Stammfunktionen

30.04.2005, 10:56

Austi

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Stammfunktionen

Hallo...

Also, wenn jemand von Euch kurz Zeit haben sollte und mir eventuell hier mal genau erklären könnte, wie man Stammfunktionen bildet...
--> Das ist ein Thema der Mathematik, das mir überhaupt nicht liegt und da ich am Montag Abi in Mathe schreibe, ist das gar nicht gut!!

Ich bitte Euch deshalb mir ein bißchen was näher zu bringen!!

Danke
Austi

30.04.2005, 11:02

Fassregel

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RE: Stammfunktionen
Für eine Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=k*x^n \end{eqnarray*}$ gilt für ihre Stammfunktion F: $\begin{eqnarray*} F(x)=k*\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c; c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Das ist so die erste Grundregel.

Beispiel gefällig?
$\begin{eqnarray*} f(x)=x² \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{2+1} x^{2+1} +c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{3} x^{3} +c \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, welche Integrationsregeln ihr durchgenommen habt. Es gilt auch: $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+h(x) \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} F(x)=G(x)+H(x) \end{eqnarray*}$

edit: 4xLatex

edit Nr. 5: Noch ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{3}{2+1}x^3+\frac{1}{2}x = x^3+\frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

30.04.2005, 11:09

brunsi

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RE: Stammfunktionen
man kann auch mit SUbstitution integrieren oder mit Partialbruchzerlegung oder PRoduktintegration.

aber es sit wichtig zu wissen, welche Integrationsverfahrne ihr durchgenommen habt, denn wir haben z.B. Partialbruchzerlegung ausgeklammert und müssen es für unser ABI am Montag nicht wissen.

30.04.2005, 11:29

Austi

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doch wir müssen alle drei verfahren am Montag wissen, bei uns wurde nix rausgenommen!!

danke für Eure Beiträge
Austi

30.04.2005, 11:43

brunsi

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Re:antwort
habt ihr denn überhaupt partialbruchzerlegung gemacht?

30.04.2005, 12:34

Frooke

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Ich erlaube mir, es noch einmal etwas allgemeiner zu fassen (nichts gegen Fassregel):

Eine Stammfunktion einer Funktion f ist eine Funktion F, deren Ableitung f ergibt.

Also für
$\begin{eqnarray*} f(x)\\F(x), \text{mit} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

Und für die jeweiligen Funktionstypen sieht die Bildung ganz unterschiedlich aus:

Für Polynomfunktionen und Potenzfunktionen (und damit auch Wurzelfunktionen (weil man die in Exponenten umschreiben kann)) hat Fassregel es bereits gut erklärt.

Für Exponentialfunktionen gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x,F(x)=\frac{a^x}{\ln a} \end{eqnarray*}$
Speziell: $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x, F(x)=e^x \end{eqnarray*}$

Dann für die Logarithmusfunktion erhält man das Ergebnis mittels partieller Integration

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln x, F(x)=x\ln x -x \end{eqnarray*}$
usw. Kannst ja für die spezifischen nachfragen (so sinus oder so)...

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30.04.2005, 13:31

brunsi

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Re:antwort/Frage
kannst du dann acuh mal die für sinus,cosinus, tangents und arctangents posten???

wäre nett, wenn du das ausführlich an beispielen erläutern könntest!!

mfg dennis

30.04.2005, 13:36

gast07

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schau mal ein bisschen auf http://www.mathe-board.de/
da sind auch noch aufgaben bzw erklärungen etc.

30.04.2005, 14:41

Frooke

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Wenn Du die Ableitungen von Sinus und Cosinus kennst, so sind die Stammfunktionen eigentlich kein Problem mehr:

Aber ich poste mal am besten eine «Gesamtübersicht»:

$\begin{eqnarray*} f(x)=0, F(x)=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=c, F(x)=cx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^r, F(x)=\frac{x^{r+1}}{r+1}, r\neq -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x, F(x)=e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x}, F(x)=\ln |x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln x, F(x)=x\ln x-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin x, F(x)=-\cos x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos x, F(x)=\sin x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\tan x, F(x)=-\ln |\cos x | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\arcsin x, F(x)=x \arcsin x+\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\arccos x, F(x)=x \arccos x-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\arctan x, F(x)=x \arctan x-\frac{1}{2}\ln{(1+x^2)} \end{eqnarray*}$

Spezialfälle (die man mit Substitution hinkriegt) sind die Ableitungsfunktionen der Arcusfunktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, F(x)=\arcsin x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, F(x)=\arccos x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^2}, F(x)=\arctan x \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das alles ist, was Du brauchst (sonst nachfragen!)

EDIT: Latex verbessert.

Ausserdem: Hinter jede Stammfunktion, kann man noch ein +c anfügen, weil jegliche Konstante, die addiert wird abgeleitet wieder null ergibt!

30.04.2005, 17:34

brunsi

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Bitte/Frage
@Frooke:

bei den spetialfällen: wie hast du da substituiert um auf die Wurzelausdrücke zu kommen bzw. wie hast du abgeleitet um auf die wurzelterme zu kommen???

kannst du mir das mal im detail schildern??!

30.04.2005, 19:04

Frooke

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Ich erklärs mal anhand der Ableitung. Du kennst bestimmt den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} f'^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Nun ist das bei Arkussinus (Umkehrfunktion der Sinusfunktion) so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin x = y, f^{-1}(y)=\arcsin y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'^{-1}(y)=\frac{1}{(\sin x)'}=\frac{1}{\cos x} \end{eqnarray*}$

Nun musst Du aber alles wieder in y ausdrücken. Es gilt der trigonometrische Pytagorassatz:

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

Also folgt:
$\begin{eqnarray*} f'^{-1}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \end{eqnarray*}$

Nach genau diesem Schema kannst Du's mal für den Arkuscosinus versuchen.

Bei der Substitution wärs so, dass Du rückwärts substituierst: also x=sin u

EDIT: Du kannst natürlich noch die Variablenbezeichnung wechseln!
$\begin{eqnarray*} f'^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ oder a oder ? oder was auch immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2005, 21:20

brunsi

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danke
@Frooke: meinst du so etwas müssten wir im abi können? weil arcsin und tangents-funktionen haben wir nur ein mal ganz kurz gemacht. eine einzige aufgabe!!

aber erstmal danke!!

P.S.: wenn ich das mit dem tangents nicht hinbekomme, dann melde ich mich wieder in diesem thread.

Wie muss der Definitionsbereich eigentlich für arctangents sein??

30.04.2005, 21:25

Frooke

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Ich mach auch in Kürze Abi, aber ich glaub nicht, dass sowas kommt.

Der Definitionsbereich für den Arkustangens ist ganz IR (weil der Wertebereich des Tangens ganz IR ist)...

01.05.2005, 09:56

brunsi

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antwort
ich hoffe einfach mal, dass eine ganz normale ln-Funktion dran kommt und nicht irgendso eine mit cosinus oder sinus. oder gar die Umkehrfunktionen dieser ganzen Funktionen.

Vor allem so etwas haben wir auch gar nicht gemacht, jedenfalls nur ein einziges mal so ne aufgabe drangehabt. Da sollten wir aber auch nur Ableitungen und Integration machen!!

01.05.2005, 10:07

Frooke

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Bei uns im Kanton Freiburg läuft es so beim Abi (heisst Matura bei uns): Wir kriegen 4 Aufgaben: Eine aus dem Gebiet Analysis (und die ist vermutlich eine Parameteraufgabe mit ln und exp), dann eine aus der Stochastik, eine Vektorgeometrie und noch eine gemischte. Cos und sin kommen nur vielleicht zum etablieren einer Formel bei einer Extremwertaufgabe oder so dran... Aber ich denke nicht, dass Du da Ableitungen herleiten musst. Und wenn du dennoch eine Arkussinusfunktion ableiten musst, dann schaust Du, wenn Du's nicht mehr weisst, einfach im Formelbuch nach!

01.05.2005, 12:12

brunsi

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antwort
@Frooke:

steht die herleitung im Formelbuch drin? welches dürft ihr denn benutzen? wir haben leider nur eine Formelsammlung und da stehen keine herleitungen drin traurig

traurig

01.05.2005, 13:12

Frooke

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Nein, schon nicht, aber wenn Du eine Ableitung benötigst, ohne Herleitung, dann stehts schon da und ansonsten steht auch der Satz über Ableitung der Umkehrfunktion drin Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Im schlimmsten Fall kannst Du's ja dann damit versuchen und wirst es sicher auch hinkriegen!

Das Formelbuch, welches wir benutzen heisst «Formeln und Tafeln» (ist aber ein schweizerisches Werk)...

01.05.2005, 15:56

brunsi

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antwort
der satz über Ableitung der Umkehrfunktion ist das vielleicht dieser:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ ????

ICh weß jetzt mehr

ICh weß jetzt mehr

verwirrt

01.05.2005, 16:00

iammrvip

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Nein, den hat Frokke aber schon aufgeschrieben, wenn auch symblisch etwas ungenau:

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}(y)\right)' = \frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

01.05.2005, 18:06

Frooke

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
der satz über Ableitung der Umkehrfunktion ist das vielleicht dieser:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ ????

Ich glaube, Du denkst hier eher an den Reziprokensatz:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{g(x)},f'(x)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2} \end{eqnarray*}$

@iammrvip: Hast recht, ich sollte dieses hoch -1 und den Strich nicht so gedrängt aufeinanderlassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2005, 22:30

Austi

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Danke für Eure tolle Hilfe.. morgen geht´s um alles

MfG
Austi

02.05.2005, 14:34

brunsi

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antwort
bei mir gings schon um alles, und ich muss sagen, dass es bei analytischer geometrie einfach war und bei analysisi ziemlich kompliziert.

das integral für ne stammfunktion steht in nem anderen thread, schauts euch mal an!!

02.05.2005, 19:08

iammrvip

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
bei mir gings schon um alles, und ich muss sagen, dass es bei analytischer geometrie einfach war und bei analysisi ziemlich kompliziert.

Big Laugh

das habe ich auch schon von einigen älteren Schülern gehört.

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