Grundlegende Fragen zur Kombinatorik (Urnenmodell)

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FSI Auf diesen Beitrag antworten »
Grundlegende Fragen zur Kombinatorik (Urnenmodell)
Hallo

Ich habe einige grundlegende Fragen zur Kombinatorik.
Ich habe schon einige Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung gerechnet aber komme nicht hinter den richtigen Denkansatz. Ich glaube ich gehe die Aufgaben einfach falsch an. Darum wäre ich sehr froh, wenn ihr mir nur sagen könntet wie ihr die untenstehenden Beispielaufgaben im Kopf angeht. Eine Musterlösung ist nicht nötig.


Beispiel 1:
In einer Urne befinden sich 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. 5 Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 schwarze zu ziehen?

Mein Denkansatz hier wäre, dass es nur 2 zutreffende Fälle gibt.
Ereignis A, dass bei den 5 Ziehungen eine schwarze dabei wäre
Ereignis B, dass bei den 5 Ziehungen zwei schwarze dabei wären.
Da beide Fälle disjunkt sind, gilt für die gesamte Wahrscheinlichkeit P = P(A) + P(B).
Mein Problem: Wie berechne ich P(A) und P(B) konkret? Wie gehe ich das an?


Beispiel 2:
Eine Urne hat 40 weiße und 10 schwarze Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Ziehung von 20 Kugeln maximal 5 schwarze enthalten sind?


An und für sich das gleiche wie oben. Nur diesmal mit einer höheren Summe von Kugeln, so dass man hier mit "Alle Fälle per Hand durchgehen" nicht mehr viel taugt bzw. sehr lange braucht.


Ich will diese Aufgaben immer mit bedingten Wahrscheinlichkeiten angehen. Also eine Kugel ziehen, und dann von n-1 Kugeln in der Urne ausgehen. Die nächste Ziehen und von n-2 ausgehen usw...
Aber meine Ergebnisse sind praktisch immer falsch und führen (wie beim zweiten Beispiel) zu sehr langen Rechnungen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Den Fall, dass gar keine schwarze Kugel dabei ist, hast du vergessen (dieser hat aber Wahrscheinlichkeit 0). Bevor man irgendwelche kombinatorischen Aufgaben angeht, sollte man sich auf einen Ereignisraum festlegen. Wie würdest du diesen wählen?
FSI Auf diesen Beitrag antworten »

An den von dir angesprochenen Fall habe ich auch gedacht, wegen der Wahrscheinlichkeit 0 habe ich diesen aber absichtlich weggelassen.

Als Ereignisraum würde ich alle gültigen Fälle summieren.
Im Beispiel 1 also Ereignis A und B

Im Beispiel 2 die Ereignisse...
A: 0 schwarze enthalten
B: 1 schwarze enthalten
C: ....
....
F: 5 schwarze enthalten
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist kein Ereignisraum. Da es sich hier um ein diskretes Modell handelt, wählt man als -Algebra natürlich die Potenzmenge des Ergebnisraumes. Also nochmal die Frage: Wie würdest du beschreiben/wählen?
FSI Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja, dann ist der Ereignisraum die Summe alle Elementarereignisse.

Auf Beispiel 1 bezogen wären dann die Elementarereignisse alle möglichen 5-maligen Ziehungen ohne Zurücklegen aus den 6 schwarzen und 4 weißen Kugeln, oder?

OOOOO, XOOOO, XXOOO,... XXXXX
(O für weiß, X für schwarz)

Also alle möglichen Variationen ohne Zurücklegen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FSI
Achso ja, dann ist der Ereignisraum die Summe alle Elementarereignisse.


Nicht Summe, sondern Menge Augenzwinkern



Der Fall "genau eine schwarze Kugel ist dabei": Wähle eine der 6 schwarzen Kugeln aus und sodann alle weißen Kugeln. Wie viele Möglichkeiten ergibt das?
 
 
FSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Zitat:
Original von FSI
Achso ja, dann ist der Ereignisraum die Summe alle Elementarereignisse.


Nicht Summe, sondern Menge Augenzwinkern



Der Fall "genau eine schwarze Kugel ist dabei": Wähle eine der 6 schwarzen Kugeln aus und sodann alle weißen Kugeln. Wie viele Möglichkeiten ergibt das?


Das ergibt dann Möglichkeiten.

Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 5 Ziehungen genau eine Schwarze dabei ist . Von den weißen Kugeln fließt dann nichts in die Wahrscheinlichkeit hinein, weil wir davon ausgehen, dass sowieso alle weißen Kugeln gezogen werden? Also eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Soweit richtig?

EDIT: Denkfehler, darum nochmal überarbeitet.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit hat das nichts zu tun, sondern damit, dass . Das Zwischenergebnis stimmt. Bleibt noch ein Fall übrig.
FSI Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.

Das heist, das rein formelle Ergebnis für den ersten Fall würde jetzt so aussehen:





Okay der zweite Fall sagt aus, dass 2 schwarze gezogen werden.

Die Möglichkeiten aus 6 Schwarzen 2 zu ziehen ist:
= 15

Die Möglichkeiten aus 4 Weißen 3 zu ziehen ist:
= 4

Damit lautet das zweite Teilergebnis:


Da beide Teilergebnisse stochastisch unabhängig voneinander sind müsste dann die Lösung lauten:

therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FSI
Da beide Teilergebnisse stochastisch unabhängig voneinander sind


Nein, mit Unabhängigkeit hat das nichts zu tun, sondern mit der Disjunktheit der Ereignisse (endliche -Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes). Dein Ergebnis stimmt aber.
FSI Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, das wollte ich damit sagen. Also dass sich die Ereignisse gegenseitig ausschließen Augenzwinkern

Vielen Dank für die Hilfe von dir!!
Ich glaub nun bin ich dahinter gekommen wie ich solche Aufgaben angehen muss.
Die Sache mit dem Ereignisraum hatte ich nicht verstanden aber nun dürfts klappen!

Super danke! Freude
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