Wenn man von einer Zahl dessen Quersumme subtrahiert, dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.

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the snake Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man von einer Zahl dessen Quersumme subtrahiert, dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.
Hallo zusammen,

ich hoffe ich bin hier im "Sonstiges"-Forum richtig.
Ich suche nach einem Beweis:

Die Differenz zwischen einer natürlichen Zahl und dessen Quersumme ist durch 9 teilbar.

Zunächst: Ich bin in der 8. Klasse am Gymnasium und wir machn gerade einfache Beweise.

Mir ist gestern Abend aufegfallen, dass es so scheint, als würde obige Aussage zutreffen. Ich habe heute meinen Mathelehrer gefragt, der hat das aber noch nie gehört. Ich soll (muss nicht) den Beweis am Mittwoch vorstellen.

Ich hab dann mal angefangen zu beweisen. Bisher hab ich das nicht "allgemein genug" bewiesen. Also nur für eine bestimmte Anzahl an Stellen der natürlichen Zahl.
Hier mal der aktuelle Stand (für 4 Stellen. "q()" steht für Quersumme dessen, das in den Klammern steht):
/Edit: korrigiert
(1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 9x
<=>999a + 99b 9c = 9x
Das ist falsch:
q (1000a + 100b + 10c + d) = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d)
<=> q( 1000a + 100b + 10c + d) = 999a + 99b + 9c


9 ist ein faktor von 999a, also ist 999a durch 9 teilbar.
9 ist ein faktor von 99b, also ist 99b durch 9 teilbar.
9 ist ein faktor von 9c, also ist 9c durch 9 teilbar.
Daraus folgt, dass 9 ein Faktior von 999a + 99b + 9c ist, so ist die Aussage bewiesen.
(Letzteres stimmt natürlich noch nicht, denn das ist ja die Frage)

Also: Wie kann ich diesen Beweis so verallgemeinern, dass er für eine beliebige Anzahl an Stellen zutrifft?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde deine Beweisvariante für 8.Klasse ganz Ok, ähnlich hat es Leopold hier auch schon erklärt - es sollte eigentlich klar sein, wie es für mehr als 4 Stellen weiter geht: 9999, 99999, 999999, ...

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=128207#post128207

Bei einem allgemeinen Beweis müsstest du von der Dezimaldarstellung



ausgehen. Und dann genügt es nachzuweisen, dass für alle natürlichen Zahlen m durch 9 teilbar ist. Das beweist man gewöhnlich durch Vollständige Induktion, die du vermutlich noch nicht kennst - deswegen ja meine Eingangsbemerkung, dass deine Variante ganz passabel ist.


P.S.: Traurig übrigens, wenn dein Lehrer mit dieser Aussage tatsächlich nichts anfangen kann.
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wenn man von einer Zahl dessen Quersumme subtrahiert, dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.
Zitat:
Original von the snake

q (1000a + 100b + 10c + d) = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d)
<=> q( 1000a + 100b + 10c + d) = 999a + 99b + 9c



hmm... deine schreibweise stimmt hier noch nicht so ganz... da steht doch dann eigentlich, dass die quersumme einer zahl gleich dieser zahl minus der quersumme ist! und das stimmt ja so nicht!
wieso benutzt du überhaupt vorne das "q" für quersumme und hinten schreibst du dann "a+b+c+d"? "a+b+c+d" ist ja eigentlich schon deine quersumme...

ich weiß nicht so recht, ob das "durchgeht", aber ich würds mal so versuchen... (nur ein kleiner ansatz! smile )

(100a + 10b + c) - (a + b + c) = 9x

in worten: eine dreistellige zahl mit ihrer quersumme subtrahiert ergibt ein vielfaches von neun.

so, jetzt aufgelöst:

99a + 9b = 9x
9 (11a + b) = 9x

das zeigt doch eigentlich, dass beide seiten ein vielfaches von 9 sind und das müsste ja theoretisch auch mit mehrstelligen zahlen funktionieren, weil sich an dem faktor 9 ja nix ändert...

vielleicht meldet sich ja noch jemand zu wort... verwirrt


/edit: huch! geschockt ich tippe mal wieder viel zu langsam! smile
danke arthur für den link... hat mich auch interessiert! smile
the snake Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hmm... deine schreibweise stimmt hier noch nicht so ganz... da steht doch dann eigentlich, dass die quersumme einer zahl gleich dieser zahl minus der quersumme ist! und das stimmt ja so nicht!
wieso benutzt du überhaupt vorne das "q" für quersumme und hinten schreibst du dann "a+b+c+d"? "a+b+c+d" ist ja eigentlich schon deine quersumme...
Oh ja...muss ich jetzt nichts zu sagen, oder :-)
Ich habs in meiner Rechnung auch mit 9x gemacht...allerdings hatte ich in der Zusammenfassung für diesen Post den Mist geschrieben.

Vielen Dank. Ich werde das am Mittwoch so formulieren, dass es "unendlich" weitergeht.

Zitat:
P.S.: Traurig übrigens, wenn dein Lehrer mit dieser Aussage tatsächlich nichts anfangen kann.
Es kann ja sein, dass der mich damit motivieren wollte, etwas "neues" zu beweisen. Allerdings denke ichnicht, dass der mich für so naiv hält, dass ich glaube, das entdeckt zu haben.
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