Verteilungsfunktion

13.05.2005, 15:40

TMI

Verteilungsfunktion

Hallo,

ich komm' mit diesen stetigen Verteilungen irgendwie noch nicht klar...es ist folgende Aufgabe zu lösen:

Eine Kreisscheibe mit Radius 1m wird von einem Pfeil getroffen. Die W-keit, ein gewisses Teil der Scheibe zu treffen ist proportial zu deren Oberfläche. R ist die Distanz zwischen Pfeil und Mittelpunkt der Scheibe. Gesucht: F, f, E(R) und Var(R)!

Wahrscheinlich ganz simpel, aber ich versteh' auch die Aufgabenstellung nicht so ganz! Was für eine Verteilung such' ich denn überhaupt. Angenommen der Pfeil schlägt 0,5m vom Mittelpunkt ein...was sagt mir das? Und was zeigt mir die Verteilungsfunktion in diesem Zusammenhang?

Wäre für einen Ansatz wirklich dankbar...

Gruß,

TMI

13.05.2005, 16:06

Leopold

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Sobald du die Dichte $\begin{eqnarray*} f(r) \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hast, ist der Rest Routine, denn

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}R \ = \ \int_0^1~r \cdot f(r)~\mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}R^2 \ = \ \int_0^1~r^2 \cdot f(r)~\mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(R) = \mathcal{E}R^2 - \left( \mathcal{E}R \right)^2 \end{eqnarray*}$

Die Dichte bekommst du aber durch Ableiten der Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(r) = P\left( R \leq r \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(r) = F'(r) \end{eqnarray*}$

Nach Angabe der Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit, einen gewissen Bereich der Scheibe zu treffen, proportional zur Fläche. Die Gesamtfläche des Kreises ist zunächst einmal $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .

Jetzt betrachte einmal als Beispiel den Kreissektor, der überstrichen wird, wenn ein Uhrzeiger von der 4 auf die 5 übergeht. Die Fläche des Sektors ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} \pi \end{eqnarray*}$ , also ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , in diesen Bereich zu treffen

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\frac{1}{12} \pi }{\pi} = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Im Nenner steht die Gesamtkreisfläche, im Zähler die Sektorfläche. Die Wahrscheinlichkeit ist also, ganz wie es der Anschauung entspricht, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ . Und um nun dein $\begin{eqnarray*} P(R \leq r) \end{eqnarray*}$ für die Verteilungsfunktion richtig zu bestimmen, mußt du dir darüber im klaren sein, was eigentlich $\begin{eqnarray*} R \leq r \end{eqnarray*}$ bedeutet. Das kleine $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mußt du dir als eine feste Zahl zwischen 0 und 1 vorstellen. Und jetzt fragst du: Für welche Punkte der Kreisfläche ist der Abstand $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ des Pfeilpunktes kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ? Der Flächeninhalt dieser Fläche kommt in den Zähler des Bruches wie oben bei der Sektorfläche.

13.05.2005, 18:23

TMI

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Zunächst mal vielen Dank für deine Hilfe!

Hmmm...na die Fläche des Kreises, der durch den Abstand zwischen Mittelpunkt und Pfeileinschlag definiert ist, ist doch $\begin{eqnarray*} \pi*r^{2}, r \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Dann wäre die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(r) = \frac{\pi*r^{2}}{\pi} = r^{2} \end{eqnarray*}$ und die Dichte $\begin{eqnarray*} f(r) = F'(r) = 2r \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} E(R) = \int_{0}^{1}~2r^{2}~dr = \left[\frac{2}{3}r^{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(R^{2}) = \int_{0}^{1}~2r^{3}~dr = \left[\frac{1}{2}r^{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var(R) = E(R^{2}) - E(R)^{2} = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Kann das sein oder hab' ich Müll gerechnet?
Und falls es richtig ist...was sagen mir diese Werte...was genau bedeutet der Erwartungswert von 2/3 bzw. die Varianz von 1/18 im konkreten Beispiel?

Gruß,

TMI

13.05.2005, 22:09

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Exakt richtig, bis ins letzte Detail. Freude

Zitat:

Original von TMI
was sagen mir diese Werte...was genau bedeutet der Erwartungswert von 2/3 bzw. die Varianz von 1/18 im konkreten Beispiel?

Der Erwartungswert ist das noch relativ einfach zu interpretieren: Im Mittel beträgt die Entfernung eines Wurfs vom Scheibenmittelpunkt also 2/3 des Radius. Die Varianz ist exakt zunächst nur in ihrer definitorischen Bedeutung interpretierbar, also als mittlere quadratische Abweichung dieser Wurfentfernung vom mittleren Wert 2/3. Die Wurzel daraus kann man in diesem Sinne als ein Maß für die mittlere direkte (also ohne Quadrat) Entfernung eines Wurfs von diesen 2/3 auffassen, eben als sogenannte Standardabweichung.

14.05.2005, 13:34

TMI

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Super...nochmals vielen Dank!

War ja dann im Endeffekt gar nicht so schwer, aber wie gesagt...ich wußte einfach nicht genau, wo ich anfangen soll!

Gruß,

TMI

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