Brauche Hilfe für eine Extremwertaufgabe |
| 14.05.2005, 12:40 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Brauche Hilfe für eine Extremwertaufgabe Ich schreibe nächste Woche meine Fachabi Klausur Mathe und wir haben Übungsaufgaben bekommen. Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, denn ich bekomme sie nicht gelöst. Die Aufgabe lautet: Im Rahmen einer Untersuchung der LÖBF soll der Erdboden eines ehemaligen Fabrikgeländes mikrobiologisch untersucht werde. Dazu müssen an verschiedenen Stellen Bodenproben genommen werden, die zur statistischen Auswertbarkeit alle das gleiche Volumen besitzen müssen. Die Maße der Schaufel des Kleinbaggers setzen voraus, dass das Verhältnis von Tiefe zu Breite sechs zu vier beträgt. Welche Maße hat das quaderförmige Loch, wenn möglichst viel Bodenprobe entnommen werden soll, aber die Summe aller Kanten nur 24dm betragen soll? Ich weiß nicht wie ich das Verhältnis von sechs zu vier einbeziehe? Wir haben als Information gegeben das der Umfang 24dm ist. Die Formel lautet ja 24dm= 2a+2b. Was habe ich jetzt für a oder b gegeben? Ich wäre echt dankbar für Eure Hilfe! MfG Noiram |
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| 14.05.2005, 12:49 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Ansatz ist die maximale Fläche (a*b) zu finden bei der a ein Vielfaches von 4 und b ein Vielfaches von 6 ist. Also a=4a´ und b=6b´, und dann b´ als das soundso-fache von a´ ausdrücken. Dann hast du eine Funktion von a´ wovon du dann das Maximum berechnen kannst. |
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| 14.05.2005, 12:55 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erklärungsbedarf? A = a*b, ich habe aber nichts gegeben, ich brauche aber eine unbekannte und das lösen zu können! 
edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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| 14.05.2005, 13:01 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Keine Doppelposts! Edit benutzen. Ich habe bei meinem vorigen Beitrag noch was dazugeschrieben... Übrigens: 
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| 14.05.2005, 13:08 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
D.h. => 24= 4a' + 6b' => 24-6b'= 4a' :4 =>6-1,5b'= a Dann kann ich das ja in A=a*b einsetzen und dann ableiten, ist das jetzt richtig so?
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| 14.05.2005, 13:16 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| antwort @phi: dir ist doch klar, dass er das Volumen ausrechnen muss?? edit: denn quaderförmig bedeutet immer etwas mit volumen (<--Prisma!!)) @threadschreiber:Also erst einmal machste folgendes: der Umfang eines Quaders wird so definiert: a: Länge b: Breite U=2(a+b) dieser soll 24 dm betragen==> 24=2(a+b) anschließend hastd u das VErhältnis der Schaufel (Tiefe und BReite im verhältnis 6:4) also Breite: 4b; Tiefe: 6c jetzt solltst du noch das Volumen des Loches ausrechnen: V=a*b*c ist die allgemeine Formel und jetzt mit den Werten, die du bereits dafür kennst: V(a,b,c)=a*4b*6c jetzt musst du noch 2 deiner Variablen rauswerfen, dazu formst du die Formel für den Umfang nach a oder b um: a=12-b ==> V(b,c)=(12-b)*4b*6c nun musst du noch die Variable c eliminieren, vielleicht kommste ja selbst drauf, sonst fragen!! und dann einfach nachdem du die Formel in abhöngigkeit einer Variable hast nur noch das Maximum (laut aufgabe!!) bestimmen. |
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| 14.05.2005, 13:23 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
...könnte auch gehen, aber einfacher ist es glaub´ ich erst in A=2a+2b für a=4a´ und b=6b´ einzusetzen: 24=8a´+12b´...und für b´ dann 1,5a´ einzusetzen. Dann hat man f(a´). @Brunsi: Stimmt, du hast recht! Sorry, bin erkältet und hab´s übersehen...
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| 14.05.2005, 13:34 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| antwort @phi: denn der bagger hat ja nur ne TIEFE und Breite, daher kannste ja nicht die TIEFE in die Formel für den UMFANG einsetzen.!! |
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| 14.05.2005, 20:50 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich danke Euch schon mal für Eure sehr gute Hilfe, ihr habt mir sehr geholfen, doch ich habe noch ein kleines Problem
:Ich habe das mal durchgerechnet, bekomme für b = 1 und für a=1,5 heraus. Wie berechne ich denn jetzt die Größe c, denn ich muß ja das Volumen ausrechnen, ich weiß nur nicht wie ich das machen, wenn wir noch eine unbekannte haben. Wäre nett wenn ich mir ein weiteres Mal helfen würdet! Mit freundlichen Grüßen Noiram |
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| 14.05.2005, 22:04 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| antwort wie hast du denn nach b und a auflösen können?
naja nehmen wir mal an, dass du richtig berechnet hast, dann setzt du einfach den wert für b ein: und bildest dann davon die ersten beiden ableitungen. da machste dann einfach ne extremwertbestimmung für die Variable c!! |
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| 14.05.2005, 23:12 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dies habe ich bis jetzt gemacht, ich habe gesagt: U=2(4a)+2(6b) 24= 8a + 12b nach a aufgelöst = 3-1,5b=a Dann habe ich V=a*b*c Habe dann a=3-1,5b eingestetz Die erste Ableitung gleich 0 habe habe ich b=1 erhalten dies habe ich dann in 24=8a +12b eingesetzt und nach a aufgelöst, da habe ich 1,5 erhalten. Jetzt muß ich aber noch c ausrechnen mit dem Volumen. d.h. das ich V=1,5(a)*(4*1(b))*6(c) Davon die Ableitung, also V'=6 Wenn ich irgendwo etwas falsch gemacht habe, dann würde mich echt über Hilfe freuen, denn ich habe eine solche Aufgabenstellung noch nicht gemacht
Mit freundlichen Grüßen Noiram |
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| 14.05.2005, 23:38 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Brauche Hilfe für eine Extremwertaufgabe
Ich verstehe diese Aufgabe so: Volumen V = l*b*t >>> Maximum Verhältnis t/b = 6/4 Summe aller Kanten 4*(l+b+t) = 24, da in einem Quader jede Kante 4 x vorkommt. Aber da kann ich mich ohne weiteres irren (und dann ist die weitere Rechnung nicht richtig). Die Frage ist halt, was ist genau gemeint mit "die Summe aller Kanten". Daraus: t = 1,5*b l=24/4 - t - b = 6 - 1,5*b - b = 6 - 2,5*b V = (6-2,5*b)*b*1,5*b = 1,5*b^2*(6-2,5*b) = 9*b^2 - 3,75*b^3 V abgeleitet nach b ergibt V' = ...., und aus V'=0 folgt b=...., daraus t=1,5*b=.... und l=24/4-b-t=... |
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| 15.05.2005, 10:38 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Brauche Hilfe für eine Extremwertaufgabe @etzwane: da muss man gar nicht schauen, was mit der Summe aller Kanten gemeint ist, denn der threadschreiber hatte da noch ne info zugesetzt:
da steht ja, dass es sich um den Umfang handeln soll und zwar von einer Fläche, denn Umfang von einem Prisma wäre sozusagen die "Mantelfläche". also es geht hier tatsächlich nur um eine draufsicht bei "Summe aller Kanten solll 24dm sein". also Umfang 24=2(a+b) und dann wäre es bis hier hin richtig und meine Formel würde auch soweit stimmen. mir fehlt momentan noch so der durchblick, wie ich da jetzt noch eine der beiden Übrigen Variablen bei der Volumenbestimmung rausschmeißen kann. ich würde am liebsten c noch irgendwie durch b ausdrücken!! edit: die Variable c lässt sich aus dem VErhältnis der baggerschaufeln errechnen: b/c=4/6 ==>c= (3/2)b (Vorausgesetzt die Verhältnisse der Baggerschaufel waren jetzt so??!!!! Kontrollieren!!) |
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| 16.05.2005, 09:18 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallöchen! Ich danke Euch allen für Eure Hilfe, ich habe diese Aufgabe bis jetzt aber immer noch nicht lösen können, denn ich bin ein weing verwirrt
da mir jeder einen anderen Lösungsweg vorschlägt und ich so verwirrt bin, das ich schon nicht mehr weiß, was muß ich jetzt überhaupt rechnen? Vielleicht denke ich einfach nur zu kompliziert, ich weiß es nicht, aber es wäre echt nett wenn mir jemand mal sagen kann so und so mußt du das rechnen, sonst bekomme ich das nie bebacken
!!!!Ich bin schon am Verzweifeln wegen meiner Matheklausur Freitag! Mit freundlichen Grüßen Noiram |
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| 16.05.2005, 09:37 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Noiram: das Problem liegt in der "vielleicht etwas ungenauen" Aufgabenstellung, und zwar in der Bedingung: "aber die Summe aller Kanten nur 24dm betragen soll?" Was genau ist mit "Summe aller Kanten" gemeint? Das könnten doch sein: 1) Summe = (l+b+t), also nur Länge+Breite+Tiefe, 2) Summe =2*(b+t), also der Kanten der Grundfläche des ausgehobenen Quaders, 3) Summe = 4*(l+b+t), also wirklich der Summe aller Kanten des Quaders Solange das nicht eindeutig geklärt ist, rechnet eben jeder das aus, was er für richtig hält ... Am besten rechnest du alle drei Varianten zur Übung durch, eine Variante habe ich oben schon angefangen. |
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| 16.05.2005, 09:43 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke schön, ja dann werde ich das mal machen, ich weiß ja selber nicht was mein Lehrer mit Summer aller Kanten meint, mehr als die Aufgabe habe ich auch nicht, ich habe auch keine Lösungen, das man die Werte vergleichen könnte. MfG Noiram edit: ein kleine Frage am Rande, ich setze für a=4a ein und für b=6b, wegen dem Verhältnis oder? |
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| 16.05.2005, 09:53 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| antwort ähm wo willst du jetzt für b und a die sachen einsetzen??? bei 6*b handelt es sich um die Höhe der Baggerschaufel nicht um die Breite, also nicht in die Formel für den Umfang einsetzen!!! |
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| 16.05.2005, 10:11 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe für Länge, Breite und Tiefe, a,b und c genommen. Da ich ja die Formeln: 1. 24=a+b+c 2. 24=2(b*c) 3. 24=4(a+b+c) Ich wollte das in die Formeln einsetzen, denn ich muß doch das Verhältnis berücksichtigen oder nicht? Dann nach einer Unbekannte umstellen, oder bin ich auf dem falschen Dampfer?
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| 16.05.2005, 11:23 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schau die Gleichung 2 nochmal an, das *-Zeichen ist wohl nur ein Schreibfehler ? Das Verhältnis Tiefe zu Breite ist 6 zu 4, also Tiefe=1,5*Breite Und du musst vor dem Einsetzen in die Formel für das Volumen die Bedingungen nach einer einzigen Unbekannten umstellen. EDIT: umgeschrieben, ohne Variablen jetzt |
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| 16.05.2005, 12:02 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@etzwane Das * war nur ein Schreibfehler, da kommt sonst + hin. Ok, wenn ich das Verhältnis eingeziehe lautet die Formel 24=a+1,5b+c könnte ich nicht sagen 24=a+4b+6c sagen? Daraus folgt das 24=a+1,5b+c => 24-1,5b-c=a stimmt's? Dann kann ich a in die Formel für das Volumen einsetzen, dann erhalte ich: V=a*b*c V= (24-1,5b-c)*b*c Daraus folgt: V=24b-,5b^2-bc+24c-1,5bc-c^2 stimmt das so, ich muß das doch in die Hauptbedingung einsetzen und dann auflösen, dann muß ich jetzt noch die erste und zweite Ableitung bilden und die erste Ableitung gleich Null setzen oder? |
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| 16.05.2005, 12:35 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| antwort deine hauptbedingung ist ja dioe Volumenformel. du hast da jetzta ber noch 2 Variablen, benötigst aber NUR eine um das ableiten zu können. @etzwane: was willst du eigentlich als nächsten schritt machen? kannst du meine argumentation nachvollziehen (s. weiter oben)??? |
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| 16.05.2005, 12:38 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Noiram ich würde dir ja gerne helfen, aber ich blicke z.Z. nicht durch, was mit a, b und c gemeint ist. Und wenn du schreibst: "könnte ich nicht sagen 24=a+4b+6c sagen?", wie behältst du dann den Überblick, was Breite und Tiefe usw. ist? Ist c die Tiefe, oder ist 6c die Tiefe? Fange neu an und definiere für die weitere Rechnung, was in deiner Rechnung mit a, b und c gemeint ist, und halte das konsequent in der Rechnung durch: Länge = Breite = Tiefe = Dann kannst du damit die Gleichung für die Zielfunktion (=Volumen) bilden, die beiden Nebenbedingungen formulieren und so umformen, dass in der Gleichung für die Zielfunktion nur noch eine der gesuchten Variablen vorhanden ist. |
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| 16.05.2005, 12:58 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ etzwane Ich hatte festgelegt, das Länge =a ist, Breite =b und c=Tiefe ist! Dann hast du ja gesagt: 1,5*b= Tiefe(c) 24=a+b+1,5b 24=a+2,5b 24-2,5b=a V=a*b*c V=(24-2,5b)*b*(1,5b) V=(24b-2,5b^2)*1,5b V=36b^2-3,75b^3 V=-3,75b^3+36b^2 V'=-11,25b^2+72b V''=-22,5b+72 V'=0 0=-11,25b^2+72b 0=b(-11,25b+72) b1=0 0=-11,25b+72 -72 -72=-11,25b /(-11,25) 6,4=b b=6,4 24-2,5(6,4)=a 24-16=a 8=a c= 1,5*(6,4)=9,4 V''=0 0=-22,5(6,4)+72 0=-144+72=-72 lok. Maximum könntest du mal bitte gucken, ob ich jetzt richtig gerechnet habe, ich hoffe das ich endlich auf dem richtigen Weg bin! Ich danke dir schon mal für deine Hilfe die ich bisher von dir bekommen habe und hoffe das du mir jetzt auch noch weiterhelfen kannst! MfG Noiram |
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| 16.05.2005, 13:06 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: antwort
das gleiche wie du, die Zielfunktion erstellen mit nur einer Unbekannten und dafür den Extremwert suchen
ja, wir sollten uns nur auf eine einheitliche Bezeichnung der Variablen einigen >>> ist jetzt erledigt @Noiram: deine Rechnung stimmt (für a+b+c=24) 
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| 16.05.2005, 13:08 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| antwort was hast du beim 2.Block (V-Block!!) beim übergang vom 4. auf das 5. V gemacht?? das scheint mir irgendwie nicht nachvollziehbar edit: hat sich erledigt, hab das kapiert einfach umgedreht!! |
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| 16.05.2005, 13:13 | Noiram | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@etzwane Ich danke dir für deine Hilfe ich bin froh das ich dieses Aufgabe endlich gelöst habe!
, sie hat mich echt viel Nerven gekostet! |
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