Facharbeit: Kegelschnitte (Hilfe!!!)

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28.02.2004, 22:06	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Facharbeit: Kegelschnitte (Hilfe!!!) Hey Leute, ich brauch da mal ein bisschen Hilfe! Ich schreibe in Mathe meine Facharbeit und zwar über Kegelschnitte und ich habe da ein kleines Problem! Wie funktioniert die Drehung des Koordinatensystems? OK, und doch noch eins: Wie beweise ich am besten die Scheitelpunktsgleichung der Ellipse, bzw. Hyperbel? Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt und das auch macht Danke, ramirez!
29.02.2004, 17:43	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ramirez Schön dass du hierher gefunden hast und meinem Link gefolgt bist ich hab das leider noch nicht gemacht... aber wir haben einige Studenten hier, die sicher gerne helfen mfg
02.03.2004, 14:17	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis jetzt ist zwar noch nichts gekommen, wie man sehen kann , aber was nicht ist, kann ja noch werden. Und überhaupt kann es ja nicht schaden sich hier ein bisschen um zu gucken, vielleicht selber zu helfen und selber HIlfe bekommen, wenn man sie braucht.
03.03.2004, 18:40	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
das klingt doch mal gut Schreib doch ne PN an Jama...vielleicht kann er dir helfen mfg
03.03.2004, 19:56	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ramirez, Ich nehme an,Du möchtest z.B. eine Ellipse mit beliebiger Lage drehen und in den Koordinatenursprung legen. Das funzt mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren.Hast Du eine Beispielaufgabe? Wenn nicht,denke ich mir eine aus. Polarfuchs
04.03.2004, 11:52	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispielaufgabe habe ich nicht, ich habe nur die direkte Aufgabe! Aber mir geht es allgemein um die Drehung. Das wäre echt klasse von dir, wenn dir da was einfallen würde! Ich hoffe mal, dass es das tut
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04.03.2004, 18:53	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar,ich bitte um etwas Geduld. Polarfuchs
05.03.2004, 15:40	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kein Problem, solange du mir denn helfen kannst!
05.03.2004, 17:52	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok,zunächst ein einfaches Beispiel. Wir drehen die Hyperbel mit der Gleichung y=1/x bzw. xy-1=0 um den Winkel alpha=45° nach links,um eine Hyperbelgleichung der Form y^2/b^2-x^2/a^2=1 zu bringen. (Bei einer Rechtsdrehung würde man die Form x^2/a^2-y^2/b^2=1 erhalten!) Der benötigte Drehwinkel alpha ist aus Symmetriegründen in diesem Fall sofort bekannt. Bezeichnungen: x: x-Koordinate VOR der Drehung des Koordinatensystems y: y-Koordinate VOR der Drehung des Koordinatensystems u: x-Koordinate NACH der Drehung des Koordinatensystems v: y-Koordinate NACH der Drehung des Koordinatensystems Die neuen Koordinaten sind mit Hilfe einer Drehmatrix zu berechnen: $\begin{align} $\array{x\\y\\}$ \end{align}$ = $\begin{align} $\array{cos(\alpha)&sin(\alpha)\\-sin(\alpha)&cos(\alpha)\\}$ \end{align}$ $\begin{align} $\array{u\\v\\}$ \end{align}$ Man erhält also x=ucos(alpha)+vsin(alpha)=u1/sqrt(2)+v1/sqrt(2) y=-usin(alpha)+vcos(alpha)=-u1/sqrt(2)+v1/sqrt(2) also x=(u+v)/sqrt(2) y=(v-u)/sqrt(2) Dies setzen wir einfach in yx-1=0 ein und erhalten nach etwas Umforumg v^2/2-u^2/2=1 ============= (Plotte Dir mal die Graphen aus!) Anmerkung: Sieht etwas eigenartig aus da oben...naja .Wenn es Probleme gibt,bitte nachfragen.Ist Dir z.B. die Drehmatrix bekannt?Wenn ja,brauchen wir uns damit ja nicht aufhalten,sondern können direkt auf konkrete Probleme deinerseits eingehen. Ich bitte um Nachsicht,bin nicht sehr geübt im Erklären! Polarfuchs
06.03.2004, 13:55	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ist vollkommen ok und verständlich. Die Matrix ist auch kein Problem. Soweit danke ich dir erst einmal. Ich glaube, bzw. ich bin fest davon überzeugt, dass das mir weiterhelfen wird. thx, ramirez!
06.03.2004, 18:56	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so und die reelle Aufgabe ist übrigens (eigentlich recht allgemein): Eine Ellipse/Parabel mit Mittelpunkt/Scheielpunkt im Ursprung wird verschoben und um den Ursprung gedreht. Hierbei ändert sich die Form der Kegelschnitte nicht, wohl aber die Gleichung. Begründen sie, dass sich die neue Gleichung durch die Form: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 darstellen lässt. Kannst du mir da helfen???
07.03.2004, 09:34	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragt sich,was als "Begründung" erwartet wird. Wenn es um die reine Verschiebung des Koordinatensystems geht,kommt man relativ schnell durch algebraische Umforumg ans Ziel. Für einen achsenparallelen Kegelschnitt mit Mittelpunkt im Ursprung gilt die Gleichung Ax^2+Cy^2+F=0 Jetzt verschiebe ich das Koordinatensystem: x=u-a y=v-b A(u-a)^2+C(v-b)^2 +F=0 Ich klammere aus und sortiere nach den Variablen: Au^2+Cv^2-2aAu-2bCv+a^2A+b^2C+F=0 Ich setze D=-2aA,E=-2bC und W=a^2A+b^2C+F: Au^2+Cv^2+Du+Ev+W=0 =================== Oder,wie allgemein üblich Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 Bei der Drehung (gemischtes Glied) geht das wohl (auf den ersten Blick) nicht so elegant. Mal sehen,was mir da noch einfällt. Polarfuchs
07.03.2004, 17:39	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier ja leider auch um die Drehung. Also, sowohl Verschiebung, als auch Drehung, das ist ja das Problem. Und dann ist es auch auf keine besondere Art von Kegelschnitten bezogen. Voll dumm, da ich auh nicht mehr viel Zeit habe. Trotzdem danke für deinen Versuch. Vielleicht fällt dir ja wirklich noch was ein. Vielleicht noch eine andere Sache. Hier geht es um eine reine Beispielrechnung. Aufgabe: Die Gleichung 13x² - 10xy + 13y² + 36x - 36y -36 = 0 beschreibt einen Kegelschnitt. Gib Länge der Hauptachse, sowie die Mittelpunktskoordinaten an!
07.03.2004, 19:22	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war mir schon klar! Wenn wir nun dasselbe für die Drehung bewerkstelligen,ist die Herleitung meiner Meinung nach komplett.Ich denke,daß wird mir gelingen. Ob es das Erwartete ist,weiß ich nicht... Polarfuchs
07.03.2004, 23:41	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wohl vorteilhafter,zunächst die Drehung vorzunehmen.Vergiß also meinen Beitrag zur Verschiebung bitte! Ax^2+Cy^2+F=0 x=ucos(alpha)+vsin(alpha) y=-usin(alpha)+vcos(alpha) Substitution: m=ucos(alpha) n=vsin(alpha) p=vcos(alpha) q=usin(alpha) Damit ist x=m+n y=p-q In Ausgangsformel eingesetzt: A(m+n)^2+C(p-q)^2+F=0 Ausmultipliziert: Am^2+Cq^2+An^2+Cp^2+2Amn-2Cpq+F=0 Rücksubstitution und anschließende Umformung ergibt: [Acos^2(alpha)+Csin^2(alpha)]u^2+[Asin^2(alpha)+Ccos^2(alpha)]v^2 +[2Asin(alpha)cos(alpha)-2Csin(alpha)cos(alpha)]uv+F=0 oder A´u^2+Buv+C´v^2+F=0 ----------------------------------- Zur besseren Übersicht gehen wir also nun von der Gleichung Ax^2+Bxy+Cy^2+F=0 aus. Es ist nun x=u-a y=v-b A(u-a)^2+B(u-a)(v-b)+C(v-b)^2+F=0 Nach Variablen sortiert: Au^2+Buv+Cv^2+(-2Aa-Bb)u+(-2Cb-Ba)v+Aa^2+Cb^2+F=0 oder Au^2+Buv+Cv^2+Du+Ev+F´=0 -------------------------------------------- bzw. Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 =================== Polarfuchs
09.03.2004, 12:10	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir echt. Das ist eine echt große Hilfe von dir! Gut zu wissen, dass es Leute mit Ahnung gibt! Ich werde jetzt probieren dies auf die anderen Aufgaben noch zu übertragen und dann sollte mir nichts mehr im Weg stehen!
13.03.2004, 18:30	Polarfuchs	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ramirez, Gern geschehen!Benötigst Du noch die Lösung der Aufgabe? Polarfuchs
18.03.2004, 11:43	ramirez	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein danke, ich habe gestern meine Arbeit abgegeben. Jetzt kann ich nur noch hoffen, dss sich der ganze Streß gelohnt hat.
20.01.2005, 15:01	egal :)	Auf diesen Beitrag antworten »
hey leute. hab auch ein kleines problemchen mit kegelschnitten. und zwar folgendes: a(1-a)/b - b/3 = 0 das habe ich mit - 3b multipliziert und erhalte daher: 3a²-3a+b²=0 jetzt habe ich gemacht: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 31-00 = 3 \end{eqnarray}$ und da 3>0 ist, liegt eine ellipse vor. (hab ich aus meiner formelsammlung ;-) ) reicht das als begründung? habe mir die vorherigen threads mal durchgelesen, und lese dauernd was von drehung... versteh da aber gar nix davon. haben das thema leider nicht im unterricht besprochen, daher meine probs. wäre super, wenn ich mir weiterhelfen könnt. mein ergebnis bestätigen wäre noch besser so long...

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