Volumen und Oberfläche |
| 04.05.2005, 20:27 | bad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Volumen und Oberfläche ich habe mal eine Frage aus Interesse wir behandeln gerade das Thema Volumen und Oberfläche. Wir hatten das mal Oberflächlich in der 8. Jedoch erinnere ich mich nicht mehr daran. 
Kann mir vielleicht sagen wie das Volumen und die Oberfläche für einen kegel, einer Pyramide und für eine Kugel zustande kommt. vielleicht kann mir ja jemand helfen. Danke schonmal 
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| 04.05.2005, 20:33 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kugel kenne ich mich nicht genau aus, aber bei einem Kegel und bei einer Pyramide kann man das Volumen mithilfe der Integralrechnung bestimmen, aber in der Schule habt ihr das wahrscheinlich so gemacht, dass ihr näherungsweise immer kleinere Schichten genommen habt und diese dann summiert habt. Die Oberfläche eine Pyramide und die eines Kegels bestehen ja beide aus eine Grund und einer Mantelfläche. Die Grundfläche sollte bei beiden klar sein und die Mantelfläche besteht bei der Pyramide aus n Dreiecken, wobei n die Zahl der Ecken der Grundfläche ist. Und bei Kegel habt ihr das über das "Abrollen" des Kegels gemacht, somit ergibt sich als Mantelfläche ein Kreissektor |
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| 04.05.2005, 20:44 | bad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
???? So wirklich hatten wir das thema nicht wir hatten es nur algemein für prismen das wars. Aber unsere neue Mathelehrerin verlangt von uns, dass wir das alles wissen müssen und nächste woche schreiben wir schon darüber ne arbeit. Ich verstehe u.a nicht wie beim Kegel die Formel: 1/3*pi*r^2 zustande kommt. Wieso ein drittel? |
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| 04.05.2005, 21:04 | DerEierMann | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Sciencefreak Oberflächen- und Volumenbestimmung sind Anwendungen in der Integralrechnung. Man kann mit hilfe der Integralrechnung diese bestimmen, dieses gilt meiner Meinung nach aber nur für Rotationskörper. @Bad Kannst du uns vlt sagen welche Klasse/Stufe du gerade gehst? 1/3 Bei Spitzkörper ist so, weil sich diese 1:3 zu einen "normalen Körper" verhalten. Kegel verhält sich 1:3 zu einem Zylinder mit gleicher Höhe und Kreisfläche. Pyramide (Quadrat) verhält sich auch 1:3 zu einem Quader. usw Wie wär es mit Formelsammlung?? Die Herleitung ist nicht so einfach, könnte man aber mittels der Integralrechnung machen. Wenn ihr diese aber (noch) nicht hattet, dann ist es sinnlos weiter zu lesen. 
Lässt man eine konstante Funktion über den Intervall [0;h] um die x-Achse rotieren. Entsteht ein Zylinder mit der Höhe h und den Radius r. Man kann nun eine beliebige Funktion (Gerade) . (r=radius) Und man m so wählt, dass diese den Schnittpunkt mit der x-Achse bei h hat. Lässt man diesen dann rotieren, entsteht ein Kegel, dessen Volumen berechenbar ist. Führt man das ganze Allgemein, dann kann man auf die Formeln kommen |
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| 04.05.2005, 21:19 | bad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich gehe in die neunte Klasse einer realschulr. Unter dem Bergriff Intergralrechnung kann ich mir nichts vorstellen. Sowas hatten wir noch nicht. |
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| 04.05.2005, 21:21 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann auch das Volumen einer Pyramide mit Integralrechnung bestimmen. Und der Kegel ist ein Rottationskörper, solange es ein gerade Kegel ist. Du hast auch bei der Pyramide mit der Höhe h eine Abhängigkeit der Fläche in einem bestimmten Abstand zur Grundfläche G nämlich genau wobei x der Abstand der Ebene zur Grudfläche ist. Somit gilt |
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| 04.05.2005, 21:25 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist aber schnutzig werner |
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| 04.05.2005, 21:27 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir Leid wenn ich mich blöd anstelle, aber was bedeutet "schnutzig" und wodrauf bezieht sich das Edit: sollte das vielleicht schmutzig heißen? Aber warum? Meinst du wegen dieser tolllen Integraldarstellung? Das war nur zur Verdeutlichung oder hast du eine bessere Idee für die Berechnung |
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| 04.05.2005, 21:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kennst du den Satz des Cavalieri?? Damit kann man das herleiten, allerdings würde es sehr lange dauern, dies hier alles darzustellen. Ihr müsst das doch im Unterricht gemacht haben! Du könntest auch mal in dein Schulbuch gucken, da müsste das auch stehen! |
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| 04.05.2005, 21:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mach doch link, mss! geht fix! http://www.gymnasium-kreuzau.de/lehrer/m...n_cavalieri.htm |
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| 04.05.2005, 21:39 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Setzt der nicht die Volumenformel des anderen Körpers vor? Eines musst du somit trotzdem über Integralrechnung herleiten Edit: Ich habe das hier gefunden http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_%28Geometrie%29#Volumen |
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| 04.05.2005, 21:40 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Satz des Cavalieri ist da nicht das Problem, sondern das Herleiten der Volumenformeln mithilfe genau diesen Satzes dauert etwas länger ... edit: @Sciencefreak Nein, das geht schon so! Man braucht nur die Volumenformel für ein Prisma. Ich weiß schon ganz genau wie das geht! 
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| 04.05.2005, 21:43 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hast du meinen Einwand nicht gelesen oder ignorierst du ihn einfach? Der Satz des Cavalieri setzt die Volumenformel für den Kegel oder die Pyramide voraus um das andere zu berechnen. Edit:Auf die Begründung bin ich dann mal gespannt. Die Volumenformel für ein Prisma kannst du meinetwegen als bekant voraussetzen. Zeig uns aber mal bitte deinen Lösungsweg. |
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| 04.05.2005, 21:49 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habs mal verschoben @Sciencefreak Jetzt hör mal zu: 1. haben wir fast zur gleichen Zeit geschrieben! 2. habe ich mit einem edit auf deinen Einwand geantwortet! 3. Dann braucht man halt die Pyramidenformel, na und? Man kann die Pyramidenformel mithilfe des Satzes von Cavalieri aus der Volumenformel für ein Prisma herleiten!! edit: Ich werds nicht zeigen, weil es 1. zu lange dauert und weil ich 2. keine kompletten Lösungen gebe. Der Fragesteller hat ja genau diese Frage gestellt. Wenn ich mich nicht irre, bist du 10. Klasse. Dann guck du doch auch einfach in dein Lehrbuch, wenn du es unbedingt wissen willst! |
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| 04.05.2005, 22:00 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also in meinem Mathebuch steht das nicht drin, da wir das vor 1 oder 2 Jahren gemacht haben und ich bin mir ganz sicher, dass wir dort erst mal die Volumenformel der Pyramide benutzt haben und nur eine halbvollständigen Beweis für diese Formel nämlich einfach in dem man die Pyramide in sehr viele kleine Prismen zerlegt, aber da wurde auch schon wieder argumentiert "aber da sieht man doch, dass sich dieser Wert 1/3 annähert..." Im Endeffekt haben wir damit dann trotzdem einen etwas komischen Ersatz für die integralrechnung gefunden, denn wir lassen die Prismenhöhe gegen 0 gehen und addieren somit fast nur noch Ebenen. Das mit dem Einwand tut mir Leid. Hab nicht gleich auf die Zeit geschaut und das deshalb nicht mitbekommen und außerdem bin ich auch schon leicht müde. Ich hoffe du kannst mir noch mal verzeihen
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| 04.05.2005, 22:16 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo science, ja sollte "schmutzig" heißen, und genau deswegen und verzeih mir, n und m liegen auf der tastatur für mich zu nahe und die augen sind auch nicht mehr die besten hast du noch nie daneben getippt/gegriffen? werner |
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| 04.05.2005, 22:23 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man so will, ist der Zugang, den ihr gewählt habt, genau der über die Integralrechnung. Denn das, was ihr da gemacht hat, ist, wenn man es auf einen beliebigen Körper verallgemeinert, gerade die Herleitung für folgenden Satz: Kennt man bei einem Körper die Flächeninhaltsfunktion q(x) für alle Querschnitte senkrecht zu einer Strecke im Körper (ihre Verlängerung zu einer Geraden sei die x-Achse und die Strecke hab darauf die Endpunkte ), so ist das Volumen gegeben durch . Eure Summe aus Volumina vieler solcher kleiner Prismen hat als Grenzwert genau solch ein Integral. Vielleicht weißt du ja schon, dass das Integral der Grenzwert von Summen ist. Beim Integrieren unserer Pyramide summiert man sozusagen unendlich viele unendlich dünne Prismen, was man dann mit etwas Anschaulichkeit auch interpretieren kann als Summe aller Ebenenflächen wie du selbst schon sagtest! |
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| 05.05.2005, 09:36 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe bloß irgendwie nicht erkennen können, was das für einen Zusammenhang hat. Das schmutzig mit meiner Darstellung und deshalb war ich etwas irritiert, ich bin zwar drauf gekommen, dass es schmutzig heißen sollte, aber ich konnte die Bedeutung nicht so klar erkennen |
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| 21.05.2006, 19:51 | vany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Prisma Hallo !! Ich schreib in 4 tagen eine mathe arbeit und ich hab echt keine ahnung von gar nichts ......kannn mir irgendjemand sagen wie man das volumen und die oberfläche usw . bei einem dreiecksprisma berechnet ? danke |
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| 21.05.2006, 21:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie bei jedem Prisma. Volumen=Grundfläche*Höhe Oberfläche setzt sich zusammen aus 2*Grundfläche + Mantelfläche |
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| 22.05.2006, 14:59 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was suchst du genau? eine erklärung der formel? oder was? haste mal bei wikipedia z.b. da geschaut, da wird das doch erklärt oder wo drückt der schuh genau? |
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| 02.06.2008, 00:05 | voessli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da muß Voessli Einspruch erheben, die Herleitung ist auch intuitiv möglich und geometrisch. Stelle Dir als Ausgangspukt ein Würfel vor, einen sehr kleinen. Etwa ein Sandkorn als Grundbaustein. Dieser soll nun in Richtung der 3 Seiten "kristallisieren" - immer ganz fein schichtweise in Richtung x,y und z. Was entsteht dabei? Klar, ein immer größer werdender Würfel. Jetzt halte Dir das Wachstumsgeschehen entlang nur einer Seite vor Augen, z.b. in x-Richtung. Dieser "Teil-Kristall" entwickelt sich zu einer stetig anwachsenden Pyramide mit quadratischer Grundfläche und dem Sandkorn als Spitze. Und weil alle 3 Seiten gemeinsam und gleichförmig anwachsen, sind alle 3 Pyramiden völlig identisch, nur eben in 3 verschiedenen Richtungen postiert. Alle 3 Pyramiden zusammen formen den Quader, eine solche Pyramide hat demnach 1/3 des Volumens des Quaders! |
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| 20.03.2009, 12:17 | DorJo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alter verwalter... ich hab dann irgendwann aufgehört zu lesen! *ARGH*!!!! 
Ich liebe es! Das sin die typischen Mathehirnies, die in der Schule schön Integralrechnung dran hatten und sich jetz was drauf einbilden, dass sie das Volumen eines Quaders mit einem Doppelintegral berechnen können! Ey jungs, jetzt mal ernsthaft. Wo liegt denn das Problem? Wenn ich sowas schon höre: Man kann das Volumen eines Zylinders mittels Integralrechnung berechnen, indem man sich den Zylinder als Rotationskörper vorstellt. Wie wär denn ein weitaus "verständlicherer", "einfacherer" und "besserer" weg:Man stellt sich einen beliebigen geraden Körper (z.B. Kreiszylinder) in viele kleine Scheiben mit der Höhe 1 mm zerschnippelt vor. Man hat nun diese ganzen Scheibchen und legt sie so aufeinander, das der Körper ensteht oder legt sie einfach nebeneinander und berechnet die Fläche dieser Scheibchen. Für das Volumen addieren wir alle diese Scheibchen (h mal). Somit entsteht die allgemeingültige Formel: V=Grundfläche * Volumen !!! ---> Einfach denken... Hilft manchmal sinnlose mathematische Ausschweifungen zu verhindern! 
DorJo |
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