Endomorphismus von C^3 |
| 10.05.2005, 11:56 | Assal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Endomorphismus von C^3 Wieder mal eine Aufgabe, bei der ich nicht richtig klar komme... Prüfen Sie, ob der durch f (x1, x2, x3) = (-2x2, x3, 0) definierte Endomorphismus von C^3 diagonalisierbar ist. Die dazugehörige Matirx schaut dann wohl so aus: Wie komme ich weiter? Soll ich die Eigenwerte ausrechnen? |
||||
| 10.05.2005, 13:55 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eigenwert kann man ja gleich ablesen.... die dimension des zugehörigen eigenraums auch..... wenn mich meine LAkenntnisse nicht trügen sollte daraus bereits die nichtdiagonalisierbarkeit gezeigt sein. *ohne gewähr* mfg jochen |
||||
| 11.05.2005, 11:21 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Endomorphismus von C^3 Hallöchen... Also uns wurde gesagt, dass man die Eigenwerte ausrechnen soll, nur leider komme ich da auch nicht wirklich weiter *g*. Dann soll man wohl versuchen die Eigenvektoren zu bilden und erkennt dann, dass sich wohl nur einer bilden läßt, was dann der BEweis ist, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist, schließlich kann man in C3 mit einem Eigenvektor ja keine Matrix bauen. Mein Problem ist nun, dass ich da gar nicht erst hinkomme ohne Eigenwerte... Jemand ne Idee??? Krümel |
||||
| 11.05.2005, 12:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass die Eigenwerte die Nullstellen der charakteristischen Gleichung sind, solltest du doch aber wissen!!! 
|
||||
| 11.05.2005, 12:34 | MisterMagister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hä? Das ist doch schon die Diagonalmatrix. |
||||
| 11.05.2005, 12:55 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, nur wie soll mir das jetzt bitte weiterhelfen??? Vielleicht hab ich grad ein Brett vorm Kopf, aber ich weiß trotzdem nicht weiter... |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 11.05.2005, 12:59 | MisterMagister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stell mal bitte das charakteristische Polynom auf. |
||||
| 11.05.2005, 13:37 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich gemacht, dann rechne mit Sarrus weiter und würde dann eigentlich mit der Polynomdivision nach den Eigenwerten auflösen. Hab das soweit auch probiert, aber dann erhalte ich ja nur 0. - Irgendwie ist heut nicht mein Tag... |
||||
| 11.05.2005, 13:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie "0" ? Als charakteristisches Polynom - oder als dessen Nullstellen? Letzteres stimmt nämlich, d.h., die charakteristische Gleichung hat nur den Wert Null als dreifache Nullstelle! |
||||
| 11.05.2005, 13:51 | MisterMagister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Das charakteristsiche Polynom ist: Damit sind alle drei Eigenwerte gleich Null und das is nix schlimmes. Also ist A bereits eine obere Dreiecksmatrix bei der die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen und genau das ist die Definition einer Diagonalmatrix. Und wenn A bereits Diagonalmatrix ist, so ist sie trivialerweise auch diagonalisierbar mit der Einheitsmatrix als Transformationsmatrizen. |
||||
| 11.05.2005, 13:54 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nee, nicht das charakteristisches Polynom, meine Gleichung hat dann nur den Wert 0. Und was mach ich dann damit? Kann ich nun sagen, dass man in C3 entsprechend drei Eigenvektoren braucht um B zu bilden und somit ist die Matrix nicht diag? |
||||
| 11.05.2005, 13:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du scheinst unter einer Diagonalmatrix was anderes zu verstehen als allgemein üblich: http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix |
||||
| 11.05.2005, 13:59 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Glaub ich nicht, denn dies hier ist mir schon bekannt: Bei einer Diagonalmatrix sind die Eigenwerte die Einträge auf der Diagonalen und die Eigenvektoren sind die kanonischen Einheitsvektoren. Willst du mir damit sagen, dass sie doch diagonaliserbar ist, da die Eigenwerte 0 sind und die EInträge auf der Diagonalen auch??? |
||||
| 11.05.2005, 14:00 | MisterMagister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Hab das jetzt mal spontan mit der Trigonalmatrix verwechselt. Nee, dann geht's nicht, denn der zugehörige Eigenraum Eig(A,0) ist eindimensional. |
||||
| 11.05.2005, 14:04 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn ihr schon den Wikipedia-Link nicht lesen wollt, dann mal Klartext hier und jetzt: Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, die außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen hat. Das hat nichts, aber auch gar nichts mit irgendwelchen Eigenwerten zu tun. Diagonalisierbar heißt eine Matrix A genau dann, wenn es eine Diagnonalmatrix D und eine Transformationsmatrix T gibt mit . Das ist jetzt hoffentlich geklärt. |
||||
| 11.05.2005, 14:09 | MisterMagister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das was nach Wikipedia "Diagonalform" heißt haben wir in der Vorlesung "Diagonalmatrix" genannt. oder vielleicht den Link nochmal selber lesen, denn da steht
|
||||
| 11.05.2005, 14:37 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat ja auch keiner gesagt, dass das nicht geklärt ist. Und was du da geschrieben hast, weiß ich auch! Nur uns wurde beigebracht, dass beim Endergebniss die Eigenwerte auf der Diadonalen stehen, wenn sie diagonalisierbar ist. Sorry, dafür dass ich das so gelernt habe kann ich nichts!!!!!!!!!! Mein Problem besteht darin, dass ich nicht weiß wie ich weitermache wenn ich die Eigenwerte berechnet habe, vielleicht solltest du da mal ansetzen um weiterzuhelfen, denn ich weiß nicht was es für einen Sinn hat mit 0 weiterzurechnen, das Ergebniss bleibt bei mir 0 auch wenn ich A=TDT-1 rechne ... |
||||
| 11.05.2005, 14:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, wie weit sind wir: Wir haben nur den einen Eigenwert , und suchen jetzt die Dimension des zugehörigen Eigenraums. Das geschieht durch Lösung des Gleichungssystems nach x. Falls dieser Eigenraum eine Dimension kleiner als 3 (= der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts 0) hat, dann ist die Matrix A nicht diagonalisierbar. |
||||
| 11.05.2005, 14:51 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DANKE!!! Nun weiß auch ich endlich was ich machen muss. Mich hat diese Null-Geschichte absolut aus dem Konzept gebracht. |
||||
| 11.05.2005, 14:53 | MisterMagister | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Eigenwerte müssen doch auch auf der Hauptdiagonalen stehen, steht ja auch so auf Wikipedia und könnte ich dir auch begründen wenn es gewünscht wird. Aber zu deiner Frage. Eine Matrix is genau dann diagonalisierbar, wenn beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind: (1) Das charakteristische Polynom zerfällt über K (2) Für alle EW gilt, das die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist. (1) Ist erfüllt. Damit (2) erfüllt ist muss also gelten denn 3 ist die Vielfachheit der Nullstelle und das ist genau die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts Null. Den Eigenraum berechnet man durch lösen des LGS: Da ist, resultiert mit sieht mann sofort, dass eindeutig bestimmt ist und ist frei wählbar. Also ist der Eigenraum: Also eindimensional und somit ist A nicht diagonalisierbar. |
||||
| 11.05.2005, 15:03 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nochmal Danke für eure Mühe!!! Wir hatten das auch schon so ausgerechnet, nur wenn man unsicher ist und es 3Punkte für so eine relativ einfach Aufgabe gibt, dann zweifelt man seine Ergebnisse so lange an bis man selbst ganz verrückt wird!!! Also nun ist alles klar... 
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
