Integriation einer quadratischen Sin funktion

13.05.2005, 09:52

Masterchriss

Integriation einer quadratischen Sin funktion

Hallo zusammen, habe ein kleines Problem. Ich will die Funktion $\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~\sin^{2}(wt) ~dwt \end{eqnarray*}$ Integrieren.

Allerdiengs weiß ich noch nicht so genau wie!

Mit welcher Rechenregel macht man das am besten? Wie ist das mit dem $\begin{eqnarray*} wt \end{eqnarray*}$ ? Kann ich das einfach wie ein x behandeln?

Vielem Dank, Chriss

13.05.2005, 09:59

klarsoweit

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RE: Integriation einer quadratischen Sin funktion
Heißt das Integral eventuell so:
$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~\sin^{2}(wt) ~dt \end{eqnarray*}$
Falls ja, würde ich erstmal x = wt substituieren. Die Integration von sin² geht mit partieller Integration oder im Bronstein nachschauen.

13.05.2005, 10:11

Masterchriss

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Nein, soll schon nach $\begin{eqnarray*} wt \end{eqnarray*}$ Integriert werden.

Mit patitieller Integration bin ich aber nicht weiter gekommen. Wie würdest du den da vorgehen?

Gruß Chriss

13.05.2005, 11:09

brunsi

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antwort
ich würde das wt so betrachten, als wäre es ein x

dann kannste doch mit partieller integration das auflösen!!

denn sin²(wt)=sin(wt)*sin(wt)

und wo genau ist jetzt dein problem?

13.05.2005, 11:45

Masterchriss

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Irgendwie komm ich nicht weiter!

$\begin{eqnarray*} I=\int_{}^{}~\sin(wt)^{2} ~dwt =\int_{}^{}~\sin(x)^{2} ~dx \Rightarrow x=wt \end{eqnarray*}$

So,dann wende ich die Partitielle Integration an:

$\begin{eqnarray*} u(x)=sin(x) \Rightarrow u`(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V`(x)=sin(x) \Rightarrow V(x)=-cos(x) \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} sin(x)\cdot (-cos(x))\cdot \int_{}^{}~cos(x)\cdot (-cos(x))~dx \end{eqnarray*}$

Sieht nicht viel besser aus!!!

Wo ist der Fehler?

13.05.2005, 12:09

klarsoweit

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Die partielle Integration stimmt nicht. Es lautet so:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) - \int_{}^{}~cos(x)\cdot (-cos(x))~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = - sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~cos(x)\cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst ausnutzen: cos(x)² = 1 - sin²(x)
Dann das Integral von sin²(x) auf die linke Seite schaffen und dann stehts fast da.

13.05.2005, 12:18

creasy

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Hi

Eigentlich ist es recht einfach, wenn man einmal auf die richtige Idee kommt. verwirrt

Also
Du hast bis jetzt berechnet:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(x) \cdot (sin(x))~dx = sin(x) \cdot (-cos(x)) - \int_{}^{}~cos(x) \cdot (-cos(x))~dx \end{eqnarray*}$
(Beachte: Vor dem Integral steht ein $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ und kein $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ )
Jetzt musst du nochmals partiell integrieren. (Und auf die Vorzeichen achten)
Danach sieht man eigentlich schon, was zu tun ist. Idee!

Falls nicht frag einfach nochmal nach Freude

13.05.2005, 12:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von creasy
Jetzt musst du nochmals partiell integrieren. (Und auf die Vorzeichen achten)

Nicht nötig. Siehe meinen Beitrag drüber. Augenzwinkern

Ich fürchte, mit nochmals partiell integrieren geht es auch nicht. verwirrt

13.05.2005, 12:33

Masterchriss

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code:
1:	Dann das Integral von sin²(x) auf die linke Seite schaffen und dann stehts fast da.

Wie meinst du das? Was meinst du mit "sin²(x) auf die linke Seite schaffen "? da hab ich doch wieder genau das gleich Problem wie am Anfang! $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(x)^{2}~dx \end{eqnarray*}$

13.05.2005, 12:38

creasy

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Jo
Hab ein wenig länger gebraucht um meine Antwort zu tippen, war halt meine erste.
Stimmt, habs nochmal kurz nachgerechnet, erneute partielle Integration funktioniert in diesem speziellen Fall tatsächlich nicht.
Man muss es also über die Tatsache, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} (\cos(x))^{2} = 1 + (\sin(x))^{2} \end{eqnarray*}$
zum Ziel gelangen.

Addiere doch mal auf beiden Seiten
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~(sin(x))^{2}~dx \end{eqnarray*}$
Hast du keine Vorzeichenfehler siehst du es sofort.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

13.05.2005, 12:41

klarsoweit

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Warum machst du nicht, was ich sage? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = -sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~cos(x)\cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~1~dx - \int_{}^{}~sin(x)^2~dx \end{eqnarray*}$
Jetzt das Integral von sin(x)2 auf die linke Seite:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = -sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~1~dx \end{eqnarray*}$

13.05.2005, 12:42

derkoch

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wenn du das integral auf die linke seite rüber bringst , was steht denn dann als ausdruck auf der linken seite? genau hinschauen und kurz überlegen , dann hast du das ergebnis! smile

13.05.2005, 14:19

brunsi

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antwort
kleiner tipp, wennd ud as integral sin² auf die linke seite rüber bringst, dann steht da (s.kalrsoweitsausführung weiter oben):

cos(x)² = 1 - sin²(x)

13.05.2005, 18:08

Calvin

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Zitat:

Original von creasy
Man muss es also über die Tatsache, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} (\cos(x))^{2} = 1 + (\sin(x))^{2} \end{eqnarray*}$
zum Ziel gelangen.

Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Es ist $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

13.05.2005, 18:53

brunsi

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@CALVIN: das hab ich ihm doch schon hingeschrieben, was er machen muss ein post über deinem.

verwirrt

*gg*

13.05.2005, 19:00

Calvin

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Das habe ich schon gesehen. Aber ich wollte nochmal explizit den Fehler von oben korrigieren. Sonst sieht der Threadersteller lediglich 2 sich widersprechende Aussagen und weiß möglicherweise nicht, welche richtig ist.

13.05.2005, 20:15

brunsi

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antwort
da haste natürlich recht!! Lehrer

14.05.2005, 15:07

Mathespezialschüler

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@Masterchriss
Dein Integral sieht etwas komisch aus, vor allem finde ich es verwirrend, dass du nach $\begin{eqnarray*} \omega t \end{eqnarray*}$ integrierst. Handelt es sich hier vll um ein Riemann-Stieltjes-Integral oder doch wirklich um ein Riemann-Integral?

14.05.2005, 15:11

Calvin

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Nach $\begin{eqnarray*} \omega t \end{eqnarray*}$ zu integrieren ist in elektrotechnischen Vorlesungen durchaus üblich. Es wird dann wie eine einzelne Variable betrachtet. Wenn man $\begin{eqnarray*} \omega t \end{eqnarray*}$ durch x ersetzt (ohne die üblichen Substitutionsregeln zu beachten), hat man ein "normales" Integral zu lösen.

14.05.2005, 16:06

Mathespezialschüler

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Ok, danke. Mal wieder die Physiker/Elektrotechniker, die hier an Genauigkeit sparen Big Laugh

17.06.2005, 11:59

Caleb666

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Hi,

ich hab ein kleines Verständnisproblem!!
Wie komme ich von:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) - \int_{}^{}~cos(x)\cdot (-cos(x))~dx \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} = - sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~cos(x)\cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

??

Brauche dringend Hilfe...

17.06.2005, 12:02

derkoch

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partielle integration!

und von der ersten zeile auf die die zweite ist doch nix gemacht worden außer die vorzeichen raus gezogen!

17.06.2005, 12:02

brunsi

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ganz einfach du ziehst dort einfach das minus vor das lette integral und zweimal minus macht ja plus!!

17.06.2005, 12:06

Caleb666

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HI,

das es mit partieller Integration geht ist mir klar!!

Kann nur die ganzen Vorzeichenwechsel nicht nachvollziehen!!

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) - \int_{}^{}~cos(x)\cdot (-cos(x))~dx \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} = - sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~cos(x)\cdot cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Warum wird zb. aus
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - sin(x)\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

17.06.2005, 12:10

derkoch

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$\begin{eqnarray*} sin(x)\cdot (-cos(x)= sin(x) \cdot (-1)\cdot cos(x) = ??? \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Ps:

Zitat:

Warum wird zb. aus
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) \end{eqnarray*}$

das würde ich so nicht hin stellen , könnte mißverständnisse erzeugen!

17.06.2005, 12:12

brunsi

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verdeutliche dir doch mal was sin² bedeutet und was mit dem einen sinus passiert,w ennd u partiell ableitest.

17.06.2005, 12:26

Caleb666

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Ich kann euch irgendwie nicht ganz folgen

Wenn ich folgende Gleichung habe:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) - \int_{}^{}~cos(x)\cdot (-cos(x))~dx \end{eqnarray*}$

würde ich so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) - \int_{}^{}~-cos^2(x)dx \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = sin(x)\cdot (-cos(x)) + \int_{}^{}~+cos^2(x)dx \end{eqnarray*}$

Drehe ich hier die anderen Vorzeichen um?? Oder ist alles komplett falsch??

Mein Ergebnis würde dann lauten:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = -sin(x)\cdot (+cos(x)) + \int_{}^{}~+cos^2(x)dx \end{eqnarray*}$

17.06.2005, 12:40

brunsi

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jo bis jetzt ist das doch richtig mit den vorzeichen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sin(x)^{2} = -sin(x)\cdot (+cos(x)) + \int_{}^{}~+cos^2(x)dx \end{eqnarray*}$

bedenke aber, dass du das integral noch lösen musst das mit cos² und dazu hast du auch schon nen tipp bekommen!!

17.06.2005, 13:21

Caleb666

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mein vorläufiges Ergebnis wäre:

$\begin{eqnarray*} = -sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~1~dx - \int_{}^{}~sin(x)^2~dx \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = -sin(x)\cdot cos(x) + \int_{}^{}~1~dx \end{eqnarray*}$

und nun:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = -sin(x)\cdot cos(x) + x +c1 \end{eqnarray*}$

aber verläuft der genaue Weg damit ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(x)^2~dx =\frac{1}{2} ( -sin(x)\cdot cos(x) + x +c1) \end{eqnarray*}$

komme??

Wie komme ich von dem 2 das vor dem Integral steht auf das 1/2??

17.06.2005, 13:29

derkoch

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paßt!!

Zitat:

Wie komme ich von dem 2 das vor dem Integral steht auf das 1/2??

aber wenn du so ne frage stellst dann fraage ich dich mal ganz ehrlich, hast du das selber gerchnet oder irgendwo abgeschrieben, denn wenn du es selber gerchnet hast dann müßtest du wissen woher es kommt!

ist nicht böse gemeint, sondern ich will nur wissen ob du es richtig verstanden hast oder net!

17.06.2005, 13:46

Caleb666

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

könnte mir bitte noch jemnand die folgende Frage erklären:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = -sin(x)\cdot cos(x) + x +c1 \end{eqnarray*}$

aber wie verläuft der genaue Weg damit ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(x)^2~dx =\frac{1}{2} ( -sin(x)\cdot cos(x) + x +c1) \end{eqnarray*}$

komme??

Wie komme ich von dem 2 das vor dem Integral steht auf das 1/2??[/quote]

17.06.2005, 13:54

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

nutz die beziehung

$\begin{eqnarray*} sin^2(x)+cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

aus!!

17.06.2005, 14:40

Caleb666

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm ned drauf verwirrt

Was bringst wenn ich weiß das
$\begin{eqnarray*} sin^2 + cos^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ist??

17.06.2005, 14:48

derkoch

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oki!
dann schreibe mir schritt für schritt auf wie du von anfang an zu deinem ergebnis gekommen bist! und ich sage dir bei jedem schritt was dazu.

17.06.2005, 14:50

Caleb666

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das ist ja leider mein Problem...

Ich versuche im Moment den kompletten Rechenweg der Aufgabe nachzuvollziehen.

Das Ergebnis hatte ich bereits.

Mir ist nur der letzte(oben beschriebene) Rechenweg unklar...

17.06.2005, 14:58

derkoch

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Zitat:

das ist ja leider mein Problem...

Ich versuche im Moment den kompletten Rechenweg der Aufgabe nachzuvollziehen.

deshalb bat ich dich schritt für schritt hin zu schreiben, was du dir dazu überlegt hast! smile

17.06.2005, 14:58

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

du stellst diese beziehung nach $\begin{eqnarray*} cos^2 \end{eqnarray*}$ um:

$\begin{eqnarray*} sin^2 + cos^2 = 1 \end{eqnarray*}$

das ist $\begin{eqnarray*} cos^2=1-sin^2 \end{eqnarray*}$

das setzt du dann in das integral für cosinus ein und erhälst:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1-sin^{2}(x)~dx \end{eqnarray*}$

so jetzt splitest du das integral einfach auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~1~dx-\int_{}^{}~sin^{2}dx \end{eqnarray*}$

so und jetzt stelle das einfach um so dass du sinus isolierst.

17.06.2005, 15:46

Caleb666

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Hallo,

d.h. ich muss alles was links vom "=" steht nochmal integrieren, oder??

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~1dx) - cos(x)^2~dx \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nun weiter vor?? verwirrt

17.06.2005, 15:52

derkoch

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och nöö!
warum tust du denn nicht was ich dir gesagt habe! schreibe doch die einzelnen schritte von vorne auf und ich erkläre dir es!

17.06.2005, 15:58

Caleb666

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Sorry das ich euch so viel Kopfschmerzen bereite...

Ich kann dir die nächsten einzelnen Schritte leider nicht erklären, weil ich nicht weiß wie ich nun vorgehen soll..

Bis zu folgendem Punkt ist mir alles klar:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{}^{}~sin(x)^2~dx = -sin(x)\cdot cos(x) + x +c1 \end{eqnarray*}$

aber wie verläuft der genaue Weg damit ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin(x)^2~dx =\frac{1}{2} ( -sin(x)\cdot cos(x) + x +c1) \end{eqnarray*}$

komme??

Wie komme ich von dem 2 das vor dem Integral steht auf das 1/2

Wie weit muß ich generell eine Funktion integrieren bis es passt???

Danke für eure Hilfe....

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