Kovergenz einer Reihe und Reihenwert

Neue Frage »

Jasi Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergenz einer Reihe und Reihenwert
Hallo...

...habe eine Frage zu folgender Reihe:



Es soll Konvergenz gezeigt und der Reihenwert ermittelt werden.

Bzgl. der Konvergenz hat mich schon jemand aufs Majorantenkriterium gebracht, denn es gilt:



und somit ist die Reihe absolut konvergent und damit konvergent (denn wir haben vorher den Nachweis erbracht, daß konvergent ist, davon können wir ausgehen).

Aber wie kann man den Reihenwert ermitteln? Wäre nett, wenn mir jemand helfen würde...

Vielen Dank smile

Herzlichst,

Jasmin
jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenz einer Reihe und Reihenwert
Versuch mal eine Partialbruchzerlegung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenz einer Reihe und Reihenwert
Trenne den Term in . Aufeinanderfolgende Summanden heben sich dann auf.
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenz einer Reihe und Reihenwert
Hmm...leider weiss ich nicht, wie Partialbruchzerlegung geht...habe gerade Google befragt und da kommen voll komplizierte Sachen mit Integration und Stammfunktion...die brauchen wir hier sicher nicht, nur leider konnte ich nichts einfaches finden, was mir hier hilft...kann mir das jemand erklären? Die beiden Brüche haben doch verschiedene Zähler...wie hebt sich da was auf?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

zur partialbruchzerlegung:

mache den ansatz:

mit zu bestimmenden A,B; bringe dazu zunächst mal die rechte seite auf den gleichen nenner!

mfg jochen
jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenz einer Reihe und Reihenwert
Zitat:
Die beiden Brüche haben doch verschiedene Zähler...wie hebt sich da was auf?

Die heben sich erst durch das aufsummieren auf (nennt sich glaube ich Teleskopsumme)
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

genauso nennt man es!
http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das so richtig?



Habe danach noch verschieden umgeformt, aber den Sinn des ganzen bis jetzt nicht erkannt unglücklich

Der Hinweis mit der Teleskopsumme kam, während ich diesen Beitrag schrieb, ich les' mal smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt die zähler gleichsetzen!
danach hast du (f(A,B))*n+g(A,B)=1

f(A,B) muss also 0 sein, g(A,B) muss 1 sein!
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du bitte nochmal erklären, was "Zähler gleichsetzen" heisst?

Ist es das?

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

du hast links 1/(4n²-1)=???/(4n²-1), wobei deine ??? noch von A und B abhängen und noch ein n intus haben.
die beiden ausdrücke sind gleich, wenn deine ????? mit A,B gerade 1 sind.

einig?


edit: ja das isses!
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Fein...die grosse Frage ist, was will ich eigentlich ausrechnen? A und B in Abhängigkeit von n? Also anders: wohin auflösen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

A und B sind doch die gesuchten KONSTANTEN.
die hängen nicht mehr von n ab!

lies genau!
Zitat:
danach hast du (f(A,B))*n+g(A,B)=1

f(A,B) muss also 0 sein, g(A,B) muss 1 sein!

also bring es mit ausmultiplizieren und neu sortieren doch erst mal auf eine solche form!
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es so richtig?





Also

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

A=B=1/2 stimmt!
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

@Jasi: ja, richtig
@LOED: man haette doch auch einfach in diesem Fall A=B vorraussetzen können. Die Lösung "sieht" man doch schon fast.
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Also haben wir



Wollen also den Reihenwert von



ausrechnen...


Zitat:
Original von jovi
@Jasi: ja, richtig
@LOED: man haette doch auch einfach in diesem Fall A=B vorraussetzen können. Die Lösung "sieht" man doch schon fast.


Ich seh sowas leider nicht unglücklich Überleg' gerade, was uns das in bezug auf den Reihenwert gebracht hat...bestimmt was mit der Teleskopsumme, aber ich komm nicht drauf smile

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

@jovi: erraten kann man sowas öfters, aber ist doch schön, wenn er jetzt mal das verfahren beherrscht, wenn man es eben nicht erraten kann....

@jasi: jetzt stichwort teleskopsumme!
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
@jovi: erraten kann man sowas öfters, aber ist doch schön, wenn er jetzt mal das verfahren beherrscht, wenn man es eben nicht erraten kann....

@jasi: jetzt stichwort teleskopsumme!


@jovi: Wozu gibt's die tollen Symbole fürs Geschlecht an der Seite? Augenzwinkern Mit anderen Worten: bin kein er... smile

Ich schau jetzt mal, ob ich das mit der Teleskopsumme hinbekomme...
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde erst mal

ausrechnen, dann kannst du den Grenzübergang machen. smile

@jasi: ich bin unschuldig traurig !
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wegen dem geschlecht, das war nicht jovis fehler, sondern meiner.
das ist echt peinlich, normalerweise achte ich darauf!

Gott tut mir leid!
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jovi
ich würde erst mal

ausrechnen, dann kannst du den Grenzübergang machen. smile


Habe mal geschaut mit der Teleskopsumme...es heben sich wirklich alle Summanden auf, bis auf den ersten und letzten, aber unsere Reihe geht bis unendlich...nicht bis .

Ist es also?



@LOED: Ja klar, war Deiner...hab' mich vertan... smile Macht aber nix...
@jovi: Sorry.

Oder habe ich da einen Denkfehler drin?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

jupp stimmt.

was jovi meinte war ja folgendes: bestimme den endlichen zunächst für ein festes N.
das gäbe dir dann .....=1/2 - 1/(4N+2) (klar?)

damit kannst du dann wiederum den grnezübegang machen, indem du aus dieser leichten formel N gegen unendlich laufen lässt.

mfg jochen
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Cool.......vielen Dank!!!

Wieder was gelernt...

das mit dem endlichen habe ich jetzt nicht wirklich kapiert, aber das unendliche direkt kann ich nachvollziehen, ich denke, ich lass es dabei... smile

Herzlichen Dank,

Jasmin
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber unsere Reihe geht bis unendlich...nicht bis N

Bitte berechne erst endliche Reihe bis N und dann überlege wie du von da nach unendlich kommst ...

Na ich zweile doch etwas ob das so stimmt - du schmeisst ja nur so mit unendlichen Summen um dich.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt habe jetzt auch nur auf das endergebnis geschaut! schand über mich!
die zwischenschritte sind wirklich etwas seltsam.
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...also doch nicht richtig?

Ich setze für den ersten Summanden n=1 und im zweiten Summanden bleibt das n, da sich alle anderen aufheben? Ist das verkehrt? Ist auch so bei Wikipedia, wenn ich's richtig verstanden hab.

Edit: Oooo.......ist auch endlich bei Wikipedia.........sorry.......dann muss mir doch jemand den Schritt von endlich zu unendlich erklären, bitte.
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieder was gelernt...

Wenn sie wüsste was sie da angestellt hat. Zwei unglückliche Helferlein zurückgelassen, und eine grauenhafte Lösung mitgenommen ...
Bitte, falls du zurückkommst, dann nochmal richtig rechnen. Gott

Rechne bitte erst die endliche Summe aus ...
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Also was ist denn jetzt verkehrt und wie geht's richtig?

Okay, endliche Summe ausrechnen...dann mal schauen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das endergenis stimmt, nur die schreibweise zwischendrin mit den summen ist falsch.....
da hatte ich oben gar nicht drauf geachtet!

berechne doch wirklich erst mal eine endliche summe bis N.
das ergibt dir dann eine formel für den reihenwert der enlichen reihe von 1 bis N.
wenn du in diesen formelterm N gegen unendlich einsetzt bekommst du auch das richtige...
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe endlich



Und was bedeutet jetzt Grenzübergang und gegen unendlich...?

Die Teleskopsumme ist anscheinend nur endlich definiert? Wie kann ich sie jetzt trotzdem für die unendliche Reihe benutzen?
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Na was ist wenn N gegen unendlich geht ?
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Ist klar...die Frage ist...

1. Warum den Zwischenschritt, da das Ergebnis das gleiche ist, wie gleich am Anfang gegen unendlich in ...
2. Warum darf ich das machen, wo die Teleskopsumme wohl endlich definiert ist?
jovi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jasi
Ist klar...die Frage ist...

1. Warum den Zwischenschritt, da das Ergebnis das gleiche ist, wie gleich am Anfang gegen unendlich in ...
2. Warum darf ich das machen, wo die Teleskopsumme wohl endlich definiert ist?


zu 1. das ist kein Zwischenschritt und das Ergebnis ist auch nicht gleich, o.k. ganz am Ende kommt 0.5 raus, aber alles davor ist illegal, du kannst so nicht mit unendlichen Summen rechnen.
zu 2. was machen ?
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

1. Hmm....dann kapier ich's nicht...

für gegen unendlich ist 0 und für gegen undendlich ist auch 0...worum geht's also?

2. Bei Wikipedia steht die Teleskopsumme endlich definiert...warum darf ich den Schritt dann gegen unendlich trotzdem tun?
jovi Auf diesen Beitrag antworten »



O.k. , da fängt es an völlig unsinnig zu werden ..., warum sollte das gleich dem vorigen sein ?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

N läuft gegen unendlich, aber im prinzip nimmt es dennoch immer werte aus IN an. du setzt ja nicht direkt N=unendlich da ein.....
unendlich ist ja gar keine zahl.

das heißt für jedes endliche IN ist es definiert und der grenzwert besagt ja nur den wert, gegen den das ganze konvergiert, wenn den N immer mehr gegen unendlich läuft.
N selbst verlässt aber IN nicht......
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jovi


O.k. , da fängt es an völlig unsinnig zu werden ..., warum sollte das gleich dem vorigen sein ?


Hmm...war das nicht die Formel für die Teleskopsumme? Ich schau nochmal...


Ich versuch's nochmal...

Wir haben mit Partialbruchzerlegung gezeigt:



Dann betrachten wir die Teleskopsumme:



Für gegen unendlich gilt:



Also gilt:



So richtig?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »



noch ein limes eingefügt
Jasi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, das heisst, dass es mit dem eingefügten limes dann richtig ist smile Super! Nochmals vielen Dank an Euch beide Freude smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »