kugel und parallele geraden

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gast18 Auf diesen Beitrag antworten »
kugel und parallele geraden
gegeben sind die kugel k und eine schar zueinander paralleler Geraden gp
K: (x- (1;0;3))^2=4 gp:x= (p;p;0)+ r*(1;1;-2)

Für welche Werte von p sind die geraden gp Tangenten an die Kugel K?

Also ich hab schonmal ausgerechnet, dass die Ebene, die von den Geraden aufgespannt wird, so aussieht: E:x= (2;-2;0)*x=0

So,dann habe ich ausgerechnet wie weit die ebene vom kugelmittelpunkt entfernt ist...und das ergab 0,707 LE.Da der Kugelradius 2 LE beträgt, muss es zwei tangenten an die Kugel K geben. Aber wie berechne ich diese?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kugel und parallele geraden
setze doch einfach deine geradenschar für vektro x in die Kugelgleichung ein und löse dass dann auf. meiner meinung nachg müsstest du dann eine quadratische gleichung lösen, die mittels p-Q-Formel dann zwei lösungen für p ausgibt.


also sicherlich irgendwie p=-... und p=+...


also viel spass. wir helfen dir weiter, falls du ncihtw eiterkommen solltest!!



mfg dennis
gast18 Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich habe doch zwei unbekannte.also wenn ich das einsetze und nach p auflöse, habe ich im ergebnis noch das r. wie mache ich das?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt doch, dass der Radius der Kugel 2 beträgt. Bestimme doch einfach alle p für die gilt .
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
@sqrt(2): ich glaube nciht, dass dieser weg begehbar ist, denn dann würdest du ja nur eine lösung für p erhalten, aber es müssten ja zwei sein, da die kugel zwei tangenten besitzen soll.

ich denk noch mal drüber nach und danns chreib ich hier ne lösung rein!!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
da hat denke ich brunsi recht, also sozusagen das standardverfahren, schneide die gerade mit der kugel, und beachte, dass die gerade tangente (sozusagen die berührbedingung kugel - gerade)=>

da tangente, ist die diskriminante D (das zeugs unter der wurzel) = 0, damit erhält man sofort

und mit D = 0 erhält man nun eine quadratische gl. für p

und die bescheuerten werte

mit den beiden berührpunkten
B1(1,5801/1,5801/4,0801) und B2(-0,5801/-0,5801/1,9198)
was man leicht verifiziert, vorausgesetzt, man verrechnet sich nicht SO oft wie ich
werner
 
 
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, auch nach meinem Verfahren gibt es zwei Lösungen.












... was sich auch nicht so ganz mit deinen Lösungen deckt, wernerrin, aber wenigstens schöner ist Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

und hast du deine lösungen überprüft, wie lauten die berührpunkte, denn die meinen stimmen, aber vielleicht gibt es ja unendlich viele,
meistens führen ja viele wege nach rom, aber man soll nach rom kommen
werner
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn deine Lösung stimmt, kann meine nicht korrekt sein, weil wir ein- und dieselbe Sache mit p bezeichnen, aber unterschiedliche Werte dafür haben. Mir ging es nur darum, zu zeigen, dass dieser Lösungsweg auch möglich ist und wie es so zu zwei Lösungen kommt.

Wenn einer den Fehler in meiner Rechnung findet (wo ich eben nicht glaube, dass der Ansatz der Fehler ist), wäre ich für einen Hinweis dankbar, ich finde ihn nämlich nicht.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Wenn deine Lösung stimmt, kann meine nicht korrekt sein, weil wir ein- und dieselbe Sache mit p bezeichnen, aber unterschiedliche Werte dafür haben. Mir ging es nur darum, zu zeigen, dass dieser Lösungsweg auch möglich ist und wie es so zu zwei Lösungen kommt.

Wenn einer den Fehler in meiner Rechnung findet (wo ich eben nicht glaube, dass der Ansatz der Fehler ist), wäre ich für einen Hinweis dankbar, ich finde ihn nämlich nicht.


hallo wurzel,
ich wollte nur sagen, dass mir der weg, den brunsi vorgeschlagen hat, der einfachere scheint,- vielleicht nur, weil ich ihn auch angewendet habe-, deine methode möchte ich damit in keiner weise "diskriminieren".

wenn meine lösung stimmt, muß das noch nicht heißen, dass deine falsch ist, man müßte noch prüfen, ob dein punkt auf meiner geraden liegt bzw. umgekehrt (was natürlich bei diesen zahlen fragwürdig ist)
doch das ist mir allemal zuviel der mühe
werner
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
ich hätte da sonst noch eine idee für deine aufgabe:

du hast ja ausgerechnet, dass es zwei tangenten an die Kugel k geben soll und diese beiden zu einander parallel sein sollen.

dann stell doch einfach eine zu gp orthogonale Ebene s durch den Punkt m auf (Info: in Koordinatenform!!)

schneide die ebene s mit der Kugel k , dann erhälst du dafür zwei schnittpunkte

nun schneidest du die ebene s mit der geradenschar gp und erhälst wieder nen schnittpunkt. stimmt der mit einem der schnittpunkte von Kugel k und Ebene s überein, so ist dies dann eine der gesuchten tangenten an die Kugel k.

Analog verfährst du mit der 2.tangente an die kugel k (Info: beachte, dass die beiden tangenten an die kugel k den gleichen richtungsvektor besitzen. ihren orstvektor hast du schon bestimmt, indem du die Schnittpunkte von Kugel k und Ebene s ausgerechnet hast!!


edit: @sqrt(2) könntest du mir mal sagen,w as du im einzelnen dort gemacht hast, da steht zu wenig text und daher ist es nicht unbedingt für jeden nachvollziehbar!!
bekommst dud as hin???
gast18 Auf diesen Beitrag antworten »

die Werte von Werner sind auf jeden Fall richtig. Kannst du mir vielleicht noch ein bisschen ausführlicher erklären wie du das gemacht hast?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
wenn meine lösung stimmt, muß das noch nicht heißen, dass deine falsch ist, man müßte noch prüfen, ob dein punkt auf meiner geraden liegt bzw. umgekehrt (was natürlich bei diesen zahlen fragwürdig ist)

Ich habe ja gar keinen Punkt heraus, sondern den Parameter der Geradenschar p. Wenn man die Berührpunkte für meine p ausprobiert (in meiner Rechnung ist das der Punkt F), so erhält man auch Ergebnisse, die näher als 2 LE am Kugelmittelpunkt liegen, meine Lösung muss daher falsch sein.

Zitat:
Original von brunsi
könntest du mir mal sagen,w as du im einzelnen dort gemacht hast, da steht zu wenig text und daher ist es nicht unbedingt für jeden nachvollziehbar!!

Ich konstruiere die kürzeste Strecke zwischen dem Kugelmittelpunkt und einer Geraden . F ist dabei der Fußpunkt dieser Strecke auf , M der Kugelmittelpunkt und damit der andere Endpunkt der Strecke. Der Betrag von ist also der Abstand zwischen und M.

Für F gilt eben, dass er auf der Geraden liegt, daher . Außerdem muss orthogonal zum Richtungsvektor von stehen, also . Da kann man so beide Punkte in die zweite Gleichung einsetzen und nach (in Abhängigkeit von p) umformen, damit hat man dann auch in Abhängigkeit von p bestimmt. Nun wendet man an und formt nach p um, fertig.
gast18 Auf diesen Beitrag antworten »

zu wernerrins rechnung:
was ist s1 und s2? und wie kommt man darauf?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
werner meinte nicht s1 und s2 sondern r1 und r2, das sind die Parameter deiner Tangenten.

Und dann ist die Geradengleichung ja vollständig angegeben. Diese vollständige Geradengleichung setzt du dann ncoh einmal in die Kugelgleichung ein und erhälst dann die Berührpunkte der Tangenten und der Kugel!!
gast18 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ich endlich alles verstanden Freude

Vielen lieben Dank an alle, die mir geholfen habenMit Zunge
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