kleinsten Quadrate

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Maxi Auf diesen Beitrag antworten »
kleinsten Quadrate
Hallo,
ich habe folgendes Problem:

Wertetabelle:

t; s
0; 0
1; 39.1
2; 73.2
3; 103.9
4; 130.3
5; 154.6
6; 172.1
7; 183.1
8; 191.7
9; 197.2
10; 199.5

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie mit dem Ansatz s = F(t;a1,a2,a3,a4) = a1 + a2 * t + a3 * t² + a4 * t³ eine Approximation mit der Methode der kleinsten Quadrate und lösen Sie die Aufgabe wenn a1 = 0 ist.
(a1..a4 sind Parameter, t = Zeit in s, s = Weg in m)

Brauche unbedingt Hilfe, ich finde keinen passenten Ansatz traurig .
Papam Benedictus XVI. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kleinsten Quadrate
Kennst du die Methode der kleinsten Quadrate oder Ordinary Least Squares (OLS) überhaupt? Es handelt sich dabei um die Regressionsrechnung, die durch eine Punktwolke in einem Weg-Zeit-Diagramm (anhand deiner Daten) eine sog. Optimalkurve legt, so dass die Summe der Abstandsquadrate (zwischen deiner Optimalkurven und deinen tatsächlichen Messdaten) minimal wird.

Ist die Aufgabe theoretischer oder praktischer Natur? Wenn du es formal lösen sollst, bietet sich eine Wertetabelle an, auf Basis der Normalgleichungen des Problems. Wenn's praktisch, hack die Zahlen in Excel, mach ein Punktdiagramm, Rechtsklick, Trendlinie und dann Polynom dritten Grades. Kannst dir dann unter Optionen die Gleichung und R² anzeigen lassen.

Aber noch zwei Aspekte im Hintergrund, zu setzen, heißt die Gleichung homogen zu schätzen, das ist nicht unbedingt unproblematisch. Logischerweise sollte dies als Lösung herauskommen, aber das sollte man anhand eines t-Tests auf Signifikanz des Parameters überprüfen und nicht a priori bestimmen!

Und zweitens, warum soll der Weg eine kubische Funktion der Zeit sein???

PS: Ach ja, ich würde grundsätzlich IMMER vorher eine Zeichnung erstellen, das hilft bei der Interpretation...
Maxi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hatte mal das mit den kleinsten Quadraten, aber ich muss zugeben das ich das nicht mehr richtig hinbekomme unglücklich .

Den Excel-Tipp hab ich mal gemacht - super gleich die Lösung.
Nur ich brauche den Lösungsweg, wie kommt Excel zu den 4 Parametern?

Ach das mit der "kubische Funktion" brauchst du nicht zu ernst zu nehmen.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, das geht so:

Fehler = s - F = s - (a1 + a2 * t + a3 * t² + a4 * t³) für jedes der s und t aufschreiben bei unbekannten a1 bis a4, insgesamt 11 Zeilen

Fehlerquadrat = Fehler*Fehler für jede der Zeilen ausrechnen

Summe der Fehlerquadrate: alle Einzelzeilen zu einer Zeile zusammenfassen (aufsummieren) und sortieren nach a1 bis a4 usw.

Summe der Fehlerquadrate soll ein Minimum werden, deshalb Gleichung für die Summe partiell ableiten nach den a1 bis a4 und die Ableitung = 0 setzen

das bestehende lineare Gleichungssystem nach den a1 bis a4 auflösen.

Ich hoffe, das geht nun wirklich so, viel Erfolg.
Papam Benedictus XVI. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so funktioniert's!

Alternativ kann man das natürlich auch über die Matrizenalgebra lösen. Vielleicht habt ihr es so gemacht?

Zuerst werden die Variablen etc. als neue Variablen indiziert, die durch die Lineartransformation hervorgehen. Dann hast du als Modell: .

Das Modell ist linear in den Variablen und linear in den Parametern und kann über den Ansatz geschätzt werden. Das heißt, du stellst die Matrix X der Beobachtungen deiner exogenen Variablen auf - - und die Matrix y der Beobachtungen deiner endogenen Variablen - s. Dann das ganze einsetzen, ausmultiplizieren, invertieren, transponieren und alles wieder multiplizieren - et voilá!

Wenn nicht, etzwane's Ansatz ist genau die Minimierung der Summe der Abstandsquadrate - in deinem Fall ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten.
Maxi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke hab's nach etzwane Variante gemacht.
 
 
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