Grenzwerte

09.05.2005, 18:38

Mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwerte

Hi eigentlich hab ich nur nen total simples Problem komm aber nicht auf den richtigen Ansatz.

Ich soll beweisen, dass aus $\begin{eqnarray*} x_n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ folgt und beweisen ob auch die Umkehrung gilt. Kann mir jemand einen Ansatz verraten?

MLG Mario

09.05.2005, 18:46

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir nur die Definition von all den Dingen, die du da zu stehen hast, aufschreiben und dann sieht man es sofort!

09.05.2005, 18:49

mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

was für definitionen meinst du?

09.05.2005, 18:53

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Na die Definitionen für

$\begin{eqnarray*} x_n\to \infty\qquad \mbox{für }\ \ n\to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n}\to 0\qquad \mbox{für }\ \ n\to \infty \end{eqnarray*}$ !

Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.05.2005, 19:21

mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja klar

aber was sagt das denn über den beweisverlauf aus , das es so is weis ich ja Hammer

Hammer

09.05.2005, 19:25

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis jetzt sagt es noch gar nichts über den Beweisverlauf. Schreib doch mal die Definitionen bitte hier rein. Danach sehen wir weiter. Du musst halt aus dem einen auf das andere schließen und dazu sind die Definitionen nötig ...

Anzeige

09.05.2005, 19:35

mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du mit definition das $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine bestimmt divergente folge ist und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n} \end{eqnarray*}$ eine Konvergente Folge mit Grenzwert 0 oder meinst du die Mathematische schreibweise???

Schande auf mich aber ich steh heute total aufm schlauch
Forum Kloppe

Forum Kloppe

09.05.2005, 19:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meine die Definitionen.
Schreib mal die Definitionen von folgenden Dingen auf:

$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergiert bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge.

Schaffst du das? Dann musst du das noch auf deine Folge übertragen.

09.05.2005, 20:17

Mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \{a_n \}_{n=1}^ \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall c>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists n_0(c) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq n_0(c) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \{b_n\}_{n=1}^\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall \in >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists n_0(\in) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |b_n-0|<\in \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq n_0(\in) \end{eqnarray*}$

meinst du das?

10.05.2005, 18:20

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, fast. Die erste Definition ist nicht richtig, die sagt ja gar nichts aus! Da fehlt ja der wesentliche Teil. Sie heißt richtig:

$\begin{eqnarray*} \forall\ c>0\ \exists\ n_0(c)\in \mathbb N: a_n>c\ \forall n\geq n_0(c) \end{eqnarray*}$

Übrigens bedeutet $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ "Element von ...". $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ geht so: "\epsilon". Falls du $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ schöner findest, das geht mit "\varepsilon"! Die zweite ist richtig. Ja, das meine ich. Jetzt setz doch mal für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ein und für $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n} \end{eqnarray*}$ !

10.05.2005, 19:10

Mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar das is mir jetzt auch logisch. Nun zum Beweis sehen kann ich da noch lange nichts ... hab heute den beweis bei nen 2. semesterer gesehen die hatten das in der Vorlesung und das war knapp 1Seite . Aslo kanns doch nicht sein das man das einfach so sieht oder?

11.05.2005, 00:05

Mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry schon mal für den Doppelpost.

Hab nochmal über den Beweis nachgedacht bin aber immer noch nicht zu nen 100% schluss gekommen. Speziell würde jetzt folgendes dastehen:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists n_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{x_n}-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n\leq n_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \forall c>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists n_0(c) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n>c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n\leq n_0(c) \end{eqnarray*}$

so bis dahin is alles klar hoffe ich ... un nu ? verwirrt

verwirrt

HELP

Gott

11.05.2005, 00:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine ganze Seite kann ich mir nicht vorstellen!
Du meinst übrigens $\begin{eqnarray*} \forall n\geq n_0(...) \end{eqnarray*}$ ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also du musst $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ irgendwie zusammenbringen.
Du musst ja zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ finden, sodass ... gilt. Du nimmst jetzt an, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen +unendlich geht.
Du fängst jetzt so an: Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig vorgegeben. Und jetzt geb ich nen großen Tipp: Dann gibt es zu $\begin{eqnarray*} c:=\frac{1}{\varepsilon}>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0(c) \end{eqnarray*}$ , sodass ...
Der wesentliche Tipp war die Definition von c. Achte darauf, dass $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auch von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt, da es von c abhängt und dieses wiederum von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängt.

11.05.2005, 00:35

Mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah sorry Tippfehler. leq und geq verwechselt

also würde dann aus meinem $\begin{eqnarray*} {x_n}>c \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} {x_n}>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ werden. Davon den Kehrwert würde $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ ergeben????

wie kommst du auf das c:=1/epsilon?

11.05.2005, 00:44

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau! Und zwar alles für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ !
Übrigens musst du noch etwas genauer sein. Da c>0 ist, ist für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x_n>0 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} |x_n|=x_n \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} 0<\left|\frac{1}{x_n}\right|=\frac{1}{|x_n|}=\frac{1}{x_n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Wie ich darauf gekommen bin? Jetzt war es Erfahrung, weil ich das natürlich schon kenne. Aber beim ersten Mal so: Ich habe einfach $\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{x_n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ umgestellt. Dann hab ich gesehen, dass $\begin{eqnarray*} x_n>\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Dann hab ich diese Betrachtungen eben umgekehrt und c als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ definiert und genau die andere Richtung gezeigt. Klar?
Übrigens: Zur zweiten Aufgabe: Was glaubst du, folgt aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n}\to 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x_n\to +\infty \end{eqnarray*}$ ??

11.05.2005, 00:49

Mario25

Auf diesen Beitrag antworten »

rein theoretisch würde ich sagen das es geht ... wenn es so ist muss ich das dann auch so zeigen wie oben.

Wäre der Beweis mit oben dem eigentlich jetzt schon abgeschlossen.

Irgendwie steh ich mit den lieben folgen noch nen bissl auf Kriegsfuß.

11.05.2005, 16:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Beweis ist schon abgeschlossen.

Zitat:

Original von Mario25
rein theoretisch würde ich sagen das es geht ... wenn es so ist muss ich das dann auch so zeigen wie oben.

Was ist denn mit der Folge $\begin{eqnarray*} x_n=-n \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} x_n=(-1)^n\cdot n \end{eqnarray*}$ ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das wär dann ein Gegenbeispiel, womit die Aufgabe gelöst wäre.

11.05.2005, 16:34

mcmanic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja klar ... jetzt bin ich wieder um ein kleines bisschen Schlauer ... Dank dir wieder mal vielmals für deine Hilfe!!!

Wink

Wink

MLG McManic alias Mario25 Hammer

Hammer

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »