Primzahlsatz

29.12.2007, 19:00

20_Cent

Primzahlsatz

Hallo zusammen,

ich soll folgende Aufgaben lösen:

Zitat:

39.
a) Sei $\begin{eqnarray*} (p_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ die Aufzählung der Primzahlen mit $\begin{eqnarray*} p_n<p_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass der Primzahlsatz äquivalent ist zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{p_n}{n\ln n} = 1 \end{eqnarray*}$

(Der Primzahlsatz ist: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\pi (x) \ln x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ , äquivalent ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\vartheta (x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{\psi (x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ )

b) Zeigen Sie, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass im Intervall $\begin{eqnarray*} (n,(1+\epsilon)n]~~ \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl liegt.

40.
Folgern Sie aus Aufgabe 39 die Divergenz der Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{p\in \mathbb P} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich bei diesem Blatt keine Ahnung, diese Aufgaben sehen mir noch am angenehmsten aus... Hab bei der 39 a) schon viel versucht, Abschätzungen nach oben und unten, Vergleiche mit dem Primzahlsatz äquivalenten Aussagen, usw...
Hat jemand einen Tipp für mich?
mfG 20

29.12.2007, 20:05

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee zu 39a) ist eine asymptotische Abschätzung für das Inverse von $\begin{eqnarray*} \frac x{\ln x}\sim\pi(x) \end{eqnarray*}$ herzuleiten.

30.12.2007, 15:08

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh leider nicht, was du meinst.
Ich verstehe nicht, was du mit invers in diesem Zusammenhang meinst, außerdem verstehe ich den Ausdruck "asymptotische Abschätzung" nicht.
Könntest du das bitte etwas näher erläutern?
mfG 20

30.12.2007, 15:18

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus $\begin{eqnarray*} y=\frac x{\ln x} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \ln y = \ln(x)-\ln(\ln x) \sim \ln(x) \end{eqnarray*}$ . Das heißt $\begin{eqnarray*} x=y\ln x\sim y\ln y \end{eqnarray*}$ . qed.

03.01.2008, 14:57

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

ich muss das gleiche Blatt bearbeiten und hänge momentan bei der 39b). Hat da vielleicht noch jemand eine Idee?

04.01.2008, 03:15

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der a) habe ich jetzt kapiert, wie das funktioniert, was mit noch fehlt ist folgendes:
Ich muss von $\begin{eqnarray*} \pi (x) \sim \frac{x}{\ln x} \end{eqnarray*}$ für x Primzahl, auf alle x kommen.

b) und 40 hab ich immer noch nicht, wäre ich auch dankbar für Tipps.

mfg 20

05.01.2008, 23:25

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt nahe, b) aus a) zu folgern. Vereinfachend würde ich dazu annehmen, dass $\begin{eqnarray*} p_m=m\ln m \end{eqnarray*}$ ist. Wenn man noch bedenkt, dass die Intervalle bei b) beliebig groß werden (und eine Mindestgröße haben), sollte sich da schon etwas machen lassen. Ich habe den Ansatz aber aus Zeitmangel nicht weiter verfolgt, d.h. ich kann keine Erfolgsgarantie geben. Viel Glück Augenzwinkern

Aufgabe 40 lässt sich glaube ich auch deutlich elementarer beweisen (ohne Primzahlsatz).

Neue Frage »

Antworten »

Primzahlsatz

Verwandte Themen