Anwendungen von Bionomischen Formeln

03.03.2004, 20:30

ArneGirl2210

Anwendungen von Bionomischen Formeln

Hallo Leute,

ich habe mir an den folgenden Aufgaben schön die Zähne (teilweise) ausgebissen Augenzwinkern

:

1a)Begründe: Das Quadrat einer natürlichen Zahl mit der Einerziffer 5 hat die Zehnerziffer 2 und die Einerziffer 5.
b) Wie erhält man in einfacher Weise die anderen restlichen Ziffern?

2) Zeige,dass jeder natürliche Zahl n größer als eins
a) den Term n^4-2n^3+n^2 stets eine 4 teilbare Zahl ergibt
b) der Term n^3-n stets eine durch 6 teilbare zahl ergibt?

verwirrt

------------------------------------------

!a) ich würde sagen: da 5hoch 2 25 ergibt, sind die Zehner und die Einerziffer so bestimmbar
b) no idea! traurig

2a) n^2(n^2-2n+1)
b) ???

Könnt ihr mir weiterhelfen? Hilfe

ArneGirl

03.03.2004, 21:25

Anirahtak

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Hallo!

Die zweite Aufgabe ruft förmlich nach vollständiger Induktion, das heißt du zeigst erst, dass es für ein bestimmtest n gilt und schließt dann allgemein von n auf n+1...

Gruß
Anirahtak.

03.03.2004, 21:36

Silencer

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also die 2) ohne a oder b ist ja mit diesen indischen Regeln zu begründen...

Da ich nicht weiss, wie die korrekt heissen erzähl' ich einfach mal, was ein Mathelehrer als ihren Inhalt erzählt hat:
Auf die 0 folgt die 1.
Auf die 1 folgt die 2.
Auf die 2 folgt die 3.
ausserdem, das jede Zahl kleiner ist, als die, die auf sie folgen, und umgekehrt, das jede Zahl grösser als die vorhergegangenen ist.

die Menge N ist ja [1;+oo[, und wenn man die indischen Regeln nu darauf anwendet, muss das ja Stimmen, da wir bei der 1 anfangen:

Auf die 1 folgt die 2, das heisst, das die Zahl, die sofort auf die 1 folgt grösser als diese ist, und alle folgenden Zahlen grösser als die Zahl 2 sind, sind sie auch grösser als 1..

Das müsste man doch so beweisen können (wenn man die Fachbegriffe kennt Big Laugh

), oder? o0

MfG

03.03.2004, 23:06

Polarfuchs

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Hallo,

Zu 2)

Ich würde es -auch mit vollständiger Induktion- so machen:

Zeige,daß d|a1 und d|an+1-an => d|an.

Polarfuchs

04.03.2004, 09:44

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Silencer
also die 2) ohne a oder b ist ja mit diesen indischen Regeln zu begründen...

Da ich nicht weiss, wie die korrekt heissen erzähl' ich einfach mal, was ein Mathelehrer als ihren Inhalt erzählt hat:
Auf die 0 folgt die 1.
Auf die 1 folgt die 2.
Auf die 2 folgt die 3.
ausserdem, das jede Zahl kleiner ist, als die, die auf sie folgen, und umgekehrt, das jede Zahl grösser als die vorhergegangenen ist.

die Menge N ist ja [1;+oo[, und wenn man die indischen Regeln nu darauf anwendet, muss das ja Stimmen, da wir bei der 1 anfangen:

Auf die 1 folgt die 2, das heisst, das die Zahl, die sofort auf die 1 folgt grösser als diese ist, und alle folgenden Zahlen grösser als die Zahl 2 sind, sind sie auch grösser als 1..

Das müsste man doch so beweisen können (wenn man die Fachbegriffe kennt Big Laugh

), oder? o0

MfG

Ich sehe dabei keinen Zusammenhang zur Teilbarkeit.

04.03.2004, 14:53

Silencer

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RE: Anwendungen von Bionomischen Formeln

Zitat:

Original von ArneGirl2210
2) Zeige,dass jeder natürliche Zahl n größer als eins
a) den Term n^4-2n^3+n^2 stets eine 4 teilbare Zahl ergibt
b) der Term n^3-n stets eine durch 6 teilbare zahl ergibt?

Darauf bezog ich mich.

04.03.2004, 15:12

ArneGirl2210

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Hallo!
Danke für eure Hilfen,aber leider versteh ich da nix. Wisst ihr noch einen Rat zu 1b)?

Mfg
Arnegirl

04.03.2004, 16:00

HansW

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1 a+b: Zahl mit Endziffer 5 Z := a*10+5. a aus IN.
Z² = 100*a² + 100*a + 25 = 100*(a²+a) + 25.
Die "Einserziffer ist also 5, die zweier Ziffer 2, da zu 25 nur eine Zahl>100 addiert wird. Die größeren Ziffern erhalst du in dem du den Term a²+a auswertest. Diese Zahl entspricht dann der Reihe nach der Hunderterziffer, Tausender- ... Trillardenerziffer usw Augenzwinkern

04.03.2004, 16:19

ArneGirl2210

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@hansW

Hallo,

danke für deine Antwort. smile

Schade,dass du nicht registriert bist, erklärst richtig gut. :] Vielleicht hören wir noch mehr von dir?

@all

kann mir vielleicht jemand silencers antwort auf "deutsch" übersetzen?Ich versteh das ganze Fachgesimpel nicht. traurig

Oder selbst eine Antwort schreiben!Danke!

Lg
Franzi

04.03.2004, 17:22

koller74

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Hallo!

Hier mal der Ansatz für 2a (vollständige Induktion):

1. Die Aussage gilt für n=2 (Induktionsanfang):

2^4-2*2^3+2^2=4 ist durch 4 teilbar.

2. Die Behauptung gelte für n (Induktionshypothese). Jetzt bleibt zu zeigen, dass die Behauptung auch für n+1 gilt(Induktionsschluss). Also, für alle n setzten wir jetzt n+1 ein und erhalten:

$\begin{align*} (n+1)^4-2\cdot (n+1)^3+(n+1)^2 \end{align*}$

Wenn man alle Klammern (hier kommen auch die binomischen Formeln vor) ausrechnet und zusammenfasst erhält man folgendes (wenn ich mich nicht verrechnet habe):

$\begin{align*} n^4+2\cdot n^3+n^2 \end{align*}$

Jetzt erweitert man mit +2n^3-2n^3 und erhält:

$\begin{align*} n^4+2\cdot n^3+n^2+2\cdot n^3- 2\cdot n^3 \end{align*}$

und fasst zusammen:

$\begin{align*} n^4-2\cdot n^3+n^2+4\cdot n^3 \end{align*}$

$\begin{align*} n^4-2\cdot n^3+n^2 \end{align*}$ ist durch 4 teilbar (haben wir vorrausgesetzt) 4n^3 ebenfalls (wg. Faktor 4) und damit auch die Summe aus beidem. Was zu beweisen war.

Viel Spass bei der anderen Aufgabe.

Wenns noch Fragen gibt, bitte melden.

Grüsse, Koller.

04.03.2004, 17:53

Steve_FL

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@Arnegirl:
Silencer hat einfach nicht genau gelesen...
Er wollte beweisen, dass jede natürliche Zahl grösser als n ist...

@Silencer:

Zitat:

2) Zeige,dass jeder natürliche Zahl n größer als eins

Das ist leider nur ein halber Satz...

oder ist das für dich ein Satz?
im zweiten Teil fehlt ja das Prädikat unglücklich

die Aufgabe heisst so (anders formuliert):

2 a) Zeige, dass für jede natürliche Zahl, die grösser als 1 ist, der Term $\begin{align*} n^4-2n^3+n^2 \end{align*}$ stets eine durch 4 teilbare Zahl ergibt.
2 b) Zeige, dass für jede natürliche Zahl, die grösser als 1 ist, der Term $\begin{align*} n^3-n \end{align*}$ stets eine durch 6 teilbare Zahl ergibt.

und jetzt nützt deine obige Aussage nichts mehr Augenzwinkern

Sie ist zwar nicht falsch, aber nicht gefragt Augenzwinkern

nochmal @Arnegirl:
hast du jetzt alles begriffen? Oder brauchst du noch bei einer Aufgabe Hilfe?

mfg

04.03.2004, 17:54

ArneGirl2210

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@ Koller,
vielen vielen herzlichen Dank für deine Antwort.Super Erklärung! :]
Die 2b geht dann wohl auch nach dem Muster,auch mit n+1?
Das wären noch meine offenen Fragen.
Nochmal dankeschön Mit Zunge

@Steve FL

Danke für deine Hinweise. Ist echt cool wie ihr hier behilflich seid.Super! Gott

Vielleicht könntest du mir Hans' Aufgabenlösung (Nr.1b) mal erläutern? Natürlich nur wenn es dir nicht zu blöd ist. Augenzwinkern

ArneGirl

04.03.2004, 18:40

Steve_FL

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na dann versuchen wir das mal:

Zitat:

1a)Begründe: Das Quadrat einer natürlichen Zahl mit der Einerziffer 5 hat die Zehnerziffer 2 und die Einerziffer 5.
b) Wie erhält man in einfacher Weise die anderen restlichen Ziffern?

Zitat:

Ich schreib das nochmal etwas übersichtlicher:

Die Zahl ist eine Zahl die auf 5 endet, also z = a*10 + 5 für a € IN

$\begin{align*} 10\cdot a + 5 = z \end{align*}$
$\begin{align*} z^2 = (10\cdot a + 5)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} z^2 = ((10\cdot a)^2 + 2\cdot 10\cdot a\cdot 5 + 5^2 \end{align*}$
$\begin{align*} z^2 = 100\cdot a^2 + 100\cdot a + 25 \end{align*}$
$\begin{align*} z^2 = 100 \cdot (a^2 + a) + 25 \end{align*}$

Wenn du jetzt die letzte Zeile anschaust sieht du, dass die restlichen Zahlen aus a^2 + a bestehen Augenzwinkern

die Multiplikation mit 100 hängt ja nur 2 Nullen an, die danach durch die 25 ersetzt werden...

Ist das nachvollziehbar?

Beispiel:

$\begin{align*} 15^2 = (10 + 5)^2 \end{align*}$
a = 1 (ich nimm jetzt einfach die Variablen von oben)
$\begin{align*} 15^2 = 100\cdot(a^2 + a) + 25 = 100\cdot(1^2 + 1) + 25 \end{align*}$
$\begin{align*} 100\cdot2 + 25 = 225 \end{align*}$

=> die andere Ziffer ist 2...

$\begin{align*} a^2 + a = 1^2 + 1 = 2 \end{align*}$

mfg

04.03.2004, 20:28

ArneGirl2210

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Vielen herzlichen riesengroßen Dank an dich, Steve! Mit Zunge

Habe jetzt dank dir alles Verstanden! Dankeschön! :]
Franzi
Tanzen

04.03.2004, 23:13

Steve_FL

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kein Thema Augenzwinkern

Dazu sind wir ja da...

mfg

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