Bernoullische DGl |
28.12.2007, 20:28 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bernoullische DGl daraus erhalte ich folgende Zuordnungen: mit der Substitution für Hierfür hab ich als Lösung der homogenen DGl als Lösung erhalten. Soweit so gut. (meines Erachtens) Nun will ich die inhomogene Lösung bestimmen, indem ich die Konstante variiere: mit in eingesetzt ergibt sich: Wenn ich nun C(x) bestimme (partielle Integration + Substitution) komme ich auf: und somit auf bilde ich nun hiervon die Ableitung komme ich auf (was die DGl nicht erfüllt) nach erhalte ich aber womit die DGl erfüllt wird. Fragen: 1. Habe ich mich irgendwo verrechnet oder gehe ich von einer falschen Gleichung aus? Der Widerspruch bei z' ist für mich unklar. 2. ist diese 2. Lösung für z nun eine spezielle Lösung der DGl oder schon die allgemene? 3. Die Lösung der ursprünglichen DGl ist dann ? |
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29.12.2007, 12:46 | Gump | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo marodeur! Bei deiner Ableitung liegt ein Vorzeichenfehler vor. Richtig lautet die Ableitung . Du bist wohl versehentlich von ausgegangen oder hast die Formel für die Ableitung falsch angewendet. Der Rest des Lösungsweges sollte richtig sein. Gruß Gump |
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29.12.2007, 13:47 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Bernoullische DGl Erstmal ist da ein Vorzeichenfehler, wie Gump schon richtig sagt: du hast für positive :
Hier sollte stehen: Korrekt durchgerechnet, wirkt sich der Vorzeichenfehler hier auch aus, mit Berücksichtigung hättest du:
Du kriegst die allgemeine Lösung der linearen DGL und musst dann noch zurück substituieren. Mit einer Anfangsbedingung erhälst du in einem entsprechenden Intervall eine eindeutige Lösung für die Bernoulli'sche DGL. Grüße Abakus |
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29.12.2007, 21:32 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Gump, Abakus Ja jetzt sehe ich es auch, habe mich bei der Definition verguckt und alles auf einer Seite der Gleichung gesehen... und da hab ich doch schon ne Brille Werde es dann nochmal durchgehen... @Abakus Es gibt in der Aufgabenstellung keine Anfangsbedingung, es sind alle Lösungen gesucht. Danke für den Hinweis. Allerdings versteh ich nicht, warum da eine 1 rauskommt anstelle von meinen 3/2, naja, werde es auch nochmal kontrollieren... noch eine Frage: Welcher Typ von DGl (1. Ordnung) ist folgende? Hab meinen Vorlesungshefter schon wild durchblättert und auch Wikipedia gequält, allerdings find ich hier nichts passendes, denn das führende x² irritiert mich sichtlich. EDIT: hab die Zuordnung korrigiert und hab nun folgendes raus: Hier mein Rechenweg, ich finde den Fehler nicht um da eine 1 hinzubekommen nun die Substitution es ergibt sich für |
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30.12.2007, 14:30 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stichwort: linear-homogene DGL.
Das lässt sich nicht so integrieren, wie du es hier machst. Du hast: Grüße Abakus |
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30.12.2007, 18:28 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. hmm, jedoch hilft mir das noch nicht wirklich weiter, wie ist denn da der Lösungsansatz? Ich weiß ja, dass alle Lösungen in einem Vektorraum liegen, der von linear unabhängigen Lösungen aufgespannt wird. 2. Wie denn dann? Entweder steh ich jetzt auf dem Schlauch, oder ich hab es bisher immer falsch gemacht. Dein 2. Zitat ist die partielle Integration, leider funktioniert das hier nicht so mit dem = untereinander. Oder ist da schon der Fehler? |
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30.12.2007, 19:41 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine linear-homogene DGL hat die Form . Die Substitution hilft und führt zu einer linearen DGL.
Es ist: . Da liegt in der partiellen Integration oben also ein Fehler, ja. Dein gesuchtes Integral lässt sich etwa durch Ableiten und Koeffizientenvergleich finden: Hier muss sein, und lassen sich ausrechnen. Bzgl. der "="-Zeichen kannst du sowas zB als Kette hintereinanderschreiben, oder eben untereinander jeweils beginnend mit "=". Grüße Abakus |
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30.12.2007, 20:26 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da ist der Unterschied, ich habe oder etwa nicht? oder ist es güntiger u und v' anders zu verteilen? |
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30.12.2007, 20:54 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit deinem kannst du nicht berechnen (s.o.: abgeleitet ist etwas anderes als dein ). Eine andere Verteilung ist demnach günstiger: Grüße Abakus |
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02.01.2008, 12:03 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so, als endgültige Lösung hab ich nun folgendes: und mit da es keine Anfangsbedingung gibt ist das nun meine Lösung. Kann man da noch was vereinfachen? EDIT: EDIT2: Nochmal zu dem anderen Problem: substituiert mit: hab dafür das erhalten: neu: aber das ist keine lin. DGl... |
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02.01.2008, 23:12 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit richtig. Du kannst ggf. den Parameter c noch genauer betrachten. Und du solltest überlegen, ob das nun alle Lösungen sind (was ist zB mit der Nullfunktion und gibt es ggf. negative Lösungen der DGL ?).
OK, ich hätte vielleicht genauer von einer Euler-homogenen oder Ähnlichkeits-DGL sprechen sollen, das trifft es von der Bezeichnung eindeutiger. Und stimmt, du kommst nicht auf eine lineare DGL (wie ich zunächst dachte), aber dafür hast du getrennte Veränderliche. Damit kannst du es lösen. Grüße Abakus |
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03.01.2008, 12:57 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
beim 1.: y=0 ist auch Lösung, das negative werd ich noch nachprüfen. beim 2. hab ich nun raus: (werd ich dann auch mal noch nachprüfen (Mathematica ) y=0 ist hier keine Lösung) EDIT: danke für diese geduldige und ausführliche Hilfe. |
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03.01.2008, 20:23 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, korrekt. Wenn du alle Lösungen angeben willst, fehlen noch entsprechende Konstanten. Die Fälle x > 1, |x| < 1, und x < -1 würde ich separat betrachten; wenn du aus diesen drei "Ästen" eine Gesamtlösung zusammenbaust, brauchst du auch drei Integrationskonstanten (bei 1 und -1 liegen Polstellen). Oder du betrachtest alternativ nur die Lösungen in den jeweiligen Intervallen. Grüße Abakus |
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03.01.2008, 22:38 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, die konstante hab ich hier nur vergessen, schriftlich war sie da. |
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