Diagonalisierbarkeit prüfen

03.05.2005, 14:16

merlin25

Diagonalisierbarkeit prüfen

Kann mir jemand mit der Aufgabe helfen?

Für die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ prüfe man die folgenden Endomorphismen auf Diagonalisierbarkeit und ermittele gegebenenfalls die Diagonalmatrix:

(a) $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^3\to \mathbb R ^3, f(x)=Ax \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} g:\mathbb C ^3\to \mathbb C ^3, g(x)=Ax \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits die Eigenwerte bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \lambda _1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda _2=\sqrt{3}i+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda _3=-\sqrt{3}i+1 \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter?

03.05.2005, 14:51

JochenX

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nunja, 2 deiner eigenwerte sind ja übe IR nicht zu gebrauchen.

die matrix ist über IC diagonalisierbar und da sie 3 verschiedene eigenwerte hat, sollte die diagonalmatrix einfach diese eigenwerte auf der diagonalen haben.

über IR ist das nur dann diagonalisierbar, wenn dim(ER_2)=3 ist (??)

03.05.2005, 14:56

merlin25

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Der Eigenraum für $\begin{eqnarray*} \lambda _1=2 \end{eqnarray*}$ sieht wenn ich mich nicht täusche so aus:

$\begin{eqnarray*} ER_{\lambda _1}=(0,0,0)+t(0,1,1) \end{eqnarray*}$

und hat somit die Dimension 1 ====> nicht diagonalisierbar

Und warum ist das so?

03.05.2005, 14:57

JochenX

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Zitat:

Und warum ist das so?

weil das halt so ist.
beruft die frage wirklich darauf, warum der eigenraum diese form hat?

edit: ah, dein edit, klar, frage missvestanden.
das ist ein satz für diagonalisierbarkeit.
schau in dein skript smile

03.05.2005, 14:59

merlin25

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nein das ist mir klar smile

ich meine warum ist die Matrix nicht diagonalisierbar, wenn die Dimension >3 ist?

und warum ist die Diagonalmatrix in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ so wie Du sie beschrieben hast?

edit: alles klar

03.05.2005, 15:04

JochenX

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hmmm, das könnte dir auch noch helfen
http://www.matheboard.de/thread.php?thre...iagonalisierbar

hab grad mal kurz in mein skript geschaut, würde das jetzt auch nicht ganz festlegen wollen, aber ich glaube spektralsatz hat damit zu tun

mfg jochen

05.05.2005, 11:44

Krümel

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Hallöchen...
Häng über der gleichen Aufgabe und frage mich, ob das alles so richtig ist was ich gemacht habe.

Erst habe ich die Eigenwerte ausgerechnet und entsprechend gesehen, dass die Matrix im reellen nicht diagonalisierbar ist.
Dann hab ich die Eigenvektoren ausgerechnet und die entstehende Matrix invertiert und schließlich nach der Formel alles multipliziert.
Ist das soweit richtig???

Mein Problem ist nun, dass mir gesagt wurde, dass die Matrix unter b) wohl diagonalisierbar ist, meine ist das aber nicht?
Hat jemand zu der Aufgabe vielleicht auch schon konkrete Ergebnisse?

Ein schönes WE wünscht Krümel!!!

07.05.2005, 12:45

kiro

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Hi Leute!
Die B) ist Diagonlaisierbar und zwar bekommst du drei Eigenvektoren, aus den du eine Matrix zusammenstellen musst (Einfach hintereinader schreiben). Ich bin jetzt bei der Diagonalmatrix, aber das ist richtig übelst, wegen der Wurzel aus 3.

Gruss

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