Bestapproximation |
| 03.01.2008, 22:03 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bestapproximation Meiner Meinung nach wären dazu einfach die Tschebyscheff polynome vom Grad n zu verwenden, und dann einfache Approximationsaufgabe wie etwa im Workshop beschrieben zu lösen. Aber dann haben wir bei dem Beispiel auf dem angabezettel als hinweis dabeistehen, das die auswertung numerisch stabil an den nullstellen der legendrepolynome (die mit charakteristischen polynom einer matrix bestimmt werden können) erfolgt. Das überfordert mich jetzt ein Bisschen, was sollen Legendre Polynome mit Bestapproximation zu tun haben? mfg Chris |
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| 03.01.2008, 22:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Bestapproximation
Für ein Polynom vom Grad n benötigen wir dann also (n+1)-Stützstellen (Knoten), die auf dem Intervall [-1,1] zu wählen sind. Der Interpolationsfehler setzt sich aus 2 Faktoren zusammen, von denen nur einer (Knotenpolynom) durch die Wahl der Knoten zu beeinflussen ist. Dabei wird durch die Wahl der Knoten als Nullstellen der T-Polynome der "Fehlerkorridor" minimiert. Zum "Legendre" fällt mir nun eher numerische Integration ein...Mmh... |
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| 03.01.2008, 22:25 | Chris2005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das geht mir nicht anders, legendre klingeln auch eher die numerische quadratur glocken. aber kann es sein, dass ich nicht tschebyscheff knoten verwende, sondern die stützstellen halt mit den nullstellen der legendrepolynome wähle? und dann als approximationspolynom einfach ein interpolationspolynom durch diese legendre-nullstellen verwende? mfg Chris |
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| 03.01.2008, 22:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher wäre das möglich. Man muss nicht die Nullstellenen der T-Polynome nehmen. Nur warum dann Legendre + Bestapproximation, da klingelt bei mir gerade nichts und in der mir vorliegenden Literatur auch nicht. |
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| 04.01.2008, 01:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Schlüssel könnte im Wort "Approximation" liegen. PDF-Link extern, und hier wird der Approximationsfehler in einem Integralen Sinne gemessen. Die "Optimalität" von Tschebyscheff bezog sich ja auf Interpolation, also mit der Vorgabe, dass Polynom und die Funktion an n-Stellen übereinstimmen. Edith ist sich nun recht sicher, dass der Schlüssel das Wort Approximation ist. Die durch Lösen der LIPA erhaltene Funktion kann man auch als Approximation ansehen, aber sie muss nicht die beste sein. 
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| 11.01.2008, 18:26 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo chris, hallo tigerbine! Zu dieser Aufgabe fällt mir der REMEZ-Algorithmus ein, der im wesentlichen auf dem Alternantensatz von TSCHEBYSCHEFF und dem Satz von STIEFEL beruht. Weitere Stichworte "gleichmässige Approximation", Satz von "de la Vallée-Poussin". Siehe hier http://www.math.uni-hamburg.de/home/ober...on/approx09.pdf und hier http://www.uni-duisburg.de/FB11/STAFF/PL...rik2/Blatt9.pdf Literatur: Manfred W. Müller, "Approximationstheorie". Ich habe dieses Buch und kann es empfehlen. Gruss yeti |
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| 11.01.2008, 19:14 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe ist ganz einfach: Die Bestapproximation sieht so aus (Projektionssatz im Hilbertraum): wobei das i-te normierte(!) Legendrepolynom ist. Mit Interpolation hat das ganze nichts zu tun. mfG 20 edit: (.,.) ist das Skalarprodukt. edit2: das Skalarprodukt ist in diesem Fall die Wurzel aus dem Integral vom Produkt der beiden Funktionen... Die Legendre Polynome sind bezüglich dieses Skalarproduktes orthonormal. edit3: Hab grade erst tiberbines pdf durchgelesen
Naja, ich habs kurz zusammengefasst. |
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| 11.01.2008, 19:56 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
unter "Bestapproximation" findest du im kapitel Fourierreihen bzw. Allgemeine Fourierreihen sicherlich einiges mehr 
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| 13.01.2008, 13:56 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo 20_cent! Einverstanden! Die LEGENDRE-Polynome bilden ein Orthogonalsystem im HILBERT-Raum mit dem Gewicht Eins im Skalarprodukt. Das ist Bestapproximation im quadratischen Mittel (-Norm). Ich habe die Aufgabe nicht genau gelesen und an die gleichmässige Bestapproximation (Tschebyscheff-Norm, Maximumnorm) gedacht. Das hätte dann auf den REMEZ-Algorithmus geführt. Aber eben, warum so weit suchen, wenn das Gute liegt so nah 
. Gruss yeti |
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