Gleichungssystem

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DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem
Hallo.

Ich habe ein LGS.





Ich soll a wählen, so dass das LGS genau eine | unendlich viele | keine
Lösung besitzt.

Wie muss ich da vorgehen??

Für den Fall mit unendlich vielen Lösungen soll ich dann noch EINE läsung bestimmen.

verwirrt verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
1. Schreibe es in Matrix-Dartstellung Ax=b
2. Bestimme den Rang der Matrix
3. Untersuche ob b im span der Spaltenvektoren von A liegt
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

sehe immer noch nicht ganz klar.

ich hab erstmal versucht den rang der matrix zu bestimmen. da hab ich 2 raus. aber dies gilt nur wenn a = 2 ist.

ist das soweit richtig?

dann sehe ich noch nicht klar, wie ich jetzt genau eine , unendlich viele, keine lösung des lgs bestimmen soll, also jeweils a bestimmen. da ich ja jetzt schon a=1 gesagt habe.

ich schreib mal meinen letzten zwischenschritt auf:


(
2a---2a---6a---4a
0----3a---6a+9--4a+8
0----0-- -9a+9-- -8a+8
)

aus der letzten zeile hab ich dann a=1 errechnet und Rang(A) = 2.

wie gesagt, verstehe ich nicht den sinn der lösungsbestimmumg, da ich ja bereits a=1 festgelegt habe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt die Angabe?
Wenn ja, trifft keine deiner Aussagen zu. Die Matrixumformungen von dir kann ich nicht durchschauen, die dürften offensichtlich falsch sein.

Für alle ist dann der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich 3. Das kannst du auch mittels der Determinante von A überprüfen, deren Wert ist nämlich 15a.

Was folgt daraus nun richtig hinsichtlich a für die Lösbarkeit des lGS?

Bemerkung:
Wenn a = 1 ist, folgt daraus lediglich x2 = 0 und bei a = -2 ist x1 = 0, dies hat aber keine Auswirkungen auf den Rang der Matrix.

mY+
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

Also noch einmal.

Es geht nicht in der Aufgabe um die Bestimmung des Ranges der Matrix.

Hier nocheinmal die Aufgabenstellung:


Wie muss a gewählt werden, damit das LGS
(a) genau eine
(b) unendlich viele
(c) keine Lösungen besitzt???

Ich bin jetzt so vorgegangen:

Gleichungssystem als Matrix schreiben (siehe erster Post)
Dann mit Zeilenstufenumformung weitermachen. Ich erhalte folgende Matrix:

(
1.....1.....3.....4
0.....1.....5.....4
0.....0.....9-9a.....8-8a
)

Ich bin auch ziemlich sicher, dass das soweit stimmt. Habe es ja jetzt zweimal durchgerechnet.

Mir ist jetzt aber nicht klar, wie ich weitermachen soll.

Ich soll ja a bestimmen, dass das LGS genau EINE, UNENDLICH VIELE, KEINE Lösung besitzt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Zeilenstufenform stimmt so nicht, zumindest nicht mit dieser Angabe. Nochmals: Hast du sie kontrolliert? Woher kommt die erste Zeile
1 ... 1 ... 3 ... 4 ?

Die letzte Zeile lässt sich durch 2 dividieren, danach steht aber rechts 2!

Der Rang der Matrix hat sehr wohl etwas mit der Lösbarkeit zu tun!

Nach meiner Berechnung erhalte ich für



diese ist also unabhängig von a.

mY+

Übrigens: Du hast in

rang einer matrix

wo es um eine ähnliche Frage geht, noch nicht geantwortet. Das gebietet die Höflichkeit, bevor man einen weiteren Thread aufmacht.
 
 
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem
Jetzt sehe ich auch warum , wir beide verschiedene lösungen haben. ich habe die erste gleichung falsch angegeben. ich bitte vielmals um entschuldigung. unglücklich


hier ist die richtige:







So. Besser.


Ich bin beim Rechnen inzwischen auch einen Schritt weiter.

ich habe für a=1: unendlich viele lösungen.
für a ungleich 1 exakt eine lösung.
und für KEIN a € IR keine Lösung des lgs.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht richtig aus. Vielleicht wäre es noch gut, die Lösungen auch anzugeben; im Falle der unendlich vielen Lösungen in Parameterform.

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Der Rang der Matrix hat sehr wohl etwas mit der Lösbarkeit zu tun!


Danke. Mit Zunge
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz habe ich den Zusammenhang zwischen Rang der Matrix und Lösbarkeit des Gleichungssystems noch nicht verstanden. Aber den Tipp mit der Parameterform werde ich beherzigen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die MAtrix Regulär, so hat das LGS Ax=b für jedes b eine eindeutige Lösung x.
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

regulär heißt, sie hat vollen rang?

ich poste mal die allgemeine lösung für den fall das unendlich viele lösungen auftreten.

x3 = 8/9 - 8/9 a
x2 = 4 - 5(8/9 - 8/9 a)
x1 = 2(8/9 - 8/9 a)


IL = { ( x1,x2,x3 ) }

für x1,x2,x3 stehen in IL die vorher gemachten angaben.

muss ich in IL lamda statt a schreiben??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dein Resultat stimmt nicht. Abgesehen davon, dass der Parameter des Lösungstripel nicht a sein darf (denn a nimmt innerhalb des Systemes einen einmal gewählten konstanten Wert an), hast du dich bei der Umformung irgendwo wiederum verrechnet (du könntest uns deine Matrixumformung doch mal zeigen!). Unendlich viele Lösungen gibt es nur, wenn a = 1 ist. Andernfalls liegt das eindeutige Lösungstripel



vor.

Das Nette daran ist, dass die meisten CAS nur diese als Lösung ausgeben, also muss man noch selbst Hand anlegen, wie schön! Big Laugh

Zu der angesprochenen Parameterform gelangen wir, wenn wir uns der letzten Zeile (die mit den zwei Nullen bei x1 und x2) nach richtiger Umformumg der Matrix in Zeilenstufenform einmal zuwenden:



Im Falle gelangen wir nach Division in der Folge zu der bereits o.a. Lösung. Andernfalls ist die Division nicht erlaubt und es ist







Dies darf so gesetzt werden, weil für jedes reelle t eine Lösung ist. In der Matrix ist in diesem Falle (a = 1) eine Nullzeile entstanden. t ist nun der (richtige) Parameter des noch zu vervollständigenden Lösungstripels.

mY+
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

also danke.

erstmal poste ich meine umformungsschritte der matrix.


...2.....1.....1.....0
-2a.....a.....9.....8
..2.....2.....6.....4



..1.....1.....3.....2
..0.....-1....-5...-4
-2a.....a.....9.....8



..1.....1.....3.....2
..0....3a...6a+9...4a+8
..0....-1....-5.....-4



..1.....1.....3.....2
..0....3a....6a+9...4a+8
..0.....0..-9a+9...-8a+8



für a=1 ist die letzte zeile 0. :>unendlich viele lösungen.

für a ungleich null existiert exakt eine lösung. das sage ich jetzt einfach mal.


x3= 8/9 das wurde schon vorgerechnet. ich habe das überhaupt nicht erkannt.

x2 bekomme ich schon nicht mehr hin.


hier meine rechnung:

(3a)x2 = 4a + 8 - (6a+9) * 8/9

3a x2 = -12a - 16

tja, wenn ich jetzt durch 3a teile:

x2 = -4 -16/(3a)

ganz anderes ergebnis als bei mYthos. wo liegt mein fehler??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung der Matrix stimmt.

Zitat:
Original von DerHochpunkt
...
für a ungleich null existiert exakt eine lösung. das sage ich jetzt einfach mal.
...
x3= 8/9 das wurde schon vorgerechnet. ich habe das überhaupt nicht erkannt.
...


Das brauchst du nicht einfach mal annehmen, sondern, wenn's geht, richtig rechnen. Big Laugh Aus der dritten Zeile folgt doch



Für kann durch dividiert werden



So. Nun ist x2 aus der zweiten Zeile richtig zu berechnen:

Zitat:
Original von DerHochpunkt
...
x2 bekomme ich schon nicht mehr hin.

hier meine rechnung:

(3a)x2 = 4a + 8 - (6a+9) * 8/9

3a x2 = -12a - 16
...


Die letzte Zeile ist falsch! Darin liegt der Fehler! (rechts muss -4a/3 kommen).
Danach Division durch a (ungleich Null; mit a = 0 wären jene Matrixumformungen ungültig, bei welchen mit a multipliziert wurde).

Bemerkung:
Bei einer etwas geschickteren Matrixumformung (Vertauschen von Zeilen, bei lGS zulässig) erhält man aus der dritten Matrix

1 .... 1 .... 3 .......... 2
0 ... -1 ... -5 ......... -4
0 ... 0 ... -9a-9 ...... -8a + 8

womit es leichter ist, die anderen Variablen zu berechnen.

------------

Übrigens, die Parameterlösung (für a = 1) ist



Kannst du dies nachvollziehen?

mY+
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Matrix umformung mal nach Ihrer "Art" durchgeführt, und siehe da: Viel einfacher smile

In der Lösungsmenge kann ich statt t auch lambda schreiben, richtig??

Mit der anderen Matrixumformung bin ich bei der Berechnung von x2 leider nicht weitergekommen.

jetzt hab ich die lösungsmenge für a=1 berechnet.


wie muss ich jetzt weitermachen um die lösungsmenge für a ungleich 1 zu finden, und festzustellen, für welche a es KEINE oder GENAU EINE lösung gibt.

gestern hab ich das einfach durch probieren gemacht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auch geht natürlich.

Für haben wir doch schon x3 berechnet, x2 und x1 folgen analog aus der umgeformten Matrix. Wo genau hast du das Problem?

Für a = 1 setzt du , gehst damit in die anderen Gleichungen ein und solltest das von mir angegebene Lösungstripel erhalten. Wo ist dort das Problem?

mY+
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

okay, werd Ihren tipp gleich nochmal ausprobieren.

so wie sies erklärt haben , klingts jedenfalls sehr einfach.
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