schätzer problem

08.05.2005, 12:33

gin

schätzer problem

hallo
also hab folgende dichte gegeben:
f(x,y):= exp(y-x) falls x>=y ansonsten 0
y ist der unbekannte parameter. ich soll es mit der maximum likelihood methode machen.
ich bin bis jetzt soweit gekommen:

L(x1,...,xn;y)=exp(y-x1)*...*exp(y-xn) für x>=y ansonsten 0
jetzt hab ich ln drübergezogen:
lnL(x1,...,xn;y)=(y-x1)+...+(y-xn) für x>=y ansonsten 0

soweit so gut
jetzt leite ich nach y ab um ein maximum zu bestimmen:
=1+...+1=n

n=0 ist ein maximum????
kann das überhaupt sein? das bringt mir nämlich garnichts das ergebniss, wo ist der fehler. ich soll nämlich auch noch den erwartungswert und varianz von meinem schätzer angeben.
danke, gin

08.05.2005, 17:54

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

also hab mir es selber nochmal überlegt und ohne den ln ansatz kann man das maximum auch bestimmen. da x>=y ist hab ich als maximum
das arithmetische mittel rausbekommen, sprich
y=1/n*summe(xi) i=1,..,n

aber jetzt kommt auch schon das nächste problem und zwar wie bestimme ich den erwartungswert von y?
mein ansatz:
E(y)=1/n*E(summe(xi))=????
wie muss ich da weiter machen?

08.05.2005, 18:23

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist im Irrtum: Die Likelihood-Funktion ist

$\begin{eqnarray*} L(x_1,\ldots,x_n;y)=\begin{cases} \exp\left\{ny-\sum\limits_{k=1}^n x_k\right\} & \;\mbox{falls}\;x_1\geq y,\,x_2\geq y,\ldots,x_n\geq y\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Oder um es noch deutlicher zu formulieren:

$\begin{eqnarray*} L(x_1,\ldots,x_n;y)=\begin{cases} \exp\left\{ny-\sum\limits_{k=1}^n x_k\right\} & \;\mbox{falls}\;\min\{x_1,\ldots,x_n\}\geq y\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das Maximum der Likelihoodfunktion kriegt man halt nicht immer nur durch stupides Ableiten, usw. - es liegt manchmal auch am Rand...

08.05.2005, 18:34

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

aha... stimmt mein schätzer 1/n*summe(xi) also nicht?

ich hab mir das so überlegt, im besten bzw. das maximum erreicht es falls
exp(ny-sum(xi))=1 wird das heisst das alle xi=y sind. sobald xi>y ist wird exp(%)<1. also ist doch das maximum falls exp(0) rauskommt:
ny-sum(xi)=0 und das ist der fall fals y=1/n+sum(xi)
das müsste dann doch das maximum sein?????

und wie kann man von dem schätzer den erwartungswert bestimmen?
muss ich da erstmal E(X) bestimmen in dem ich das integral über die dichte ziehe? weiss echt nicht weiter...

08.05.2005, 18:42

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gin
aha... stimmt mein schätzer 1/n*summe(xi) also nicht?

Jepp, er stimmt nicht.

Zitat:

Original von gin
das heisst das alle xi=y sind.

Die $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ sind fest vorgegeben, da kann man nichts optimieren. Variabel ist allein das y.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} y\to \exp\left\{ny-\sum\limits_{k=1}^n x_k\right\} \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend, d.h., allein nach diesem Kriterium sollte y so groß wie möglich sein. Aber es gibt ja dann noch die Schranke $\begin{eqnarray*} y\leq \min\{x_1,\ldots,x_n\} \end{eqnarray*}$ .

Also wie wird jetzt wohl der M-L-Schätzer lauten? verwirrt

08.05.2005, 18:47

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie blick ich da nicht mehr durch...
also ist mein schätzer y:=min(x1,...,xn) damit sit y so gross wie möglich gesetzt. stimmt das?

08.05.2005, 18:56

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

08.05.2005, 18:59

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist schonmal etwas... aber jetzt kommt wieder mein zweites problem und zwar der erwartungswert und die varianz von dem schätzer.

also E(y:=min(x1,..,xn))=???

kann der erwartungswert eventuell das arithmetische mittel sein?

08.05.2005, 19:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert des Schätzers hängt nicht von den x1,...,xn ab, sondern ausschließlich von den Verteilungsparameter(n) ab, hier also y !!!

Und nicht raten, sondern rechnen: Du kennst die Einzelverteilungen, also die Dichten

$\begin{eqnarray*} f_{X_k}(x)=\begin{cases} \exp\{y-x\} & \;\mbox{für}\;x\geq y\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

und somit durch Integration dann auch die Verteilungsfunktionen

$\begin{eqnarray*} F_{X_k}(x)=\begin{cases} 1-\exp\{y-x\} & \;\mbox{für}\;x\geq y\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Daraus lässt sich die Verteilung vom Schätzer $\begin{eqnarray*} Z:=\min\{X_1,\ldots,X_n\} \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(Z\geq z)=P\left(\min\{X_1,\ldots,X_n\}\geq z\right)=P\left(X_1\geq z,\ldots,X_n\geq z\right)=P\left(X_1\geq z\right)\cdot\ldots\cdot P\left(X_n\geq z\right) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} F_Z(z)=1-\left(1-F_{X_1}(z)\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt Einsetzen, und daraus dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~Z \end{eqnarray*}$ berechnen!

08.05.2005, 19:40

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann...
ich dachte der likelihood teil wird der schwierige sein...naja...
hab noch eine frage dazu. also bis zur verteilungsfunktion ist alles klar.
wie bist du genau auf das Fz(z)=1-(1-exp(y-x))^n gekommen?
also P(X1<=z) = Fx1(z) , dann wäre bei mir
P(X1>=z)*...*P(Xn>=z)= (1-exp(y-x))^n

und wie berechnet man davon den erwartungswert dann? mit nem integral? aber über welche grenzen?

08.05.2005, 19:49

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

tschuldigung, hat sich geklärt mit dem 1-(1-exp(y-x))^n. es soll ja P(Z>z) sein und nicht P(Z<z). aber den erwartungswert hab ich leider noch nicht hinbekommen...
danke für deine bemühungen

08.05.2005, 19:54

Auf diesen Beitrag antworten »

Erwartungswert berechnen? Na wie gewöhnlich über $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~Z = \int\limits_{-\infty}^{\infty} z\cdot f_Z(z)\,\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$ .

08.05.2005, 20:17

gin

Auf diesen Beitrag antworten »

ist mir schon langsam peinlich zu fragen aber ich hab etwas immer noch nicht ganz begriffen.
deine funktion ist
Fz(z)= 1-(1-exp(y-x))^n

meine gedanken dazu:
P(X1>z)=1-(1-exp(y-z)) das sehe ich doch richtig???
dann müsste doch P(X1>z)*...*P(Xn>z)=(1-(1-exp(y-z)))^n sein?

08.05.2005, 20:28

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gin
dann müsste doch P(X1>z)*...*P(Xn>z)=(1-(1-exp(y-z)))^n sein?

Richtig - natürlich kann man das wesentlich einfacher schreiben.

Neue Frage »

Antworten »

schätzer problem

Verwandte Themen