Untergruppe - Seite 3

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JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit der Existenz von e kann man dann die Inversen herbei argumentieren:

sehr schöne wortwahl ^^



ja, ist im großen und ganzen gut Freude
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

loed betreff glockes Aufgabe zu Untergruppen..muss man bei dieser aufgabe auch U-Gruppenaxiome beweisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, nein, du hast hier ja gezeigt, dass 1)2) die untergrupenbedingungen sind.


wenn du also später eine gruppe G und eine teilmenge U auf untergruppe untersuchen musst, zeigst du dann einfach, dass 1) und 2) gelten.

diese aufgabe ist abgeschlossen!
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

nein loed ich meine eine andere aufgabe betreff Sei G:={AM_2(R):A*A^t=E}

Zu zeigen:G ist eine Untergruppe von GL_2(R).
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja das ist eine schöne anwendung von dieser aufgabe

zeige, dass in deiner teilmenge 1) und 2) gelten [das musst du anhand der SPEZIELLEN teilmenge beweisen]

dann weißt du, das nach der erkenntnis hier deine teilmenge sogar untergruppe sein muss.
Snooper Auf diesen Beitrag antworten »

also zeigen dass G nicht leer ist und zeigen dass in G ein a existiert uND ein inverses a wobei a*a^-1 auch in G liegt??
 
 
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

zuallererst musst du zeigen, daß G eine teilmenge (und zwar am besten gleich eine nichtleere) ist, also daß A invertierbar ist, denn GL_2(R) ist die gruppe aller invertierbaren 2x2 matrizen. ist G nämlich keine teilmenge, brauchst du mit den zwei gruppenbedinungen erst gar nicht anzufangen...(<== zitat prof. fritzsche)...ich leg einfach mal loß:

G ist eine nichtleere teilmenge von GL_2(R) ist leicht einzusehen, denn E erfüllt die gefordete bedinung:
E*E^t = E
die einheitsmatrix ist natürlich auch invertierbar, somit gilt G != { } und G in GL_2(R)

jetzt ist noch zu zeigen: a,b in G ==> a*b^-1 in G
sei a=b=E dann E*E^-1 in G (w)
damit wurde gezeigt, daß G untergruppe von GL_2(R) ist.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
jetzt ist noch zu zeigen: a,b in G ==> a*b^-1 in G
sei a=b=E dann E*E^-1 in G (w)
damit wurde gezeigt, daß G untergruppe von GL_2(R) ist.


nein, du darsft nicht einfach spezielle a,b wählen, sondern musst das für ALLE a,b aus deiner teilmenge zeigen.

mfg jochen
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

mit den gruppenaxiomen ist das wirklich einfacher...

dann vielleicht so:

sei C in M_2(R) so daß gilt C*A=E
damit A*A^t = E
<==> C*A*A^t = C*E
<==> A^t = C
wenn die matrix C existiert, so gilt C = A^t
somit ist A invertierbar, den es gilt A^t*A = A*A^t = E mit A^t = A^-1

damit liegen A und A^t in G

E liegt ebenfalls in G, wie im früheren post gezeigt

sei a=b=A dann habe ich A*A^t = E. E ist in G, damit wurde gezeigt, das G untergruppe von GL_2(R) ist.

???
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe deine lösung nicht, glaube auch kaum, dass das richtig ist. verwirrt

bedingung 1) nichtleer ist ja bereits gezeigt, denn die einheitsmatrix liegt drin

bedingung 2) ist also noch zu zeigen
nehme an, A,B lägen in deiner teilmenge, zeige, dass dann auch AB^-1 drin liegt
was must du dafür zeigen? -> das AB^-1 die bedingungen deiner teilmenge erfüllt
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

auf ein neues:

A in G ==> A^t in G weil A^t*A = A*A^t
B in G ==> B^t in G weil B^t*B = B*B^t

A*B^-1 in G weil und jetzt kommts:

(A*B^-1)*(A*B^-1)^t = E
<=>A*B^-1*B*A^t = E
<=>A*E*A^t = E
<=>A*A^t = E
<=>E = E (wahr)

damit auch die zweite bedinung erfült
somit ist G untergruppe von GL_2(R)
Wink
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm, müsstest noch manchmal ein ^t durch ein ^-1 ersetzen, denn gefragt ist das für das inverse.
in deinem speziellen fall sind die transponierten aber die inversen.
deswegen ist die rechnung in ordnung....
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

hab´ es editiert.
wäre schön, wenn du im thema Ringe vorbeischauen könntest Tanzen
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=17211
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

noch besser übrigens als gleichungskette:

Zitat:
(A*B^-1)*(A*B^-1)^t = E
<=>A*B^-1*B*A^t = E
<=>A*E*A^t = E
<=>A*A^t = E
<=>E = E (wahr)

also eher:

und so fort.

Freude
glocke Auf diesen Beitrag antworten »

hast ja recht Freude
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