Vektoren senkrecht aufeinander

31.12.2007, 12:46

toobee

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Vektoren senkrecht aufeinander

r := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
s := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes (d.h. ohne Verwendung des Kreuzproduktes alle Vektoren t, so dass die folgenden 3 Bedingungen erfüllt sind.
a) t steht senkrecht auf r
b) t steht senkrecht auf s
c) t hat die Länge 7

wie geht man den an sowas ran? a und b würd ich über das kreuzprodukt lösen, da das aber ausgeschloßen ist steh ich auf den schlauch...

31.12.2007, 12:57

tigerbine

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Mach doch einfach das, was in der Anleitung steht.

$\begin{eqnarray*} 1.~<t,r>=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~<t,s>=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.~ ||t||_2 = 7 \end{eqnarray*}$

31.12.2007, 14:47

toobee

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Zitat:

Original von tigerbine
Mach doch einfach das, was in der Anleitung steht.

$\begin{eqnarray*} 1.~<t,r>=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~<t,s>=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.~ ||t||_2 = 7 \end{eqnarray*}$

ich versteh leider nicht was mir das jetzt sagen soll. was bedeutet das, wenn 2 vectoren in so spitze klammern eingeschloßen sind?!?

für was stehn die doppelten betragsstriche und die tiefergestellte 2?!?

31.12.2007, 14:49

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} <,> \end{eqnarray*}$ Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} ||.||_2 \end{eqnarray*}$ euklidische Norm

01.01.2008, 13:38

toobee

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also t ist doch mein unbekannter vektor, den muss ich ja erst ermitteln, vorher kann ich gar keine skalarprodukte bilden. oder versteh ich jetzt was falsch?

01.01.2008, 13:40

Bjoern1982

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Du musst mit einem allgemeinen dreidimensionalen Vektor t ansetzen.
Du erhälst damit durch jede Bedingung eine Gleichung.
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten ---> eindeutig lösbar

Gruß Björn

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01.01.2008, 13:41

tigerbine

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Du könntest da mal die Ansätze Aufschreiben. t ist der gesuchte Vektor im IR³, mach halt eine schreibweise

$\begin{eqnarray*} t=\begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.01.2008, 14:13

toobee

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r := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

-2 * t1 = 0
-3 * t2 = 0
2 * t3 = 0

t1 = -1/2
t2= -1/3
t3 = 1/2

meinst du das so?!?

01.01.2008, 14:19

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
Mach doch einfach das, was in der Anleitung steht.

$\begin{eqnarray*} 1.~<t,r>=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~<t,s>=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.~ ||t||_2 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.~&&t_1r_1 + t_2r_2 + t_3r_3 \stackrel{!} = 0\\ \Leftrightarrow && -2t_1 -3t_2 +2t_3 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

01.01.2008, 15:26

toobee

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ei

unglücklich

ich raffs einfach nicht wie mich das näher an meinen gesuchten vektor bringt. was heist den das ! über den gleichheitsszeichen

01.01.2008, 15:31

tigerbine

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! heißt, dass das gelten soll. 1. habe ich dir Vorgemacht, mit 2 und 3 erhälst Du 3 Gleichungen für 3 Uunbekannte. Das kann man dann lösen.

01.01.2008, 15:39

toobee

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d.h. für 2tens dann so

$\begin{eqnarray*} 2.~&& t_1s_1 + t_2s_2 + t_3s_3 \stackrel{!} = 0\\ \Leftrightarrow && 4t_1 +3t_2 -3t_3 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

das mit der euklidischen norm krieg ich aber nicht aufgestellt....da brauch ich doch die wurzel des sklaraprodukt aus <t,t> ?! wie muss ich die gleichung dann aufstellen?

01.01.2008, 15:48

tigerbine

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Du hast es doch schon richtig gesagt. Nun eben noch hinschreiben.

$\begin{eqnarray*} 3.~&& \sqrt{t_1t_1 + t_2t_2 + t_3t_3 }\stackrel{!} = 7\\ \Leftrightarrow && \sqrt{t_1^2 +t_2^2 +t_3^2} \stackrel{!} =7 \end{eqnarray*}$

Die Wurzel war bei <,> zu viel, sorry. Habe das editiert. Nun hier quadrieren und Du erhälst

$\begin{eqnarray*} && t_1^2 +t_2^2 +t_3^2 \stackrel{!} =49 \end{eqnarray*}$

Nun Löse aber erstmal das LGS aus 2 und 3. Dabei bleibt eine Freie Variable. Klar, denn die Länge eines Vektors hat ja nichts mit der Orthogonalität zu tun.

01.01.2008, 16:00

toobee

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r := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
s := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.~&&t_1r_1 + t_2r_2 + t_3r_3 \stackrel{!} = 0\\ \Leftrightarrow && -2t_1 -3t_2 +2t_3 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~&& t_1s_1 + t_2s_2 + t_3s_3 \stackrel{!} = 0\\ \Leftrightarrow && 4t_1 +3t_2 -3t_3 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} && t_1^2 +t_2^2 +t_3^2 \stackrel{!} =49 \end{eqnarray*}$

mit lgs lösen meinst du diese GaußElimination und das jetzt auf treppenfrom bringen?!

01.01.2008, 16:05

tigerbine

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Zitat:

Original von toobee
mit lgs lösen meinst du diese GaußElimination und das jetzt auf treppenfrom bringen?!

Ja, aber nur 1 und 2

01.01.2008, 16:39

toobee

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2t_1 & -3t_2 & +2t_3 \\ 4t_1 & +3t_2 & -3t_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

erste zeile mal 2 auf zweite addieren
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2t_1 & -3t_2 & +2t_3 \\ 0 & -3t_2 & +1t_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

01.01.2008, 16:58

tigerbine

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Diese Schreibweise mag ich nicht, fehlt doch die rechte Seite

$\begin{eqnarray*} 1.~ -2t_1 -3t_2 +2t_3 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.~ 4t_1 +3t_2 -3t_3 \stackrel{!} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 4 & 3 &-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\t_2 \\t_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 0 & -3 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\t_2 \\t_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_3 \end{eqnarray*}$ ist frei wählbar. Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} t_2 = \frac{1}{3} t_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1 = ? \end{eqnarray*}$

01.01.2008, 17:28

toobee

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ich finde zwar die zahlen in deinem t2 wieder, aber ich versteh nicht nach welchem prinzip du die zeile jetzt ungeformt hast verwirrt

verwirrt

01.01.2008, 17:50

tigerbine

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Zeile 2 nach t2 umgestellt, mehr nicht.

01.01.2008, 18:01

toobee

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hm.....ich verstehs nicht.

t2 -3 +1 = t3
t2 = 1/3 t3

oder wie bist du auf t2 gekommen ?

01.01.2008, 18:03

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 0 & -3 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\t_2 \\t_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zweite zeile

$\begin{eqnarray*} -3t_2+t_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3t_2 =-t_3 \end{eqnarray*}$

01.01.2008, 18:32

toobee

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 0 & -3 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\t_2 \\t_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2t_1 -3t_2 +2t_3 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t1=\frac{+3t_2-2t_3}{-2} \end{eqnarray*}$

so?

01.01.2008, 18:42

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 0 & -3 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\t_2 \\t_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zweite Zeile

$\begin{eqnarray*} -3t_2+t_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3t_2 =-t_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2 =\frac{1}{3}\cdot t_3 \end{eqnarray*}$

Nun zur ersten Zeile:

$\begin{eqnarray*} -2t_1 - 3 \cdot \frac{1}{3}\cdot t_3 + 2t_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1 = - \frac{1}{2} \cdot t_3 \end{eqnarray*}$

Daher sehen die zu r und s orthogonalen Vektoren wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} t_3 \cdot \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie muss man nun t3 wählen, damit auch die dritte Bedingung erfüllt ist?

01.01.2008, 19:33

toobee

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für welches t3 kommt bei einer skalarenmultiplikation des vektors mit sich selbst nach dem ziehn der wurzel 7 raus?!?

das is die frage?! ehm....das weis ich leider auch nicht....wie recht net man sowas? unglücklich

unglücklich

01.01.2008, 19:39

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} 3.~&& \sqrt{t_1t_1 + t_2t_2 + t_3t_3 }\stackrel{!} = 7\\ \Leftrightarrow && \sqrt{t_1^2 +t_2^2 +t_3^2} \stackrel{!} =7 \end{eqnarray*}$

Da eben einsetzen. Dann ist das eine Gleichung für eine Unbekannte.

02.01.2008, 12:47

toobee

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ok, danke soweit.

Aber wenn ich jetzt mit meinen vektor r mit meinem vektor t eine skalarprodukt berechnung durchführe, müsste da doch null rauskommen, stände t senkrecht auf r.....tut es aber nicht. ist das dann nicht falsch?

02.01.2008, 13:02

tigerbine

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Das Prinzip stimmt. Hat sich irgendwo ein Rechenfehler eingeschlichen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 4 & 3 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & -6 & 4 \\ 4 & 3 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 &-3 & 2 \\ 0 & -3 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_3 = \text{frei wählbar} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3t_2 + t_3 = 0 \Leftrightarrow -3t_2 = - t_3 \Leftrightarrow t_2 = \frac{1}{3} t_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2t_1-3t_2 + 2t_3 = 0 \Leftrightarrow -2t_1 - t_3+2t_3 = 0 \Leftrightarrow t_1 = \frac{1}{2}t_3 \end{eqnarray*}$

Damit lautet der Vektor:

$\begin{eqnarray*} t_3 \cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} -2\cdot \frac{1}{2}t_3- 3 \cdot \frac{1}{3}t_3 + 2t_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot \frac{1}{2}t_3+ 3 \cdot \frac{1}{3}t_3 -3t_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Also war es nur ein VZ-Fehler. Nun mal weiter.

02.01.2008, 13:23

toobee

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ah, ok , wegen der länge die ja gleich 7 sein soll

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5^2 + (1/3)^2 + t3^2} = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t3 = 6,97... \end{eqnarray*}$

so richtig? jetzt stimmt dann zwar die länge, aber dafür funktioniert mit diesem wert als t3 die sache mit denm senkrecht afueinanderstehen nicht mehr.

02.01.2008, 13:28

tigerbine

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Das kann nicht sein. unglücklich

unglücklich

Die orthogonalität hängt nicht von t_3 ab.

$\begin{eqnarray*} -2\cdot \frac{1}{2}t_3- 3 \cdot \frac{1}{3}t_3 + 2t_3 = t_3 \cdot (-1-1+2)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\cdot \frac{1}{2}t_3+ 3 \cdot \frac{1}{3}t_3 -3t_3 =t_3 \cdot (2+1-3) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun einmal die Länge

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t_1^2 +t_2^2 +t_3^2} \stackrel{!} =7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1^2 +t_2^2 +t_3^2 \stackrel{!} =49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot t_3^2 + \frac{1}{9}t_3^2 +t_3^2 \stackrel{!} =49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{9+4+36}{36} \cdot t_3^2 \stackrel{!} =49 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{49}{36} \cdot t_3^2 \stackrel{!} =49 \end{eqnarray*}$

Du hast 0.5 nicht ()² und bleibe besser in Bruchschreibweise.

02.01.2008, 13:57

toobee

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dankeschön Gott

Gott

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