Ableitung gebrochenrationaler Funktionen

12.05.2005, 17:29

Icetray

Ableitung gebrochenrationaler Funktionen

Hy mach grad eine Kurvendiskussion für eine gebrochenrationale Funktion und hänge bei den Ableitungen, sprich Produkt-, Quotientenregel fest!

Kann mir einer die 3 Ableitung von x^2 + 2x + 1 / x^2 - 4 sagen

Meine erste lautet -2x^2 -10x -8 /(x^2 -4)^2

Meine zweite lautet 15x^2 + 24x +20 / (x^2 -4)^3

Danke! Hilfe

12.05.2005, 18:43

derkoch

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so ertsmal die formalitäten!
es muß f(x) = ... stehen, sonst kriegst du ärger mit LOED!
und nu das ganze mit latex

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{-2x^2 -10x -8}{(x^2 - 4)^2} \end{eqnarray*}$

erste ableitung ist richtig!
2. ableitung ist falsch!
bitte nochmal nachrechnen!

12.05.2005, 20:37

Icetray

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Entschuldigung das f(x) habe ich in der schnelle wohl unterschlagen!

Neue zweite Ableitung lautet f``(x)=4x^3 + 30x^2+ 48x+ 40
----------------------------------
(x^2 - 4)^3

Kann meiner Meinung nach nicht stimmen das die Exponenten der potenzen von x beim ableiten ja nicht größer werden können

12.05.2005, 21:01

Crotaphytus

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Die sieht gut aus smile

Und es ist durchaus ganz normal, dass sich bei gebrochenrationalen Funktionen die Exponenten erhöhen, wenn man sie ableitet.

12.05.2005, 21:07

iammrvip

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@Icetray
Wenn du Extrema nachweisen willst, reicht es auch, wenn du an der möglichen Wendestelle $\begin{eqnarray*} x_w \end{eqnarray*}$ einen Vorzeichenwechsel nachweist Augenzwinkern

dann kannst du dieser grausige Ableitung umgehen.

12.05.2005, 21:08

Icetray

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Gut dann bekomm ich die dritte bestimmt auch noch hin!
Danke

14.05.2005, 14:50

Icetray

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Hy Leute

Schreib am Freitag meine Matheabschlussprüfung und hab noch immer ein Problem mit den Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen im zusammenhang mit Kurvendiskussionen!

1. Warum rechne ich beim bestimmen von Extremwerten und Wendepunkten mir den Zähler weiter und was spielt der Nenner für eine Rolle

2. Kann mir einer vielleicht einen Tipp geben wo ich Übungsaufgaben + Lösungen her bekomme( oder evtl. eine Musteraufgabe)

14.05.2005, 18:55

iammrvip

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Zitat:

Original von Icetray
1. Warum rechne ich beim bestimmen von Extremwerten und Wendepunkten mir den Zähler weiter und was spielt der Nenner für eine Rolle

Wenn du eine gebrochenrationale Funktion lässt sich doch immer in der Form

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \quad q(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

darstellen. Wenn du nun die Nullstellen oder die Extrema bestimmst, setzt due doch die (Ableitungs-)Funktion $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Dabei rechnest du ja jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x) &= 0 \\ \frac{p(x)}{q(x)} &= 0 \quad | ~ \cdot q(x) \\ p(x) &= 0 \end{eqnarray*}$

somit entfällt der Nenner immer, weil 0 mal irgendwas immer wieder 0 ergibt.

Also musst du dir nur den Zähler angucken Augenzwinkern

.

Der Nenner darf nicht 0 werden, da eine Division durch 0 nicht definiert ist. Also musst du solche x, für die der Nenner 0 wird, aus dem Definitionsbereich der Funktion ausschließen.

Zitat:

2. Kann mir einer vielleicht einen Tipp geben wo ich Übungsaufgaben + Lösungen her bekomme( oder evtl. eine Musteraufgabe)

Guck mal hier vorbei. Die Grundkurse bekommen ab und zu eine gebrochrationale Funktion.

Die sind auch teilweise nicht so leicht.

18.05.2005, 16:32

w4v3

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eine weitere Aufgabe...
Hi erstmal... Da ich nicht unnötig neue Threads erstellen will, werde ich einfach an dieses Thema anschließen mit einer neuen Aufgabe...

und zwar habe ich die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1+x}{2x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-2x^{2}-4x+1}{(2x^{2}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

2. Ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{-16x^{5}-16x^{4}+16x^{2}-12x-4}{(2x^{2}+1)^{3}} \end{eqnarray*}$

Stimmen die Ableitungen?
Will nur nen bissi sichere werden im Umgang mit solchen Funktionen..

18.05.2005, 18:58

brunsi

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RE: eine weitere Aufgabe...
die 1.Ableitung stimmt w4v3, doch was hast du bei der 2.Ableitung genau gemacht. was hast du für u,u',v und v' gewählt? schreib das hier bitte mal rein!!

18.05.2005, 22:00

w4v3

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also
$\begin{eqnarray*} u = -2x^{2}-4x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = -4x -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = (2x^{2}+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = 2*(2x^{2}+1)*(4x) \end{eqnarray*}$ Quadratregel ...

habe ich dort schon nen Fehler ?!

18.05.2005, 22:05

brunsi

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nee aber es sieht so aus, als ob ich wieder nen fehler gemacht habe. ich glaube deine 2.ableitung ist richtig. ich weiß jetzt wo meine fehler steckt, hab bei v' die 2 in der klammer übersehen.

danke dir, dass du mich drauf aufmerksam gemacht hast. ich übersehe hier irgendwie ziemlich oft in den letzten 2 tagen was. naja liegt wohl daran, dass ich von einem thread zum nächsten rase *gg*!!

18.05.2005, 23:55

w4v3

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Muss meine Ableitung verbessern in:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{((-4x-4)*(2x^{2}+1)*(2x^{2}+1))-((-2x^{2}-4x+1)*2(2x^{2}+1)*4x)}{(2x^{2}+1)^{4}}\\\\= \frac{((-4x-4)*(2x^{2}+1))-((-2x^{2}-4x+1)*2*4x)}{(2x^{2}+1)^{3}} \\\\= \frac{-8x^{3}-4x-8x^{2}-4+16x^{3}+32x^{2}-8x}{(2x^{2}+1)^{3}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac{(5x*y^{2})-(3x*y)}{y^{3}} = \frac{(5x*y)-(3x)}{y^{2}} \end{eqnarray*}$

kürzen auf beiden Seiten der Gleichung vor dem "MINUSZEICHEN" und nach dem "MINUSZEICHEN" Augenzwinkern

Man lernt nie aus Rock

@4c1d: Sorry, habe kurz nachdem ich das mit derive gepostet habe, es nochmal gerechnet, weil ich sonst nicht hätte schlafen können*g* und schwups hatte ich meinen Fehler entdeckt Augenzwinkern

19.05.2005, 00:29

4c1d

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Zitat:

Original von w4v3
also
$\begin{eqnarray*} u = -2x^{2}-4x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = -4x -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = (2x^{2}+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = 2*(2x^{2}+1)*(4x) \end{eqnarray*}$ Quadratregel ...

habe ich dort schon nen Fehler ?!

Das ist noch richtig Freude

Allerdings musst du im Nenner dann nicht $\begin{eqnarray*} (2x^{2}+1)^{3} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (2x^{2}+1)^{4} \end{eqnarray*}$ stehen haben ( $\begin{eqnarray*} v^2 \end{eqnarray*}$ ). Du kannst den Bruch dann noch entweder durch Ausklammern oder durch Polynomdivision - es läuft auf dasselbe hinaus - mit $\begin{eqnarray*} 2x^{2}+1 \end{eqnarray*}$ kürzen, um auf das Ergebnis von Derive zu kommen.
edit : ah, ich sehe du bist schon selbst darauf gekommen smile

19.05.2005, 09:18

brunsi

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antwort
naja man kommt meistens selbst drauf,w enn andere noch mal schreiben, was ihnen suspect erscheint.

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