Frage zu den Ableitungen der Arkusfunktionen

Neue Frage »

Floriano Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu den Ableitungen der Arkusfunktionen
Hi Leute, habe ne Frage zu den Ableitungen der Arkusfunktionen.
Also ich schreibe ne Facharbeit über eben diese Funktionen und jetzt ist mir was nicht klar, und zwar:
Die Ableitung des Arkussinus ist ja bekanntlich , für den Arkuskosinus ist ein "-" vor dem Term.
Warum aber sind die Vorzeichen gerade so verteilt? Die Herleitung bekommt ja unter anderem mit . Für die Ableitung des Arkussinus löst man ja gerade nach cos (x) auf, also: . Und genau da liegt das Problem, da man ja die Wurzel mit den 2 Vorzeichen hat. Warum ist es nun gerade beim Arkussinus "+" und beim Arkuskosinus "-" ? Meine Idee wär jetzt das es was mit den trigonometrischen Vorzeichen im Allgemeinen zu tun hat, also und , bin mir aber dessen nicht 100%ig sicher. Kann das jemand bestätigen oder mich ggf. richtigstellen?

Danke.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Umkehrfunktion von

.

(beachte den eingeschränkten Definitionsbereich!). Dieses ist streng monoton wachsend, gleiches gilt dann auch für die Umkehrfunktion .



----------------------------------------

ist die Umkehrfunktion von

.

Dieses wiederum ist streng monoton fallend, gleiches gilt dann auch für die Umkehrfunktion .



----------------------------------------

Das sollte die Vorzeichen der Ableitungen erklären.
 
 
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst mit der Umkehrfunktion arbeiten. Da besteht eine Beziehung zwischen den Ableitungen.



Also:



Stelle nun mit Hilfe des Trigon. Pythagoras da.

Reicht das als Anschub?
Floriano Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tips. Die Herleitung der Ableitungen sind mir klar.

Deswegen @Rare676: Müsste das nicht eig so heißen?



Weil wenn ich deine Idee weiterrechne komme ich auf:



In der Facharbeit hab ichs mit mit obiger Formel gerechnet, dem Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion eben.
Also das mit den Vorzeichen hab ich jetzt verstanden, Monotonieverhalten der Funktion eben. Bin mir nur immer noch nicht sicher inwieweit ich dieses beweisen muss.

@Arthur Dent: Reicht es wenn ich sage, dass, wie du es geschrieben hast, die Sinus- und Kosinusfunktion in ihrem Intervall streng monoton sind und damit die Umkehrfunktion in ihrem Intervall auch? Ist es eigentlich generell so, dass wenn z. B. die Funktion f streng monoton steigend ist, ihre Umkehrfunktion g auch streng monoton steigend sein muss oder könnte diese auch fallend sein?
Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es etwas anders schreiben sollen:



Also:



Wenn du das jetzt so umformst, wie zuvor, dann bedenke noch, dass
Floriano Auf diesen Beitrag antworten »

so, danke für die Hilfe. habs schlussendlich doch irgendwie anders gelöst aber macht ja nix. Jetzt bleibt mir aber eine letzte Frage offen, was nochmal die Ableitung betrifft.
Hatte nämlich heute mein mündliches Gespräch und bin da ziemlich abgesackt, leider "nur" 8 Punkte. Habe schriftlich eben 14 und die mündliche Note zieht das doch sehr runter.

Ich wurde nämlich unter anderem in der Prüfung gefragt, wie denn die Ableitung der verschiedenen Zweige des z. B. Arkussinus aussehen. Hatte diese natürlich nicht in der Arbeit stehen und mir auch darüber vorher keine Gedanken gemacht, da ich dachte, dass alle Zweige des Arkussinus die selbe Ableitung haben, nämlich ja
.
War zumindest der festen Überzeugung davon, da ich ja auch nie irgendwo was anderes gelesen hatte. Jedenfalls ist es anscheinend nicht so, dann ungerade Zweige des Arkussinus, also für k = 1, 3, 5, ... haben plötzlich die Ableitung des Hauptzweigs des Arkuskosinus, was ja auch eigentlich Sinn macht wenn man sich den Graph für z. B. den ersten Zweig anschaut (ist nämlich gerade ein in y-Richtung verschobener Arkuskosinus Graph und da ja die Konstante für die y-Richtung beim Ableiten wegfällt würds insofern auch Sinn machen...).

Kann das jemand bestätigen? Ich wills nämlich immer noch nicht glauben.
Ich mein wenn das wirklich so wäre dann müsste das doch eigentlich in jedem Buch oder auf jeder Internetseite erwähnt werden, dass verschiedene Zweige des Arkussinus auch zwei unterschiedliche Ableitungen haben oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sagst du erstmal, was du unter "Zweigen" des Arkussinus, also dein verstehst. Das ist so allgemein üblich nicht (und deshalb auch selten zu finden), denn wenn man nur von Arkussinus spricht, meint man das:

Zitat:
Original von Arthur Dent
ist die Umkehrfunktion von

.


Ich könnte mir vorstellen, du meinst damit das hier:

Zitat:
ist die Umkehrfunktion von

.
Floriano Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit dem mein ich die weiteren Wertebereiche, also die Umkehrfunktion des Sinus über einem von k abhängigen Intervall.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aus den Symmetriebeziehungen des Sinus heraus ist

,

womit das altenierende Vorzeichen der Ableitung sofort folgt:

.

Zumindest sollte man über die bekannte Beziehung (die Rare676 oben etwas schlampig formulierte)



erkennen, dass die Ableitung der Umkehrfunktion im Punkt dasselbe Vorzeichen hat wie die Ableitung der Originalfunktion im Punkt (kann man sich auch geometrisch klarmachen, wenn man die Tangente an die Funktion/Umkehrfunktion an der Achse spiegelt...).


Du beklagst nun, dass das in den Büchern nicht ausführlich dargelegt wird. Hmm, das ist wohl Ansichtssache - ich sehe es als nicht allzu spannende Folgerung der Symmetrieeigenschaften (Periodizität + Spiegelung) der Sinusfunktion an, die man sich (wenn's denn sein muss) selbst überlegen kann statt sie sich einzupauken.
Floriano Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, anhand der Symmetriebdingungen hab ichs auch kapiert.
Und ja, beklagen muss ich das leider schon. Da wälzt man Bücher und Internetseiten aber nirgends wirds auch nur erwähnt.
Mag sein das ich auch noch draufgekommen wär, aber leider wurde ich damit erst direkt in der Prüfung konfrontiert. Blöderweiße brauch ich auch immer eine gewisse Zeit um mir sowas zu überlegen, die ich dort natürlich nicht hatte.
Aber naja was solls, ändern kann ichs auch nicht mehr und hinterher ist man natürlich immer schlauer ^^ . Trotzdem danke für die Hilfe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir insofern recht, dass die "vollständige" Umkehrung der Winkelfunktionen - damit meine ich z.B. im einfachsten Fall simpel die vollständige Angabe aller rellen Lösungen von für vorgebenes - in der Schule anscheinend sehr stiefmütterlich behandelt wird. Zig Threads hier im Board (davon viele sogar im Hochschulbereich) belegen das.

Bei euch scheint man sich des Problems zumindest angenommen zu haben, wenn ihr diese "Zweige" des Arkussinus sogar extra eingeführt habt.
Floriano Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da geb ich dir auch recht. Aber ich geb zu, dass das bei uns auch kein Unterrichtsstoff ist, beschäftige mich ja damit weil ich eben Facharbeit darüber geschrieben habe. Mein Mathe Lehrer meinte, dass es früher ein altes Leistungskurs Thema war als es pro LK noch 6 Std. pro Woche gab. Is ja seit längerer Zeit schon nicht mehr so.
Und stiefmütterlich wird das Thema sowieso behandelt. Ich hab mal bei uns interessehalber so nachgefragt wer denn wisse was Arkusfunktionen sind. Ich glaube mich zu erinnern dass es niemand wusste. Aber wenigstens wissen alle was sie mit Shift + Sinus aufm taschenrechner machen können... ^^
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »