Trigonometrischer Grenzwert

12.05.2005, 20:53

dast

Trigonometrischer Grenzwert

Kann mir jemand bitte zeigen wie ich den Grenzwert der folgenden Funktion an der Stelle x = 0 bestimme:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\ \frac{\cos x - 1}{x \left(e^x - 1\right)} \end{eqnarray*}$

Danke!

12.05.2005, 21:04

Crotaphytus

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Die typische Frage an dieser Stelle: Sagt dir der Satz von L´Hospital was?

12.05.2005, 21:07

dast

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Leider nein!

12.05.2005, 21:11

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \frac{\cos{x} - 1}{x \left(e^x - 1\right)} = \frac{(\cos{x} - 1)(\cos{x} + 1)}{x \left(e^x - 1\right) (\cos{x} + 1)} = \frac{-\sin^2{x}}{x^2 \cdot \frac{e^x - 1}{x}(\cos{x} + 1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{\frac{e^x - 1}{x}} \cdot \frac{1}{\cos{x} + 1} \end{eqnarray*}$

Und hierin erkennt man den Differenzenquotienten der Sinusfunktion und denjenigen der Exponentialfunktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

12.05.2005, 21:20

dast

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Sorry, aber wie ermittle ich nun aus dieser umgeformten Formel den Grenzwert?

Danke!

12.05.2005, 21:30

etzwane

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wenn du nur wissen willst, wie groß der Grenzwert sein könnte, ohne Mathematik und Beweis usw., dann rechne einfach mal den Term in einem Taschenrechner durch mit x=0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 usw.

12.05.2005, 21:37

dast

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Ein Beweis wäre doch recht schön!

12.05.2005, 21:37

Crotaphytus

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Wenn er einfach nur wissen will wie groß der Grenzwert is hätt er den Term auch einfach in ein CAS eintippen können oder, wenn so was nicht vorhanden ist, einfach dazusagen können, dass er nur den Wert braucht und der Weg egal ist. In dem Fall hätt ich mich durchaus bereiterklärt, den schnell hinzuschreiben, mit L´Hospital ist das nämlich kein Problem. Ohne jedoch scheints mir ziemlich pervers zu sein...

12.05.2005, 21:48

dast

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Hat jemand vielleicht eine kurze Erklärung zu L'Hospital oder auch nen Link zu einer Internetseite zu diesem Thema?

Danke!

12.05.2005, 22:52

4c1d

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Die Erläuterung auf wikipedia ist recht gut (wie so oft Augenzwinkern

) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%27Hospital

12.05.2005, 23:01

Spark203

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Die Krankenhausregel ganz kurz:

Ist der Quotient zweier differenzierbarer Funktionen an der Stelle xo=0/0 ist der tatsächliche Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to xo} f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x) \end{eqnarray*}$

Du hast da ein ideales Beispiel.....
Jeder andere Weg wäre viel zu kompliziert.

Kommst du jetzt weiter?

12.05.2005, 23:34

dast

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Ich hoffe das stimmt jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\ \frac{\cos x - 1}{x \left( e^x - 1 \right)} = \ldots = \lim_{x \to 0}\ - \left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \frac{x}{e^x - 1} \cdot \frac{1}{\cos x + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{(\sin x)'}{(x)'} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{(\sin x)'}{(x)'} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{(x)'}{(e^x - 1)'} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{1}{\cos x + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{\cos x}{1} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{\cos x}{1} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{1}{e^x} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{1}{\cos x + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \cdot \lim_{x \to 0}\ \cos x \cdot \lim_{x \to 0}\ \cos x \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{1}{e^x} \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{1}{\cos x + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \lim_{x \to 0}\ \frac{1}{\cos x + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 + 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Danke!

12.05.2005, 23:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Spark203
Jeder andere Weg wäre viel zu kompliziert.

Ich finde l'Hospital viel komplizierter als Leopolds Weg! Dass nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{e}^x-1}{x}=1 \end{eqnarray*}$

ist, sollte bekannt sein. Vor allem ist es direkt zu sehen, wenn man, wie Leopold schon sagte, die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt kennt.
Eine weitere einfache Möglichkeit wäre die Potenzreihemethode.
Insbesondere sind diese beiden Methoden sehr gute (die erste mMn sogar eine bessere) Alternativen, wenn man l'Hospital nicht kennt!

@dast
Leopolds Umformung war nicht dazu gedacht, um danach nochmal l'Hospital anzuwenden!! Entweder du nimmst Leopolds Umformung und benutzt die von ihm und mir angesprochenen Grenzwerte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\left(-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{\frac{\operatorname{e}^x-1}{x}}\cdot \frac{1}{\cos x+1}\right)=-\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{e}^x-1}{x}}\cdot \frac{1}{\lim\limits_{x\to 0}\cos x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-1^2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

oder du wendest auf den Ausgangsterm l'Hospital an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x(\operatorname{e}^x-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{\operatorname{e}^x-1+x\operatorname{e}^x}=\lim_{x\to 0}\frac{-\cos x}{\operatorname{e}^x+x\operatorname{e}^x+\operatorname{e}^x}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Aber erst die Umformung zu machen, um danach doch nicht den Sinn dahinter zu benutzen, sondern darauf l'Hospital anzuwenden, ist etwas unüblich. Du hattest aber Glück, dass l'Hospital dann nicht so "lange" dauerte (nach dem Umformen) wie wenn du es auf den Ausgangsterm angewandt hättest.

13.05.2005, 07:28

dast

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Ok... ich glaube jetzt hab ich kapiert!

Noch ne Frage, kann ich im Term $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ f(x) und g(x) so oft ableiten, so lange beide gegen 0 streben? Also so lange bis ich was sinnvolles habe, wie im obigen Beispiel, wo du ja 2 mal f(x) und g(x) abgeleitet hast?

Danke und Grüsse,
Daniel.

13.05.2005, 15:13

Mathespezialschüler

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Ja, kannst du! Unter den entsprechenden Voraussetzung ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f''(x)}{g''(x)}=...=\lim_{x\to a} \frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)} \end{eqnarray*}$

, falls $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a} \frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)} \end{eqnarray*}$ (eigentlich oder uneigentlich) existiert.

13.05.2005, 15:41

Crotaphytus

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Das Gleiche gilt übrigens auch, wenn beide Funktionen gegen Unendlich (plus oder minus is hierbei egal) gehen würden. Nur wenn eine gegen Null und die andere gegen Unendlich geht stimmt das nicht mehr (wobei dann der Grenzwert aber auch schon dasteht... Augenzwinkern

)

Wie der Mathespezialschüler schon gesagt hat ist halt die Voraussetzung, dass am Ende ein Grenzwert rauskommt, der wirklich existiert. Wenn du das auch nach ner langen Reihe von Anwendungen dieses Satzes nicht hinkriegst war schon die erste Umformung nicht erlaubt. Dementsprechend gehört ans Ende dann noch ein kurzer Satz der Art "Da der letzte Limes existiert, existieren auch alle vorangehenden" oder wie auch immer du das formulieren willst.

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