive durch
U=I*Z oder I = U/Z ersetze, kriege ich für S logischerweise

$\begin{eqnarray*} S=\frac{U^2}{Z} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} S= I^2 * Z \end{eqnarray*}$

wenn ich diese beiden formeln nun verwenden will, komme ich regelmässig auf falsche ergebnisse, und ich kann es mir leider nicht erklären wo ich hier an mein minus (konjugiert) denken muss... bitte helft mir.

28.12.2007, 23:04

mYthos

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Die Problematik bei der komplexen Funktionaltransformation in der Wechselstromtechnik ist diese, dass man die rein Ohm'schen Beziehungen nicht einfach in die komplexe Schreibweise "übersetzen" darf, weil sich die Beziehungen im Wechselstrombereich im Vergleich zu Gleichstrom zum Teil erheblich unterscheiden. Beim Wechselstrom wird man daher einige neue Begriffe und Formeln neu zu definieren haben, um diese dann in die komplexe Schreibweise zu übernehmen.

Siehe dazu auch

[WS] Komplexe Zahlen

auf welchen Artikel ich mich hinsichtlich der Bezeichnungen beziehe.

Wir sehen dies bereits bei der Definition der komplexen Scheinleistung, bei welcher die Differenz der Pasenwinkel der Spannung und des Stromes entscheidend ist. Die aus der Gleichstromlehre bekannte Beziehung für die (reale) Wirkleistung $\begin{eqnarray*} P = U \cdot I \end{eqnarray*}$ kann deswegen nicht parallel auf die Scheinleistung (noch dazu in komplexer Schreibweise) übertragen werden. Vielmehr wird in der komplexen Scheinleistung die geometrische Summe von Wirk- (P) und Blindleistung (Q) zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \underline{S} = P + \underline{Q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \underline{S} \mid = S, \ \mid \underline{Q} \mid = Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S^2 = P^2 + Q^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S = \sqrt{P^2 + Q^2} \end{eqnarray*}$

Die Wirkleistung P ist der Realteil, die Blindleistung Q der Imaginärteil der komplexen Scheinleistung $\begin{eqnarray*} \underline{S} \end{eqnarray*}$ . Der Zeiger $\begin{eqnarray*} \underline{S} \end{eqnarray*}$ schliesst mit der reellen Achse den Phasenwinkel

$\begin{eqnarray*} \phi = \phi_u - \phi_i \end{eqnarray*}$

ein. Weil Leistungen nur mit Effektivwerten* sinnvoll zu beschreiben sind, wird definitionsgemäß geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \underline{S} = \underline{U_{eff}} \cdot \underline{I_{eff}^*} = \frac{U \cdot I}{2} \cdot e^{j(\phi_u - \phi_i)} = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot e^{j(\phi_u - \phi_i)} \ \ [VA] \end{eqnarray*}$

Aus dem "Leistungsdreieck" in der komplexen Ebene folgt dann auch

$\begin{eqnarray*} P = S \cdot \cos \phi \ \to \ P = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \cos \phi \ \ [W] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q = S \cdot \sin \phi \ \to \ P = U_{eff} \cdot I_{eff} \cdot \sin \phi \ \ [VAr] \end{eqnarray*}$

Das Verhältnis der Beträge von Wirk- zu Scheinleistung $\begin{eqnarray*} \to \ \frac{P}{S} = \cos \phi \end{eqnarray*}$ wird als Leistungsfaktor bezeichnet.

Abschließend noch zum komplexen Widerstand (Impedanz):

Definitionsgemäß ist dieser

$\begin{eqnarray*} \underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = \frac{U}{I} e^{j(\phi_u - \phi_i)} \ \ [\Omega] \end{eqnarray*}$

Auch die Impedanz wird demgemäß vom Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom begleitet. Analog zum Leistungsdreieck gibt es auch ein "Widerstandsdreieck" mit $\begin{eqnarray*} R, \ \underline{X}, \ \underline{Z} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mid \underline{Z} \mid = Z = \sqrt{R^2 + X^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R = Z \cdot \cos \phi \ \ [\Omega] \ \text{und} \ X = Z \cdot \sin \phi \ \ [\Omega] \ \ \text{d.s. Wirk- und Blindwiderstand} \end{eqnarray*}$
[Schreibfehler editiert]

Wenn ausschließlich diese Definitionen verwendet und auseinandergehalten werden, wird es nicht mehr zu Kollisionen bei den Berechnungen bzw. mit dem Vergleich zu reellen Größen kommen.

*) zu den Effektivwerten: Diese sind jene Gleichspannungs- bzw. -stromwerte, die an einem rein Ohm'schen Widerstand die gleiche Wirkleistung erbringen würden, wie der Wechselstrom (quadratischer Mittelwert, über das Integral nach einer Zeitperiode bzw. Schwingungsdauer berechnet).

$\begin{eqnarray*} U_{eff} = \frac{U}{\sqrt2}; \ I_{eff} = \frac{I}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$

mY+

29.12.2007, 12:13

andim

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Das hat meine Frage leider nicht beantwortet, ich gebe ein beispiel
P=6,05 W , Q =60,5var
S= 6,05W + j60,5 v
U = 110 V

S= U² / Z

Z= U² /S = 110V/(6,05W+ j60,5var) = 20 - j200 ohm

richtiges ergebnis aber:
Z = 20 + j200 ohm

Und das müsste eigentlich Z anstatt R sein oder?

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} X = R \cdot \sin \phi \ \ [\Omega] \ \ \end{eqnarray*}$

edit: kann leider erst wieder in einer woche antworten, danke aber schonmal für die tollen antworten mythos

04.01.2008, 00:41

andim

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jo wie angekündigt konnte ch mich nicht eher wieder melden aber hat sich auch leider noch nichts verändert :[

04.01.2008, 01:59

mYthos

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Eine Woche vom 29.12. an endet aber erst am 5.1. Big Laugh

Ich bin noch nicht dazu gekommen, mich nochmals mit dem scheinbaren Widerspruch zu befassen.

Dein Fehler liegt offenbar in erster Sicht darin, dass bei deiner Rechnung die Scheinleistung mit einem Winkel behaftet ist, was aber definitiv nicht stimmt. Die Scheinleistung ist lediglich als das Produkt aus den Effektivwerten von Spannung und Strom anzusehen.

mY+

04.01.2008, 14:24

andim

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ja die scheinleistung, die komplexe scheinleistung ist aber das Produkt

S= U * I°

jeweils komplexe spannung, komplexer strom

05.01.2008, 21:58

mYthos

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In dem zuvor angesprochen Workshop habe ich darauf hingewiesen, dass man bei der komplexen (Funktional-)Transformation nicht alle Rechenoperationen 1:1 ins Komplexe übersetzen kann, weil sonst bei den einzelnen physikalischen Größen falsche Zuordnungen entstehen. Ich kann dies hier nur wiederholen.

Aus diesem Grund werden sowohl der komplexe Scheinwiderstand als auch die komplexe Scheinleistung eigens so definiert, dass sie im physikalischen Kontext stehen, d.h. eine Entsprechung zu den reellen Größen haben (wir betrachten hier nur den sinusförmigen Wechselstrom):

Im Folgenden sei

$\begin{eqnarray*} \phi = \phi_u - \phi_i \end{eqnarray*}$ ... Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom

Dann gilt folgende Definition:

$\begin{eqnarray*} \underline{Z} = Z \cdot e^{j \phi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline{S} = S \cdot e^{j \phi} \end{eqnarray*}$

Daraus ersehen wir, dass sowohl das Widerstandsdreieck als auch das Leistungsdreieck den gleichen Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ aufweisen.

Im Weiteren folgen daraus die den Ohm'schen Gesetzen entsprechenden Leistungs- bzw. Widerstandsbeziehungen; die Größen U und I bezeichnen hier Effektivwerte des sinusförmigen Wechselstromes (die Scheitelwerte sind ja mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ proportional zu ihnen).

$\begin{eqnarray*} \underline{Z} = \frac{U}{I} \cdot e^{j \phi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{U}{Z} \ \text{und} \ S = U \cdot I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline{S} = \frac{U^2}{Z} \cdot e^{j \phi} \end{eqnarray*}$

Damit erhältst du nun das gewünschte Ergebnis.
--------------------
Den von dir angezeigten Fehler habe ich korrigiert, danke.

mY+

08.01.2008, 22:07

andim

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hm jo, so klappts auch mit S = U^2 / Z !

danke für die tollen antworten

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