sattelpunkt beweisen?

27.04.2005, 17:22

LaLiLu

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sattelpunkt beweisen?

ich rall das nicht!!! bitte um hilfe!

und zwar: beweise: Die Graphen aller Funktionen f mit f(x)=x^4+kx^3 mit k=0 (dabei ist das = zeichen allerdings durchgesrichen also senkrecht durchgestrichen) haben an der Stelle 0 einen Sattelpunkt.

ich weiß : Für n>3 liegt an der Stelle xw ein Sattelpunkt vor
also n ist der Exponent weißte ja bestimmt
aber wie kann ich das da beweisen??????
HILFEEEEEEEEE

27.04.2005, 17:26

iammrvip

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RE: sattelpunkt beweisen?
Hallo Wink

Wink

Zitat:

Original von LaLiLu
(dabei ist das = zeichen allerdings durchgesrichen also senkrecht durchgestrichen)

Man nennt das auch kurz ungleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.-

Zitat:

ich weiß : Für n>3 liegt an der Stelle xw ein Sattelpunkt vor
also n ist der Exponent weißte ja bestimmt
aber wie kann ich das da beweisen??????
HILFEEEEEEEEE

Meinst du hier k verwirrt

verwirrt

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Also musst du zeigen, dass an einer Stelle des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ immer eine solche Stelle gibt, für alle $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$

27.04.2005, 19:15

Lazarus

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überleg dir erstmal was die notwendige und hinreichende bedingungen sind für nen sattelpunkt, dann guggste das du des beweist Augenzwinkern

Augenzwinkern

tipp: ableitungen ...

Zitat:

"lalilu schrieb:"
ich weiß : Für n>3 liegt an der Stelle xw ein Sattelpunkt vor

mhh .. des is so nicht richtig. x^4 z.b. hat keinen sattelpunkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

deshalb steht aber des $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$ da !

ansonsten brauchste dir da nicht grosartig drumm sorgen zu machen.

savus

27.04.2005, 19:30

JochenX

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auch wenn das jeder zu verstehen scheint:

Zitat:

also n ist der Exponent weißte ja bestimmt

mag mir irgendjemand mal erklären, wo denn da ein exponent gebraucht wird?
soll das f^(n) sein, also die n-te ableitung!?

27.04.2005, 19:38

Lazarus

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hat mit der aufgabe in der tat nicht viel zu tun, aber ich vermute die feststellung galt mehr sich selbst, um sich selbst klarzumachen das ein sattelpunkt vorhanden sein muss.

und ja, diese schar hat einen gemeinsamen sattelpunkt am ursprung, aber des steht halt auch schon in der aufgabenstellung drinn ...

@lalilu: überleg dir mal was für bedingungen für nen sattelpunkt gegeben sein müssen. hat mit dem exponenten nur begrenzt zu tun Augenzwinkern

Augenzwinkern

savus

27.04.2005, 19:52

LaLiLu

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die erste ableitung sagt mir dann an das die steigung der tangente 0 sein muss...
ja, und das ist die begründung?
traurig

traurig

und was heißt dieses durchgestrichene = zeichen?
das k nicht null sein kann?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

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27.04.2005, 20:00

Frooke

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Das ist ein Nicht-gleich-zeichen. Deine Interpretation davon ist korrekt! Freude

Freude

27.04.2005, 20:00

JochenX

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$\begin{eqnarray*} k \not= 0 \end{eqnarray*}$
wenn du eine der f_k-funktionen anschaust ist k stets als parameter unbekannt aber fest gewählt.
k darf dabei alle werte außer 0 annehmen, richtig! "k ungleich 0".

edit: diesmal war ich zu langsam Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2005, 20:06

Lazarus

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nahc dem nun alle unklarheiten über ungleichheit beseitigt sind zurück zum thema ^^

also

Zitat:

die erste ableitung sagt mir dann an das die steigung der tangente 0 sein muss...

so nicht ganz richtig ..

die erste ableitung (und damit die st. d. tang.) ist 0, aber desshalb muss noch lange kein sattelpunkt vorliegen! entscheident ist das die zweite ableitung einen vorzeichenwechsel "durchlebt" (<- was soll man da sagen ? vollführt ?? k.a ^^)

savus

27.04.2005, 20:18

LaLiLu

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und wie bekomme iczh raus das sie einen vorzeichenwehcsel ''durchlebt''?

27.04.2005, 20:31

Lazarus

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also erstmal muss da $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ ne einfache nullstelle haben, aber damit des mathematisch gefestigt und zweifelsfrei bewiesen ist, mach ich immer die sog. h-methode [wobei h eine beliebig klein zu machende reelle zahl ist.]

dann setzte an mit $\begin{eqnarray*} f''(x+h) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x-h) \end{eqnarray*}$
wenn unterschiedliches vorzeichen vorhanden hastes Augenzwinkern

Augenzwinkern

ciao

//edit:
paar andere möglichkeiten die mir grad noch eingefallen sind:

vorzeichentabelle, felderabstreichen

haben den vorteil das sie mehr anschaulich sind, d.h. ohne jeglichen recheneinsatz, aber da muss man z.b. zeichnen oder zumindest sich des vorstellen ...und mehr vom graphen untersuchen ..

ich machs nie so Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2005, 20:36

Egal

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Mal ne dumme Frage? War Sattelpunkt nicht Wendepunkt mit waagrechter Tangente? Wenn nicht könnte mich mal kurz wer drüber aufklären was ein Sattelpunkt dann ist und warum an der Stelle ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung sein soll wennn das so ist wie ich denke verstehe ich auch nicht.

27.04.2005, 20:40

Frooke

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@Egal: Genau richtig! Sattelpunkt = Wendepunkt mit Zusatzbedingung f'(x_0)=0.
Freude

Freude

27.04.2005, 20:47

Lazarus

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hängt damit zusammen das für einen sattelpunkt die erste ableitung eine doppelte nullstelle haben muss, da sonst kein wendepunkt sondern ein extrema die folge wäre.

da sich dadurch allerdings die monotonie er ersten ableitung ändert braucht muss die zweite ableitung auch ne nullstelle haben und das vorzeichen ändern (damit sich die monotonie der ersten ändert)

funktionen sind kein geheimnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

savus

//edit: die erste ableitung msus genau deshalb eine doppelte nullstelle haben, weil der funktionsgraph seine monotonie nicht ändern darf, schliesslich wollen wir nen terrassenpunkt(=sattelpunkt) und kein extrema(=hoch oder tief punkt)

27.04.2005, 20:51

LaLiLu

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mir wird das langsam alles viel zu hoch. ich will es doch nur beweisen!!!!!!!!!!!
die zweite ableitung ist f``(x)=14x^2+6k

woher soll ich denn jetzt wissen das da n vorzeichenwechsel auftritt?
und was sagt mir das dann aus das die graphen aller Funktionen f mit f(x)=x^4+kx^3 mit k ist ungleich 0 an der stelle 0 einen sattelpunkt haben????
ich drehe gleich durch unglücklich

unglücklich

27.04.2005, 20:52

Frooke

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Zitat:

Original von Lazarus
hängt damit zusammen das für einen sattelpunkt die erste ableitung eine doppelte nullstelle haben muss, da sonst kein wendepunkt sondern ein extremum die folge wäre.

Bei ganzrationalen Funktionen würd ich Dir recht geben!

Am besten eignen sich dafür folgende zwei Funktionen zum prüfen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^5 \end{eqnarray*}$

Da sieht mans sehr schön, dass trotz f''(x)=0 auch noch ein Extremum entstehen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2005, 21:05

Lazarus

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@ frooke: wir haben hier ja zum glück ne ganz rationale fkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

da kann man ruhig so verallgemeinern !
und auch an den von dir gewählten bsps. trifft des was ich geschrieben hab ja voll zu oder ?
von daher kein problem^^

und an meiner rechtschreibung arbeite ich noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber zum thema:

@LaLiLu:

erstmal guggen ob bei 0 ne nullstelle ist, dann haste schonmal die halbe arbeit getan, denn das ist notwendig, nicht aber hinreichend!
und nochmal h sei beliebig klein zu machen, denn wir wollen ja die direkte umgebung der nullstelle (0;0) untersuchen!
dann setzte man an mit $\begin{eqnarray*} f''(0\pm h)= 12(0\pm h)^2+6k(0\pm h) \end{eqnarray*}$
[denn so lautet die zweite ableitung richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

]
man sieht daher $\begin{eqnarray*} 12(0\pm h)^2 \end{eqnarray*}$ ist immer positiv, weils ja ein quadrat ist.
aber $\begin{eqnarray*} 6k(\pm h) \end{eqnarray*}$ wird für + h positiv und für -h negativ.
und da haben wir unseren gesuchten vorzeichen wechsel!

d.h. wenn du nach links minimal über 0 rausgehst (also -h machst) kommste in den negativen bereich, wenn du nach rechts minimal über 0 rausgehst ( also +h machst) dann kommste ins positive!
minimal deshalb weil wir vorhin gesagt haben das h beliebig klein zu machen sei!

hoffe das war verständluich wenn nicht probier ichs nochmal anders Augenzwinkern

Augenzwinkern

ciao

27.04.2005, 21:12

LaLiLu

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mist, bei mir steht immer nur : undefined...

ne jetzt seh ich es richtig

okay, aber dieses zeichen was immer zwischen 0 und h steht soll das n PLUS oder dieses unglcih zeichen sein?

edit: Dreifachpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

27.04.2005, 21:28

Lazarus

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*g*

des ist ein plus/minus
d.h. du musst da einmal mit pluss rechnen und einmal mit minus..

benutzt man aus faulheit weil ich sonst den ganzen term nochmal hinschreiben müsste, obwohl sich nur die vorzeichen vom h ändern!
savus

28.04.2005, 19:33

iammrvip

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@LaLiLu
Du musst hier keinen VZW nachweisen! Das ist gar nicht eindeutig möglich.

Wenn eine Funktion an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt hat, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) &= 0 \\ f''(x_0) &= 0 \\ f'''(x_0) &\neq 0 \end{eqnarray*}$

Auf den VZW muss man nur zurückgreifen, wenn die dritte Ableitung zu aufwendig ist oder $\begin{eqnarray*} f'''(x_0) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

28.04.2005, 19:48

Frooke

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Zitat:

Original von iammrvip
Auf den VZW muss man nur zurückgreifen, wenn die dritte Ableitung [...] auch $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Nur so: Bei
$\begin{eqnarray*} f'''(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
muss man nicht zwangsläufig auf die Vorzeichenwechselmethode zurückgreifen. Man kann auch weitere Ableitungen rechnen und wenn dann
$\begin{eqnarray*} f^{(a)}\neq0,\;\text{mit}\;a\;\text{ungerade} \end{eqnarray*}$ so ist es ein Sattelpunkt und andernfalls ein Extremum.

Ich nehm nochmals ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ (Kandidat für Extremum bzw. Sattelpunkt x=0)
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3,f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x^2,f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(x)=120x,f''''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''''(x)=120,f'''''(0)=120 \end{eqnarray*}$ , also Sattelpunkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^6 \end{eqnarray*}$ wärs grad anders...

PS: Die Beispiele sind nicht gerade glücklich, weil man hier auch mit Punkt- bzw. Achsensymmetrie argumentieren könnte (gerade und ungerade Funktionen)...

EDIT: Schreibfehler bei Extremum beseitigt, wenn ich da schon so ein Pedant bin Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2005, 19:51

iammrvip

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Ich wollte sie jetzt nich noch weiter verwirren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

28.04.2005, 19:52

Frooke

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Ja sorry!

Gott

Hast recht! Ausserdem ist es auch aufwendiger, 100 Ableitungen zu rechnen. Ich wollte es nur sagen, weil man ja nicht VZW verwenden muss.

Nichts für ungut!

28.04.2005, 19:57

iammrvip

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Japp, schon klar - mieser Ausdruck meinerseits Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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