Partielle Ableitungen / Satz von Schwarz

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Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitungen / Satz von Schwarz
Mahlzeit,

ich habe diese Woche den Satz von Schwarz über partielle Ableitungen kennengelernt. Dieser lautet
Zitat:
Für jedes sind die partiellen Ableitungen der Ordnung unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationen


ist hier die Menge aller Funktionen , deren partielle Ableitungen der Ordnung auf der offenen Menge existieren und stetig sind.

Auf der Suche nach einer Funktion, die die Bedingungen des Satzes nicht erfüllt, habe ich festgestellt, dass ich noch ein Verständnisproblem habe.

Bezieht sich dieser Satz auf die äußere Form der partiellen Ableitungen? Oder geht es um den Wert der Ableitung, wenn man sich einer Unstetigkeitsstelle aus verschiedenen Richtungen nähert? Wenn ich die Beispiele in der Literatur anschaue, dann wohl eher das letzte, oder? Kann ich also beim bilden der partiellen Ableitungen mir die Arbeit erleichtern und annehmen, dass von der äußeren Form immer ist? Ausnahme wäre doch nur eine Funktion, deren partielle Ableitungen n-ter Ordnung in keinem G stetig sind verwirrt . Und eine solche bekommen wir garantiert nicht vorgesetzt Augenzwinkern

Habe ich das soweit überhaupt richtig verstanden? Würde mich über weitere Erklärungen freuen smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitungen / Satz von Schwarz
Zitat:
Original von Calvin
Oder geht es um den Wert der Ableitung, wenn man sich einer Unstetigkeitsstelle aus verschiedenen Richtungen nähert? Wenn ich die Beispiele in der Literatur anschaue, dann wohl eher das letzte, oder?

Das trifft es wohl im wesentlichen - vermutlich kennst du bereits das folgende Beispiel:

Für die Funktion



gilt . Ein Widerspruch zum Satz von Schwarz? Nein!

Denn obwohl alle Funktionen und beliebig oft stetig differenzierbar sind - die Ableitungen sind als Funktionen zweier Variablen im Nullpunkt nicht stetig!


P.S.: Bitte im Filmzitatethread vorbeischauen!
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitungen / Satz von Schwarz
Danke Arthur, genau diese Funktion habe ich in meiner Literatur gefunden.

Zitat:
Original von Arthur Dent
Ein Widerspruch zum Satz von Schwarz? Nein!

Denn obwohl alle Funktionen und beliebig oft stetig differenzierbar sind - die Ableitungen sind als Funktionen zweier Variablen im Nullpunkt nicht stetig!


Genau diese Überlegung macht mir Schwierigkeiten. Der Satz von Schwarz wurde bei uns in einer etwas umgangssprachlichen Formulierung eingeführt. Bei Beispielen wurde der Satz immer dann aufgeführt, wenn es darum ging, sich beim bilden der partiellen Ableitungen Arbeit zu ersparen.

Deswegen habe ich auch versucht, eine Funktion zu finden, bei der sich und in der äußeren Form unterscheiden. Heißt das, dass es eine solche Funktion nicht gibt? Und wenn ich im obigen Beispiel den Nullpunkt aus dem Definitionsbereich nehme, dann gilt der Satz von Schwarz wieder?

Da bei uns Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen nur kurz angesprochen wurde, verstehe ich im Moment nicht so ganz, warum der Satz bei uns eingeführt wurde verwirrt Nicht, dass ich dem Satz die Wichtigkeit absprechen möchte. Aber es passt einfach nicht zu den teilweise laschen Formulierungen hier an der FH (habe Mathe leider nur als Nebenfach traurig )

Gruß
Tobi

PS neues Filmzitat gibt es heute abend smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
Steffen FH Würzburg Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Schwarz
Hi Leute und geeks :=)

Ich sitze hier gerade in der Wirtschafts Mathe Vorlesung und wir nehmen diesen Satz von Schwarz durch...
Ich bin direkt von der FOS (Bayern) gekommen und ich kappiere überhaupt nicht wofür dieser Satz von Schwarz da ist bzw. wie man mit ihm rechnet!

Wäre bitte einer von euch bereit sich für mich aufzuopfern und mir das mal grop ( am besten detailiert ) zu erklären? :=)

Wäre supertoll smile

Danke schonmal im Vorraus für eure Zeit!

mfg Steffen B. FH WÜrzburg
Steffen FH Würzburg Auf diesen Beitrag antworten »
siehe oben :>
Also so weit ich das jetzt mit bekommen habe, kann man mit dieser Formel locale Extremwerte in 3D Raum berechnen :>
 
 
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