Verschiebungssatz

07.05.2005, 22:29

Poldi

Verschiebungssatz

Hallo Ihr Lieben,

in meinem Skript wird der Verschiebungssatz $\begin{eqnarray*} V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \end{eqnarray*}$ bewiesen und ich kann an einer Stelle dem Beweis nicht folgen.

Kann mir vielleicht jemand folgenden Schritt erklären:

$\begin{eqnarray*} E(X^2 - 2XE(X) + [E(X)]^2) = E(X^2) - [E(X)]^2 \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann mir jemand ein oder zwei Zwischenschritte einbauen, damit ich sehe, was da genau passiert ist. Ich erkenne leider noch nicht mal, welcher Summand aus dem Linksterm wegfällt: das Vorzeichen spricht dafür, dass der Zweite übrig geblieben ist, aussehen tut's aber eher als ob der Dritte noch da ist.
Laut Erläuterung ist übrigens bei diesem Schritt verwendet worden, dass E(X) = a, wenn X die konstante Abbildung ist. (a aus IR)
Leider erkenne ich auch nicht, wo das vorkommt.

Kann mir jemand etwas Licht in dieses Dunkel bringen?! Vielleicht schaffe ich damit dann meine eigentliche Aufgabe ja alleine ...

Gruß
Poldi

08.05.2005, 10:17

Anirahtak

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RE: Verschiebungssatz
Hallo Poldi,

im zunächst verwendest du die Additivität des Erwartungswertes:

$\begin{eqnarray*} E(X^2 - 2XE(X) + [E(X)]^2) =E(X^2)-E(2XE(X))+E(E(X)^2)) \end{eqnarray*}$

Als nächstest verweden wir: wenn a ein Skalarl ist, dann ist E(aX)=aE(X). Beachte hierbei, dass E(X) und E(X)^2 Skalare sind und vor den Erwartungswert gezogen werden können:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)-E(2XE(X))+E(E(X)^2))=E(X^2)-2E(X)E(X)+(E(X)^2)E(1) \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt E(1)=1 zum Einsatz:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X^2)E(1)=E(X^2)-2(E(X))^2+(E(X))^2=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Gruß
Anirahtak

08.05.2005, 11:28

Poldi

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RE: Verschiebungssatz
Hallo Anirahtak,

ja, jetzt ist natürlich alles klar!!! Super Erläuterung!!! Freude

Vielen, vielen Dank!

Zitat:

Original von Anirahtak
Beachte hierbei, dass E(X) und E(X)^2 Skalare sind

Hier war wohl der wesentliche Knackpunkt. Ist ja logisch, aber daran hatte ich nicht gedacht.

Ich denke das hilft mir jetzt auch bei meiner eigentlichen Aufgabe weiter. Falls nicht, melde ich mich noch einmal in einem neuen thread. Würde mich freuen, wenn Du da dann auch mal rein schaust! Wink

Tausend Dank!!!
Poldi

08.05.2005, 14:06

Anirahtak

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Gern geschehen. Nur her mit den Fragen smile

Gruß
Anirahtak

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