Iwasawa-Zerlegung

30.12.2007, 22:25

Musashi

Iwasawa-Zerlegung

Hi,

ich zerbreche mir gerade darüber den Kopf wie aus der Cholesky-Zerlegung A= G Gtransponiert die ich auf der Grundlage einer Orthonormalbasis erstellt habe die Iwasawa-Zerlegung mit A=DNS wobei D Diagonalmatrix mit nutr positiven einträgen ist N eine rechte obere Dreiecksmatrix mit Einsen in der Diagonalen und S eine orthogonale Matrix folgt. Der Lorenz ist mir da irgendwie nicht ganz klar, es wird da ziemlich umständlich gemacht und der Mitschrieb ist ziemlich wirr.

Gibt es evtl ein Skript oder so in den Tiefen des Netzes wo das aufgeschrieben ist oder hat jemand den einen oder anderen Hinweis damit ich zumindest einen Angriffspunkt für die Folgerung habe?

Viele Grüße

Musashi

01.01.2008, 13:02

tigerbine

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Ohne eine Verwendung von latex ist es eine Zumutung zu erahnen was Du meinst. Auf diesem Übungsblatt ist eine Definition der Iwasawa-Zerlegung gegeben. Ist das nicht ein anderer Name für "QR-Zerlegung" ? Erstaunt2

Mich irritiert bei deiner Schreibweise $\begin{eqnarray*} A=DNS \end{eqnarray*}$ , dass die Dreiecksmatrix (D ist vernachlässigbar) links anstatt rechts steht.

Mit "Lorenz" meinst Du einen Autor? Dann zitier doch mal die Textstelle, die du nicht verstehst ausführlich.

Gruß,
tigerbine

01.01.2008, 19:31

Musashi

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Ja, Lorenz ist der Autor, das Buch heißt: Lineare Algebra II von Falko Lorenz und der Satz über die Iwasawa-Zerlegung(auf Seite 76 dort), die ich mitlerweile auch anders formuliert gefunden habe lautet dort:

Jede Matrix A aus der allgemeinen linearen Gruppe besitzt eine eindeutige Darstellung der Gestalt
$\begin{eqnarray*} A=DNS \end{eqnarray*}$ wobei D eine Diagonalmatrix mit positiven Diagonalkoeffizienten ist N eine obere Dreiecksmatrix mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonalen und S eine orthogonale Matrix ist.

Allerdings habe ich für die Iwasawa-Zerlegung jetzt auch die Darstellung: $\begin{eqnarray*} A=TW \end{eqnarray*}$
wobei hier $\begin{eqnarray*} T\in O(m) \end{eqnarray*}$ und W obere Dreiecksmatrix ist.

Das verwirrt mich jetzt ein wenig, zumal du sagst dass das wohl nicht korrekt wäre, wie die Matrix D in der angegebenen Formel steht. Wie kennst du denn die Formulierung der Iwasawa-Zerlegung?

Lg

Musashi

01.01.2008, 19:37

tigerbine

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Zitat:

Allerdings habe ich für die Iwasawa-Zerlegung jetzt auch die Darstellung: $\begin{eqnarray*} A=TW \end{eqnarray*}$
wobei hier $\begin{eqnarray*} T\in O(m) \end{eqnarray*}$ und W obere Dreiecksmatrix ist.

Der Name Iwasawa sagt mir gar nichts. Mein googlen ergab die zitierte Zerlegung, die ich unter dem Namen QR kenne. Daher meine Rückfrage.

01.01.2008, 19:44

Musashi

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Ich glaube es kommt dir bekannt vor, weil wie bei der QR-Zerlegung Gram-Schmidt verwendet wird nur ist der Unterschied, dass bei der QR-Zerlegung das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren verwendet wird und bei der Iwasawa-Zerlegung wie ich sie im Aufschrieb habe das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren,
Wobei das lustige an der Sache jetzt ist, dass im Lorenz auch das Orthogonalisierungsverfahren verwendet wird mein Dozent aber das Normierungsverfahren benutzt hat.

01.01.2008, 19:59

tigerbine

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Nein, mir ist es erstmal egal, wie man die Zerlegung bestimmt. Bei QR werden als "Klassiker" Gram-SChmidt oder Houdeholder-Matrizen angeführt. Es geht hier aber doch erstmal um die Existenz (und Eindeutigkeit?) der Zerlegung.

Nun ist es doch nötig zu wissen, was unter Iwasaba zu verstehen ist. In dem verlinkten Zettel und dem eben zitierten eine Zerlegung der Art

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11} & \hdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \hdots & a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vdots & & \vdots \\ q^1 & \hdots & q^n \\ \vdots & & \vdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{11}& \hdots& r_{1n} \\ & \ddots & \vdots\\ 0&&r_{nn}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im anderen Falle

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11} & \hdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \hdots & a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_{11}& &0 \\ & \ddots & \\ 0&&d_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& \hdots& r_{1n} \\ & \ddots & \vdots\\ 0&&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vdots & & \vdots \\ q^1 & \hdots & q^n \\ \vdots & & \vdots \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte, ist die Diagonalmatrix nicht von "Bedeutung", denn DN ist wieder eine obere Dreiecksmatrix. Es ist also vielmehr die FRage, ob unter dem Begriff Iwasaba eine QR oder eine RQ Zerlegung zu verstehen ist.

01.01.2008, 20:41

Musashi

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Laut dem Übungsblatt und Mitschrift ist wohl eine QR-Zerlegung gemeint, aber laut Lorenz eine RQ-Zerlegung.

Wie schon erwähnt wird in der Mitschrift Orthonormalisiert und im Lorenz Orthogonalisiert.
Könnte das den Unterschied erklären?

Ich überlege schon die ganze Zeit wie das wohl zu lösen ist.

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