Natürliche Zahlen bestimmen die ...

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Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche Zahlen bestimmen die ...
Also hab eine Aufgabe bei der ich alleine nicht weiter komme traurig ,
vielleicht kann mir hier jemand dabei helfen?! Hilfe Gott

Bestimme alle natürlichen Zahlen, die genau so groß wie das Elffache ihrer Quersumme sind.
Beweise, dass es eine kleinste und eine größte derartige Zahl gibt. verwirrt
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man die Zahlen in ihrer Basisdarstellung aufschreibt, kann man deine Bedingung als Gleichung formulieren. zB ist
234=2*10^2+3*10^1+4^10^0
mit diesem Ansatz sollte das nicht mehr so schwer sein.
 
 
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal,

aber wie bekomme ich damit alle zahlen raus die genau so groß wie das elffache ihrer quersumme sind???
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel:
Für 2stellige Zahlen sähe die Bedingung so aus :

wobei die erste und die zweite Stelle der Zahl ist.
Diese Gleichung kannst du analog für Zahlen mit mehr Stellen und auch allgemein aufstellen. Allerdings wird es hier wohl erstmal reichen, wenn du die ersten paar Möglichkeiten betrachtest - es gibt nicht so viele Zahlen, die die Bedingung erfüllen Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch doch mal, eine allgemeine Gleichung aufzuschreiben. Dann überleg dir, warum es eine größte Zahl gibt und ab welcher Stellenanzahl es keine solche Zahl mehr geben kann.
Dann versuchst du noch Eigenschaften der Zahl zu finden und dann kannst du ja einfach alle Zahlen mit diesen Eigenschaften ausprobieren.

edit: Um diese Uhrzeit zwei Posts so nah beieinander Hammer
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

also irgendwie bekomme ich gar keine zweistellige zahl heraus die genau so groß wie das elffache ihrer quersumme ist?!?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ist doch nich so schlimm (denn es gibt keine!)!! Welche Eigenschaften hast du denn bisher rausgefunden??
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lisalein
also irgendwie bekomme ich gar keine zweistellige zahl heraus die genau so groß wie das elffache ihrer quersumme ist?!?

Richtig Freude , jetzt kannst du die Gleichung ja mal für mehrstellige Zahlen aufstellen

@MSS: Ja, es gibt schon Zufälle...

edit : argh Hammer
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

für dreistellige zahlen ist die gleichung doch:

11*(x1+x2+x3) = 10^2 *x1 +10^1 * x2 + 10^0*x3

n müsste doch ein vielfaches von 11 sein
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es überhaupt eine solche zahl???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lisalein
n müsste doch ein vielfaches von 11 sein

Richtig, das wollt ich mal hören. Aber wie lange willst du das weitermachen?? Willst du nicht erstmal herausfinden, bei wie vielen Stellen du keine solche Zahl mehr finden kannst?

edit: Ja, es gibt eine und wenn ich mich nicht vertan habe auch nur genau diese eine.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

doch, ich möchte das schon wissen, aber ich weis nicht wie ich das herausfinde?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nimm doch mal allgemein eine k-stellige Zahl , die in der Dezimaldarstellung dann so aussieht:



Die 11fache Quersumme:



1. Wie groß kann denn jeder der Zahlen höchstens sein??
2. Wie groß kann damit die Quersumme höchstens sein?
3. Wie groß ist die Zahl selber mindestens?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beweise, dass es eine kleinste und eine größte derartige Zahl gibt.

zu diesem teil, wir suchen zahlen aus IN.
zeige, dass das nicht leer ist, damit ist dieser teil bereits bewiesen, wenn man wichtige axiome der natürlichen zahlen kennt.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmmmm,
ich versteh es einfach nicht verwirrt , ich glaub ich bin da zu blöd zu!!! traurig
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kannst du nicht mal die erste Frage beanwtorten?
Kann eine der Ziffern 10 oder größer sein??
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

nein sie kann nicht größer als 10,
also nur 0-9, weil es keine zweistelligen ziffern gibt.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

im dezimalsystem zumindest.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Also das es eine kleinste gibt folgt ja schon daraus das es eine kleinste natürliche Zahl gibt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das heißt:



Was bedeutet das nun für



?? Schätz das mal nach oben ab!
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nur eine raus *schnief* Dabei hätte ich mir noch mehrere gewünscht.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab auch bisher jetzt nur eine raus und zwar

198 weil: 11*(1+9+8)=10^2*1 + 10^1*9 + 10^0 *8
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Prima.

Jetzt mal meine Frage:
Zählt ihr eigentlich 0 auch zu den natürlichen Zahlen ?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist ja auch richtig. Aber jetzt musst du zeigen, dass es die einzige ist. Hast du mal versucht, das abzuschätzen, wie ich gesagt habe?
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

kann man das überhaupt nach oben abschätzen es gibt doch eine unendliche anzahl natürlicher zahlen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Quersumme Q(n) einer natürlichen Zahl nach oben durch die Zahl n selbst abschätzen, also . Dieses Prinzip kann man natürlich auch variieren, so gilt z.B.

für alle .

In dieser Ungleichung gilt sogar Gleichheit, falls ist, d.h., die Zahl maximal dreistellig ist.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

achso,
aber wie kann ich nun beweisen das 198 die einzige zahl ist bei der es geht,also gleichzeitig größte und kleinste zahl ist???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, von meinem letzten Beitrag mit ausgehend, und deine Voraussetzung einsetzend, erhält man

, umgeformt zu ,

letzteres natürlich wegen .

Also muss gelten, und wie ich oben schon erwähnt habe, gilt dann Q(a)=a und somit sogar

.

Die beiden Lösungen und folgen unmittelbar, also n=0 und n=198.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal kann man sich noch überlegen, ob 0 eine natürliche Zahl ist, wenn ja, dann ist sie auch eine Lösung und dann musst du ausprobieren, die untere Grenze ist 0 und die obere kann man durch eine 2.Abschätzung auf 297 und eine dritte dann auf 220 abschätzen und du weißt, dass n durch 11 teilbar ist, also hast du noch 21 Sachen zum durchrechnen
Edit:Arthurs Variante ist mal wieder sinnvoller.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

also ich dachte 198 ist die einzige natürliche zahl mit der es geht verwirrt
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

na schau, mit 0 geht es natürlich auch, denn 11*0=0

Nur ist die Frage, ob 0 als natürliche Zahl gilt oder nicht, da gibt es unterschiedliche Meinungen, schau hier. Am besten fragst du da deinen Prof/Lehrer, ob er 0 als Lösung akzeptiert.
Lisalein Auf diesen Beitrag antworten »

ist klar aber es sind doch nur 0 und 198


ganz lieben dank an alle die mir Hammer bis hierher, mit soviel mühe und geduld geholfen haben Freude
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