Interpolationsspline

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Nemsis Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationsspline
Man berechene zur Funktion f(x)= x^3 den natürlichen kubischen Interpolationspline s(x) zu den Knoten xj =j für j=0,1,2,3 . Warum kann s(x) nicht mit f(x) übereinstimmen?

Nun ich hoffe ihr könnt mir paar hilfen geben, was ich zu machen habe, danke.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nemsis
den natürlichen kubischen Interpolationspline

Was bedeutet dieses natürlich?

Normalerweise hat man bei Angabe der Stützstellen, die gleichzeitig Intervallenden der stückweise definierten kubischen Splinepolynome sind, noch zwei Freiheitsgrade übrig.

Sehr oft fordert man noch an den Endpunkten des Gesamtintervalls, also Krümmung Null. Ist es das, was du unter "natürlich" verstehst, oder irgend eine (besser gesagt zwei) andere Bedingung(en)? verwirrt
Nemsis Auf diesen Beitrag antworten »

Lass das natürliche einfach Weg.
Sage mir einfach bitte, was ich herrausfinden soll und wie ich es anfange. Danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte: Zwei Freiheitsgrade sind offen, die mit irgendwelchen Randbedingungen zu füllen sind - welche sind das bei dir? Ist das nun f''(0)=f''(3)=0, oder was anderes?

Wenn du so kurz angebunden bist, können wir dir auch nicht weiter helfen.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Wie ich schon sagte: Zwei Freiheitsgrade sind offen, die mit irgendwelchen Randbedingungen zu füllen sind - welche sind das bei dir? Ist das nun f''(0)=f''(3)=0, oder was anderes?


Arthur hat recht! Das Adjektiv "natürlich" bezieht sich auf die Randbedingungen, und zwar genau so, wie Arthur sie formuliert hat. Die Bezeichnung "natürlich" ist historisch bedingt, weil man früher dünne, biegsame Stahllatten (Latte engl. = spline) zwischen eingeschlagenen Nägeln hindurch fädelte, um Freiformkurven zu erzeugen. Typisches Beispiel: Spanten im Schiffsbau. Weil das dünne Stahllineal die Form mit minimaler innerer Energie annimmt, ist die Krümmung an den beiden Enden gleich Null.

Beim kubischen DIRICHLET-Spline würden die Randbedingungen durch f'(0)=a und f'(3)=b erfüllt.

Gruss yeti
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder was gelernt: Die Bezeichnung "natürlich" war mir in dem Zusammenhang nicht geläufig. Freude
 
 
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag zum kubischen Spline, Minimaleigenschaft:

Sei ein Stützpunktvektor und ein zugehöriger Datenvektor. Sei eine Funktion, die diese Stützpunktdaten interpoliert. Dann minimiert der natürliche kubische Spline die Norm , was gleichbedeutend ist mit einer Minimierung der mittleren Krümmung.

Gruss yeti
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsspline
Zitat:
Original von Nemsis
Man berechene zur Funktion f(x)= x^3 den natürlichen kubischen Interpolationspline s(x) zu den Knoten xj =j für j=0,1,2,3 . Warum kann s(x) nicht mit f(x) übereinstimmen?

Nun ich hoffe ihr könnt mir paar hilfen geben, was ich zu machen habe, danke.

Schau mal hier
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsspline
@etzwane

Nette Seite. Und gleich mal das Ergebnis grafisch, um den Unterschied zu x³ zu sehen:
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir das mal schnell durchgelesen. Hab mich bis jetzt noch nie mit Splines beschäftigt. Anscheinend wird ja immer zwischen den Teilpunkten eine Kurve gelegt. Bei den kubischen Splines ist dies dann also



für . Wenn ich das aber richtig durchgelesen habe, dann bekäme man doch insgesamt 6 Bedingungen, nämlich













Aber 6 Bedingungen für nur 4 Koeffizienten, das ist doch überbestimmt!!? Kann mich jmd. aufklären?

@yeti
Interessante Eigenschaft! Meinst du wirklich "nur" und nicht ?
Sei g die Krümmungsfunktion der Funktion f. Dann wäre die mittlere Krümmung doch oder? Es ist klar, dass bei der Minimierung dann nur das Integral interessiert. Aber warum nimmst du jetzt den Betrag, warum das ^2 und warum ist das gleichbedeutend mit der Minimierung der Krümmung? Die Krümmungsfunktion für eine zweimal differenzierbare Funktion f ist doch



Dann ist doch das obige Integral nicht die mittlere Krümmung von f oder? verwirrt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@yeti: Könntest Du mal einstellen, daß man Dir PN's schicken kann? Hab da eine Frage zu deinem Studium...

@MSS: Er meint bestimmt bei de runden Klammern Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

Wir haben n Stützpunkte vorliegen, und kubische Polynome in den (n-1) Intervallen dazwischen zu bestimmen. Das sind insgesamt 4(n-1) Koeffizienten, dafür haben wir
  • n Funktionswerte ,
  • (n-2) Koppelbedingungen , .
  • (n-2) Koppelbedingungen , .
  • (n-2) Koppelbedingungen , .

Macht 4n-6 Bedingungen, fehlen also noch zwei - so wie ich oben geschrieben habe. Bei natürlichen Splines ist das Krümmung Null an den Endpunkten, also .
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@Frooke:
Ich habe ein PN-Konto mit ein paar Meldungen drin. Wie ich jetzt aber sehe, ist meine PN-Taste plötzlich durch meine Emailtaste ersetzt. Das war früher nicht so und ich kann mich nicht erinnern, etwas geändert zu haben. Was muss ich jetzt machen? Ich habe mein Profil konsultiert, komme aber nicht auf den Sprung, was zu tun ist. Tip bitte!

@MSS:
1) Ja, es muss natürlich heissen , sonst wären ja der Anfangs- und Endpunkt nicht "drin". War ein Verschreiber.

2) Die Frage bezüglich den Koppelbedingungen hat Arthur bereits beantwortet. Die Berechnung der Polynomkoeffizienten für die einzelnen Splineabschnitte läuft auf die Lösung eines tridiagonalen linearen Gleichungsystems hinaus, das sogar symmetrisch ist, wenn ich mich recht erinnere.

3) Frage bezüglich Minimierung der Krümmung: Du hast recht. Es wird nicht direkt die Krümmung minimiert. Aber in der Praxis, wo es darum geht, Freiformkurven und Freiformflächen zu erzeugen, ist ein guter Anhaltspunkt für die "Wildheit" einer Funktion.

Generelle Bemerkungen zu den Splines:

- Normale Splines sind "out", weil man den Polynomkoeffizienten nicht ansieht, wie die Kurve verläuft.

- Besser: BEZIER-Splines, zusammengesetzt aus BEZIER-Polynomen. Schöne geometrische Eigenschaften. Aber auch mehr oder weniger "out".

- Noch besser: B-Splines. Sehr schöne geometrische Eigenschaften.

- Up-to-Date: NURBS = Non Uniform Rational B-Splines. Anstatt Polynome zwischen den Stützpunkten hat man rationale Funktionen in der Form von B-Splines. In den Stützpunkten kann man Gewichte vergeben und so den Verlauf der Kurve beliebig verändern. Sehr geschmeidig! (Die normalen B-Splines sind ein Spezialfall der NURBS, indem alle Gewichte implizit gleich Eins sind).

Naja, es würde zu weit führen, hier in die Details zu gehen. Das Stichwort ist CAGD = Computer Aided Geometric Design.

Gruss yeti
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von yeti777
- Normale Splines sind "out", weil man den Polynomkoeffizienten nicht ansieht, wie die Kurve verläuft.

Das ist keine Frage der Splines, sondern ihrer Darstellung.

Zitat:
Original von yeti777
- Besser: BEZIER-Splines, zusammengesetzt aus BEZIER-Polynomen. Schöne geometrische Eigenschaften. Aber auch mehr oder weniger "out".

- Noch besser: B-Splines. Sehr schöne geometrische Eigenschaften.

- Up-to-Date: NURBS = Non Uniform Rational B-Splines.

Tja - in welchem Sinne "besser"? Du scheinst das auf die rein geometrische Betrachtungsweise einzuengen, dass du also n Punkte in der Ebene möglichst glatt verbinden willst (inklusive Drehungsinvarianz), d.h., x- und y-Achse besitzen für dich die gleiche (Dimensions-)Bedeutung.

Das ist bei Splines aber nicht primär der Sinn - da geht es generell um "glatte" funktionale Zusammenhänge. So kann z.B. bei einer elektrischen Kennline die Abszisse die Spannung und die Ordinate die Stromstärke darstellen, dann kannst du deine geometrischen Betrachtungen in der Ebene in den Wind schreiben.

Also vorsichtig umgehen mit "out", und ruhig mal die enge Brille des eigenen Steckenpferds absetzen. Augenzwinkern
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@yeti777: Sollte irgendwo im Profil gehen, aber ich hab eine E-Mail geschrieben... smile
Nemsis Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ich sehe, dass ist ncih so leicht ist.

Ich habe nur eine Frage, ist die Aufgabe jetzt lösbar oder nicht, wie ich sie euch geben habe?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar ist die Aufgabe lösbar, aber die Spline-Polynome lassen sich eben von Hand in der Tat nicht in zwei, drei Zeilen berechnen. Aber die Antwort auf die Frage, warum nicht die natürliche Spline-Interpolationsfunktion zu f(0)=0, f(1)=1, f(2)=8, f(3)=27 ist, kann man leicht geben:

Für gilt und somit , also nicht wie für die natürliche Splinefunktion erforderlich .
Nemsis Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt versehe ich. Gut, ihr habt mir echt gut geholfen, besonder du arthur. Soll nciht bedeuten, die anderen war auch nciht hilfreich^^.

Danke!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Aber die Bedingungen müssen doch sozusagen 'doppelt' gezählt werden. Nehm ich mir ein Intervall, z.B. , raus (n>5). Dann hab ich doch dafür folgende Bedingungen (analog zu deinem Schema):

und .

und .

und .

und .

MMn ist die zweite der vier Zeilen doch überflüssig, da sie doch die gleiche Bedingung wie die Funktionswerte liefert. Aber wenn ich eine der restlichen 6 Bedingungen weglasse, dann wird doch die "Aufgabe" gar nicht mehr erfüllt. verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht war meine Formulierung mit einem f(x) etwas verwirrend. Ich gehe deshalb zu deiner Formulierung über, also für .

Dann enstpricht meine erste Zeile in deiner Schreibweise der Bedingung

und , also n Bedingungen

und die zweite Zeile dann

, also n-2 Bedingungen.

Weiß nicht, was du dagegen auszusetzen hast - das sind weder zuviel noch zuwenig Bedingungen, sondern exakt die richtigen.


EDIT: Schreibfehler korrigiert.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht stell ich mich ja auch zu dumm an ...
Ich hab mal ne Zeichnung. Wir wollen doch ins Intervall ein Polynom dritten Grades legen. Seien und die Polynome in den anliegenden Intervallen.
Dann wird doch gefordert, dass

und

und außerdem

und

oder? Das sind mit den Funktionswerten an den beiden Stützpunkten, also

und

für mich 6 Bedingungen!
Verstehst du mein Problem?? (Im Moment habe ich nämlich das Gefühl, du verstündest mich nicht. Augenzwinkern )
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich versteh dich wirklich nicht. Du kannst nicht einfach einzelne Intervalle herauslösen und zu diskutieren versuchen, was und wieviele Bedingungen du dort lokal zuordnen kannst. Die Spline-Funktion ist als Gesamtheit zu sehen - wenn du z.B. im Wert veränderst, dann verändert das über die Stetigkeitsforderungen (bis einschließlich der zweiten Ableitung) an den Nahtstellen alle (n-1) Spline-Polynome . Und wie die Gesamtbilanz an Koeffizienten und dafür vorliegenden Gleichungsbedingungen aussieht, habe ich doch hinlänglich dargelegt.

Deswegen lehne ich diese "herausgelösten" Intervalle und Betrachtungen darüber rundweg ab, weil das schlichtweg nichts bringt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS

Du hast recht, es sind für jedes Zwischenpolynom 6 Bedingungen. Aber die '- und ''-Bedingungen am linken Rand des Intervalls sind für das Vorgängerpolynom Bedingungen am rechten Rand des Intervalls. Ebenso sind die '- und ''-Bedingungen am rechten Rand des Intervalls für das Nachfolgerpolynom Bedingungen am linken Rand des Intervalls. Wir haben also ein Grundproblem der Kombinatorik: Mehrfachzählungen.

Ich würde da auch anders vorgehen, um solche Mehrfachzählungen zu verhindern:

1. Für jedes Polynom sind zwei Funktionswerte vorzugeben: 2·(n-1) Bedingungen
2. Die ersten Ableitungen an den Anschlußstellen sind in Übereinstimmung zu bringen: n-2 Bedingungen
3. Die zweiten Ableitungen an den Anschlußstellen sind in Übereinstimmung zu bringen: n-2 Bedingungen

2·(n-1) + (n-2) + (n-2) = 4n-6
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, doppelt hält besser:

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=156543#post156543
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber meines wird er verstehen. Wetten daß? Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ich habe es verstanden. Das Problem war wohl, dass ich immer nur ein Intervall und nicht alle zusammen betrachtet hab. Die Bedingung, dass z.B. bringt ja eine Gleichung für die beiden Polynome. Jetzt verstehe ich dann auch eure Darstellung. Für jede Bedingung entsteht eine Gleichung und da es insgesamt (mit denm Randbedingungen) 4n-4 Gleichungen für 4n-4 Koeffizienten sind, ist dann nichts überbestimmt. Das Problem lag wirklich daran, dass ich immer ein Intervall mit den 6 Bedingungen für sich allein betrachtet habe. Die Koeffizienten des Polynoms in diesem Intervall lassen sich ja aber auch nur bestimmen, wenn man die Koeffizienten der Polynome in den anliegenden Intervallen kennt und diese lassen sich wiederum nur bestimmen, wenn man dort wieder die anliegenden Polynomkoeffizienten bestimmt usw., womit dann doch ein Gesamtgleichungssystem zustande kommt. Und genau das hatte ich vorher nicht beachtet!
Also danke für eure Hilfe!
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