Reihenwerte

01.05.2005, 13:45

Cosmo

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Reihenwerte

Hi zusammen!

Ich muss grad ein paar Reihenwerte berechnen und hab ein zwei (oder ein paar mehr) Verständnisfragen

Also $\begin{eqnarray*} \frac 1 {k!} = e \end{eqnarray*}$
Und wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \frac 1 {(k-1)!} \end{eqnarray*}$ habe, ist es dann auch e? Weil k und k-1 ist ja nun nciht soo der unterschied?

Ich krieg nämlich soinst bei $\begin{eqnarray*} \frac k {k!} \end{eqnarray*}$ das obere k nicht weg

BBFN
Cosmo

01.05.2005, 13:52

Egal

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Irgendwie kann ich da keine Reihe erkennen. Lass doch nicht einfach die hälfte weg so das wir den Rest raten müssen.

01.05.2005, 14:06

Mathespezialschüler

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Hhhm, da steht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!}=\operatorname{e} \end{eqnarray*}$ . Anscheinend sollen für k natürliche Zahlen eingesetzt werden. Das heißt jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1!}=\operatorname{e} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}=1 \end{eqnarray*}$ . Eine komische Darstellung von e, wie ich finde. Und noch mehr, auf einmal sind alle Kehrwerte der Fakultäten natürlicher Zahlen gleich und vor allem gleich e, denn:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}=\frac{1}{1!}=\frac{1}{2!}=\frac{1}{3!}=... \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt mal Spaß beiseite, meinst du rein zufällig

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k!}=\operatorname{e} \end{eqnarray*}$

??

edit: unteren Summenindex in k=0 verbessert

01.05.2005, 14:17

Egal

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Nochmal spekulieren ich denke er brauch
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k!} \end{eqnarray*}$ Und die Frage ist dann vermutlich ob das auch irgendwas mit e gibt. Da würd ich jetzt ganz spontan eine Indexverschiebung empfehlen.

01.05.2005, 14:41

Cosmo

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Sorry.

Wollt das ganze nich so komplex darstrellen, sondern kompakt.

Also hier die komplette Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_ {k=0}^\infty \frac {k+1}{k!}=\sum_ {k=0}^\infty \frac {k}{k!} + \frac 1 {k!}=\sum_ {k=0}^\infty \frac {k}{(k-1)! \cdot k} + e = \sum_ {k=0}^\infty \frac {1}{(k-1)!} + e \end{eqnarray*}$

Und nun is die frage ob ich den ersten teil auch zu e machen kann und somit der Reihenwert 2e beträgt.

Werde mich in Zukunft besser und klarer Ausdrücken :-)

01.05.2005, 14:59

Mathespezialschüler

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Das ist keine Aufgabe, sondern eine Gleichung (deine Umformung).

Zitat:

Original von Cosmo
$\begin{eqnarray*} \sum_ {k=0}^\infty \frac {k}{k!} + \frac 1 {k!}=\sum_ {k=0}^\infty \frac {k}{(k-1)! \cdot k} + e \end{eqnarray*}$

Geht diese Umformung denn auch für k=0??

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01.05.2005, 15:18

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Erinnert mich an http://www.matheboard.de/thread.php?postid=149071#post149071 . geschockt

geschockt

01.05.2005, 15:45

Cosmo

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@ Artuhr hmmm also ich hab nicht so den Durchblick, dass ich da Parallen erkenne :-(

@ Mathzespezialschüler.

Ja, warum den nicht?

$\begin{eqnarray*} \frac {0}{0!} + \frac 1 {0!}= \frac {0}{(0-1)! \cdot 0} + \frac 1 {0!} = 1 \end{eqnarray*}$

Oder sehe ich das falsch.

Und warum is das keine Aufgabe? Also das ganz vorne ist die Aufgabe, das dahinter sind meine Umformungen.

01.05.2005, 15:57

AD

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Es sind Parallelen bezüglich der Verwendung von $\begin{eqnarray*} (-1)! \end{eqnarray*}$ , wie groß ist das nochmal? verwirrt

verwirrt

01.05.2005, 16:05

Cosmo

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Ach so. Ja gut.

(-1)! ist glaube ich nicht definiert.

Aber ist das nicht lachs, da es mal 0 genommen wird und somit eh wegfällt?

01.05.2005, 16:05

Leopold

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@ Arthur

$\begin{eqnarray*} (-1)! = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ , wenn man die Rekursion sinngemäß fortsetzt. Für davidxy und Freunde ist so etwas doch kein Problem ...

01.05.2005, 16:29

henrik

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n! ist nur für natürliche Zahlen definiert.. und es gilt 0! = 1 (schwachsinn @ leopold)

Wenn euch werte außerhalb der menge der natürlichen zahlen interessiert (z.B 0.5 oder -1) müsst ihr euch die gammafkt angucken..

Zur Aufgabe.. Die Umformung gilt nicht für k=0 da 0/0 nicht 1 ist..

seh aber auch kein problem.. 0 / 0! ist doch definiert.. das is 0 / 1 = 1
also ist die reihe auch einfach e hat aber einen summanden mehr, der aber 0 ist.

01.05.2005, 16:37

AD

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@henrik

Damit keine Missverständnisse aufkommen: Da Leopold das direkt an mich adressiert hat, fehlten richtigerweise auch die sonst nötigen Ironie-Tags. Also nehmt das nicht so ernst, er als Lehrer ist bestimmt nicht dieser Meinung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2005, 16:42

henrik

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gerade weil er lehrer ist sollte man doch aufpassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

lehrer sein impliziert doch kein verständniss Prost

Prost

01.05.2005, 16:53

Cosmo

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Zitat:

Zur Aufgabe.. Die Umformung gilt nicht für k=0 da 0/0 nicht 1 ist..
seh aber auch kein problem.. 0 / 0! ist doch definiert.. das is 0 / 1 = 1

Ja, also doch 1.

Frage ist nur ob das nichtdefinierte -1! die Sache zerstört?

01.05.2005, 16:55

AD

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Klarstellung, ohne Ironie: Die Rechnung lautet

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0!} + \frac{1}{0!} = \frac {0}{1} + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis war also richtig, die Zwischenumformungen nicht.

01.05.2005, 16:59

henrik

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Die umformung danach war doch noch richtig...

deswegen wo taucht da bitte noch der term auf über den du sprichst..
das aufspalten in 2 reihen war doch richtig.. und dein term is noch der, der in der einzelsumme drin is.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2005, 18:02

Mathespezialschüler

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Machs dir doch nicht so schwer! Es geht ganz ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \sum_ {k=0}^\infty \frac {k+1}{k!}=\sum_ {k=0}^\infty \frac {k}{k!} + \sum_ {k=0}^\infty \frac{1}{k!}=\frac{0}{0!}+\sum_ {k=1}^\infty \frac {k}{(k-1)! \cdot k} + \operatorname{e} \end{eqnarray*}$

Und jetzt hast es. Jetzt musst du nur noch kürzen und ne Indexverschiebung machen und dann biste fertig.

01.05.2005, 21:07

Cosmo

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Vielen Dank :-)

Das wars auch schon.

Schönen Sonntag noch :-)

02.05.2005, 13:46

henrik

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Machs dir doch nicht so schwer! Es geht ganz ganz einfach:

wurd ja auch erst 3 mal gesagt ...

12.05.2006, 15:49

Timmy81

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Hallo,

Der Wert der folgenden Reihe soll berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot (n+1)} \end{eqnarray*}$

In der Musterlösung steht folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n \cdot (n+1)} = 1 - \frac{1}{N+1} \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n \cdot (n+1)} = 1 = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Nur hab ich keinen Plan welche Überlegung dahintersteht

12.05.2006, 17:58

klarsoweit

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Und warum gräbst du dafür einen Thread aus, der über ein Jahr alt ist? verwirrt

verwirrt

Du darfst auch einen neuen Thread aufmachen.

Nun zur Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{n+1-n}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt überleg mal, wie die ersten Summanden ausschauen.
Stichwort: Teleskopsumme.

Zitat:

Original von Timmy81
$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich bezweifle, daß das in deiner Musterlösung drinsteht.

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