Abbildungsmatrizen

29.12.2007, 15:44

shok

Abbildungsmatrizen

hallo
folgende Aufgabenstellung die wir in der vorlesung hatten:
ich hab jetzt den lösungsweg mehr oder weniger auswenig gelernt aber irgendwie verstehe ich es nicht ganz...
f((x1,x2))=(3x1-x2,x1+x2)
von R²in R²
Basen:
B={(5,8),(-1,1)}
C={(0,1),(1,1)}

f(5,8)=(-1,13)
f(-1,1)=(-5,0)

als erster haben wir die abbildungsmatrix bestimmt:
mir ist das klar wie man das macht, bloß was hab ich jetzt davon?
was sagt sie mir über den sachverhalt aus?

die ist übrigens: A=( 14 5)
( -1 -5)

so danach wurde x=(3,10) gesetzt
--> x=(3,10)=x1(5,8)+x2(-1,1)
aber wozu macht man das schon wieder?
dann hat man für x1=1 und x2=2

das multipliziert man mit der Matrix und erhalt man (24, 11)
das multipliziert man mit den Vektoren der der Base C

und man bekommt (-11,13)

aber warum? ich verstehe den lösungsweg und den sinn solcher abbildungsmatrizen nicht.

ich hoffe mal es kann mir jemand helfen,
bin für jede hilfe dankbar

mfg

29.12.2007, 16:25

tigerbine

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RE: Abblidungsmatrizen
Schauen wir uns einmal die Funktion an

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f:~\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} 3x_1-x_2 \\ x_1+x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um das nun mittels Matrix schreiben zu können muss ja eine spezielle Art der Abbildung vorliegen. Welche?

29.12.2007, 16:28

shok

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RE: Abblidungsmatrizen
na sie muss linear sein also homogen und additiv, den beweis hab ich im hefter stehen und das ist so weit klar

29.12.2007, 16:33

tigerbine

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RE: Abblidungsmatrizen
Genau, ich meinte, sie muss linear sein. Wenn man die Abbildung nun mit einer Matrix darstellen will, müssen wir wissen bzgl. welcher Basen des IR². Normalerweise nimmt man die Standardeinheitsvektoren, hier soll nun gewählt werden:

$\begin{eqnarray*} B =\{\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C =\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},~\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Warum hat man nun die Vektoren von B in f eingesetzt? Was sagen einem die Ergebnisse?

29.12.2007, 16:37

klarsoweit

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RE: Abblidungsmatrizen

Zitat:

Original von shok
f((x1,x2))=(3x1-x2,x1+x2)

Vermutlich lautet deine Abbildung: $\begin{eqnarray*} f((x_1, x_2)) = (3x_2 - 2x_2, x_1 + x_2) \end{eqnarray*}$

In der Abbildungsmatrix trägt man in der n-ten Spalte den Koordinatenvektor bezüglich der Basis C des Bildraumes vom Bild des n-ten Basisvektors der Basis B des Urbildraumes ein. In diesem Fall ist:
f((5, 8)) = (-1, 13) = 14 * (0, 1) + (-1) * (1, 1)
und
f((-1, 1)) = (-5, 0) = 5 * (0, 1) + (-5) * (1, 1)

Daraus erhalten wir die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ -1 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun das Bild des Vektors (3, 10) haben möchte, muß man die Matrix A mit dem Koordinatenvektor von (3, 10) in der Basis B multiplizieren. Man erhält dann den Koordinatenvektor des Bildes bezüglich der Basis C. Also:

(3, 10) = 1 * (5, 8) + 2 * (-1, 1)
Matrix A mit (1, 2) multiplizieren ergibt (24, -11).
Das Bild von (3, 10) ist also 24 * (0, 1) + (-11) * (1, 1) = (-11, 13)

EDIT: habe nicht schnell genug getippt. traurig

29.12.2007, 16:39

tigerbine

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RE: Abblidungsmatrizen
Stimmt nicht, Großer. Mit Zunge

Du hast ja viel mehr getippt.

29.12.2007, 17:55

shok

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sorry aber irgendwie verstehe ich es nicht ganz,
danke tigerbine & klarsoweit,

bloß finde der text von klarsoweit hats ziemlich in sich...

Zitat:

Warum hat man nun die Vektoren von B in f eingesetzt? Was sagen einem die Ergebnisse?

ich glaub die vektoren von B hat man deshalb in f eingesetzt, weil
B doch der Urbildraum der Abbildung sein soll, oder liege ich da falsch.

ich hoffe ihr könnt mich weiter voranbringen^^

29.12.2007, 18:03

tigerbine

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Wir haben mit B eine Basis des Urbildraums IR² eingeführt. Die Bisherige Schriebweise ist aber, sowohl in Urbild als auch Bildraum bzgl. der Standardeinheitsbasis. Nun schauen wir uns die Bilder an. Stimmt den klarsoweits Bemerkung, dass Du eine "falsche Funktionsgleichung angegeben hast"? Bitte kontrollieren!

$\begin{eqnarray*} f:~\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} 3x_1-2x_2 \\ x_1+x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} = 5 \cdot e_1 + 8 \cdot e_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 13 \end{pmatrix} = -1 \cdot e_1 + 13 \cdot e_2 \end{eqnarray*}$

29.12.2007, 18:17

shok

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jo das stimmt hab mich vertippt
so stimmt die funktion jetzt
so und wie gehts dann weiter?

29.12.2007, 18:22

tigerbine

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du musst die Darstellungen bzgl. der Einheitsvektoren in Darstellungen bzgl. B und C übersetzen. In vielen Büchern ist das sie SAT-Formel.

30.12.2007, 17:20

shok

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achso ich glaub jetzt hats klick gemacht...

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit "modifiziere" ich meine funktion auf die Basen von B über,

so

dann modifiziere ich das ganze auf die Basen von C und erhalte somit meine Abbildungsmatrix
...sprich (14 ,5)

nun will ich wissen welchen wert diese annimmt für x=(3,10)

da die beiden Basen nicht übereinstimmen muss ich x auf B modifizieren (warum eigentlich auf B?)

dann kann ich sie multiplizieren --> y=Ax;

dann erhalte ich eine neue Matrix und die muss ich wieder auf C modifizieren, warum denn eigentlich? ich dachte A bezieht sich auf die Basen von C?

30.12.2007, 18:42

tigerbine

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Mit fast gleichen Worten

Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} f((x_1, x_2)) = (3x_2 - 2x_2, x_1 + x_2) \end{eqnarray*}$

In der Abbildungsmatrix trägt man in der n-ten Spalte den Koordinatenvektor bezüglich der Basis C des Bildraumes vom Bild des n-ten Basisvektors der Basis B des Urbildraumes ein. In diesem Fall ist:

$\begin{eqnarray*} f(~(5, 8)_E~) = (-1, 13)_E = 14 \cdot (0, 1)_E + (-1) \cdot (1, 1)_E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(b_1) = 14 \cdot c_1 + (-1)\cdot c_2 = (14, -1)_C \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(~(-1, 1)_E~) = (-5, 0) = 5 \cdot (0, 1)_E + (-5) \cdot (1, 1)_E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(b_2) = (-5)\cdot c_1 + (0)\cdot c_2 = (-5, 0)_C \end{eqnarray*}$

Daraus erhalten wir die Abbildungsmatrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ -1 & -5 \end{pmatrix}_B^C \end{eqnarray*}$

Wenn man nun das Bild des Vektors (3, 10) [Angabe bzgl. Standardeinheitsbasis!] haben möchte, muß man die Matrix A mit dem Koordinatenvektor von (3, 10) in der Basis B multiplizieren. Man erhält dann den Koordinatenvektor des Bildes bezüglich der Basis C. Also:

$\begin{eqnarray*} (3, 10)_E = 1 \cdot (5, 8)_E+ 2 \cdot (-1, 1)_E = (1,2)_B \end{eqnarray*}$

Matrix A mit (1, 2) multiplizieren ergibt $\begin{eqnarray*} (24, -11)_C \end{eqnarray*}$ .

Das Bild von (3, 10) ist also

$\begin{eqnarray*} 24 \cdot (0, 1)_E + (-11) \cdot (1, 1)_E = (-11, 13)_E \end{eqnarray*}$

08.01.2008, 00:16

shok

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hallo! hab doch noch ne frage,
und zwar wie gesagt:

f(5,8)=(-1,13)
f(-1,1)=(-5,0)

das kann ich doch eigentlich in eine Matrix zusammenfassen und dann mit der Matrix der Basisvektoren multiplizieren, oder?

\begin{Bmatrix} -1& 13 \\ -5 & 0 \end{Bmatrix} *
\begin{Bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{Bmatrix}

so dann komm ich aber auf die Matrix:

\begin{Bmatrix} 14 & -1 \\ -5 & 5 \end{Bmatrix}

sprich die a12 und a21 sind vertauscht,

kann ich das auch so machen und dann einfach die Werte a12 und a21 zurückvertauschen?

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