Untervektorraumbestimmung

09.05.2005, 13:11

Kenny55555

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Untervektorraumbestimmung

Hallo alle zusammen!!
Ich grübel hier schon etwas an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Vielelicht könnt ihr mir dabei helfen. Die ist wohl garnicht so schwer, aber mir fehlt wohl noch das verständnis für Vektorräume. Hammer

Hammer

Gegeben ist V:=R hoch 4

Welche der folgenden Teilmengen ist ein Unterraum?

(a) {(a,b,c,d) € R hoch 4 : a=3b, 2c+d=0}
(b) {(a,b,c,d) € R hoch 4 : a^2=b}

Ich weiß schon, wie der Unterraum definiert ist, aber wie wende ichdas hier an?
Schon mal vielen Dank im Vorraus !!!

09.05.2005, 13:13

klarsoweit

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RE: Untervektorraumbestimmung
Wenn du weißt, wie ein Unterraum definiert ist, dann mußt du schlicht und ergreifend die Definitionseigenschaften auf den gegebenen Mengen überprüfen.

09.05.2005, 15:18

Kenny55555

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RE: Untervektorraumbestimmung
Genau das ist ja meine Frage!
Wie mache ich das denn? Bräuchte zumidnest ein Beispiel oder ein Ansatz.

09.05.2005, 15:25

klarsoweit

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RE: Untervektorraumbestimmung
Also dann schreib als erstes mal die Definition hin. Dann sehen wir weiter.

09.05.2005, 17:18

Angelina

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Sei V ein K-Vektorraum und U ein nichtleere Teilmenge von V.
U ist ein Unterraum von V, wenn:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x+y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U und rx $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U | x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U; r $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K
Richtig?
Ich weiß nun aber auch nicht wie ich das auf Kennys Aufgabe anwenden sollte... Definitionen lernen ist immer leicht aber das Anwenden nicht.
(a) {(a,b,c,d) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ : a=3b, 2c+d=0}
(b) {(a,b,c,d) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} R^4 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ =b}

Gott

Gott

09.05.2005, 17:21

Angelina

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Muss man dann gucken ob a+b+c+d $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U ist?
oder für die Funktionen die da stehen Werte einsetzen und die Kombination finden, damit die Gleichung stimmt? und wenn sie nicht hinkommt, dann ist es auch kein Unterraum?

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09.05.2005, 17:47

Kenny55555

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Genau das ist auch mein Problem.
Also ich hab mir folgendes überlegt. Zumindest für den Anfang und für Aufgabe (a):
x = {(a,b,c,d) : a=3b, 2c+d=0}
y = {(a´,b´,c´,d´) : a´=3b´, 2c´+d´=0}

Also x+y = {(a+a´,b+b´,c+c´,d+d´) : a+a´=3(b+b´), 2(c+c´)+d+d´=0}

Ist das soweit richtig? Und wie erkenne ich, dass das Elemen von U ist?

09.05.2005, 19:46

Angelina

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Keiner der Mathegötter mehr online? traurig

traurig

09.05.2005, 19:50

JochenX

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hmmm, ich würde mich ja damit beschäftigen, aber ich empfinde das hier als etwas ungeduldig.

seit ihr denn wirklich 2 unterschiedliche leute oder bist du eine peron, die sich nur hochpushen will?

GEDULD HABEN, bitte.

09.05.2005, 20:19

Angelina

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[ot]

smile

von 13 bis 19 Uhr regelmäßig zu gucken und die ganzen 6 stunden über keine antwort zu sehen weckt natürlich Ungeduld! Was denkst du denn?
Btw. ne interessante Idee Sich mit seinen verschiedenen Persönlichkeiten hier zu melden... is allerdings so plump, dass ich da nich drauf gekommen bin.

Ich guck jetzt "LOST". Schönen Abend noch.

09.05.2005, 20:32

JochenX

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ich möchte hier nur mal anmerken:
auch andere wollen hilfe haben, da bist du /seit ihr nicht die einzigen.
außerdem helfen wir hier alle freiwillig und für nichts (höchstens natürlich für dank!).

da du jetzt eh nicht mehr daran interessiert scheinst, werde ich das jetzt erst mal abhaken.

mfg jochen

09.05.2005, 20:33

Kenny55555

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Hmm,
ich wäre aber interessiert!!
Na toll!!
Und nun immernoch nicht schlauer !!!

09.05.2005, 20:44

MisterMagister

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Geraden und Ebenen sind schöne Beispiel für Unterräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ .

Beides sind nichts anderes als Punktmengen, das heißt ich kann jede Gerade bzw. Ebene oder ähnliches in Mengenschreibweise darstellen.

Dazu ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

entspricht genau der Menge

$\begin{eqnarray*} \{~ (a,b,c)^{T}~|~b = \frac{1}{2}\cdot (a+c)~\} \end{eqnarray*}$

Denn:
$\begin{eqnarray*} b = \frac{1}{2}\cdot (a+c) \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cdot a - b + \frac{1}{2}\cdot c = 0 \Leftrightarrow a - 2b + c = 0 \end{eqnarray*}$
Wähle:
$\begin{eqnarray*} b = \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c = \beta \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} a = 2\alpha - \beta \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\alpha - \beta \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.05.2005, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kenny55555
Also ich hab mir folgendes überlegt. Zumindest für den Anfang und für Aufgabe (a):
x = {(a,b,c,d) : a=3b, 2c+d=0}
y = {(a´,b´,c´,d´) : a´=3b´, 2c´+d´=0}

Also x+y = {(a+a´,b+b´,c+c´,d+d´) : a+a´=3(b+b´), 2(c+c´)+d+d´=0}

Ist das soweit richtig? Und wie erkenne ich, dass das Elemen von U ist?

Ich schreibe das erstmal formal richtig hin:
seien x = (a,b,c,d) und y = (a',b',c',d') Elemente aus $\begin{eqnarray*} U:= \{(a,b,c,d) \in R^4 : a=3b, 2c+d=0\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist: z:= x+y = (a+a´,b+b´,c+c´,d+d´)
Wegen a+a´= 3(b+b´) und 2(c+c´)+d+d´= 0 ist auch z aus U.
Analog ist die 2. Eigenschaft zu zeigen.

10.05.2005, 09:55

Kenny55555

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Genau das war auch so meine Idee. Aber woher weiß ich nun, dass z Element von U ist.Sieht man das direkt?

Vielen dank aber schonmal für die Antwort !!!

10.05.2005, 10:58

klarsoweit

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Hatte ich doch geschrieben:
Wegen a+a´= 3(b+b´) und 2(c+c´)+d+d´= 0 ist auch z aus U.
Ein Vektor aus R^4 gehört doch dann zu U, wenn die 1. Komponente = das 3-fache der 2. Komponente ist und das 2-fache der 3. Komponente plus die 4. Komponente = Null ist. Und genau das gilt für z.

10.05.2005, 12:52

Kenny55555

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Prost

aaaaaaaahhhhh!!!
Das ergibt Sinn! Werde mich damit gleich mal an den rest machen !!!
Endlich verstehe ich das mal!
Vielen Dank !!!!!

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