Zahl Irrational?

15.05.2005, 19:24

Medusa

Zahl Irrational?

Hi,
ich habe auch gerad den Beweis gesucht, dass Wurzel 10 irr. ist. Wir hatten nämlich immer die Begründung, dass wenn man die Wrzel quadriert und die Zahl, die rauskommt eine Primzahl ist, dann einen Widerspruch bildet.
Man kann also nicht immer davon ausgehen (wegen dem Bsp. Wurzel 10) Allerdings habe ich nicht verstanden, wie ich den Beweis nun so verallgemeinere, dass man immer zeigen kann, ob diese Zahl unter der Wurzel irr. ist oder nicht. Geht das denn überhaupt?
Gruß, C.

15.05.2005, 19:33

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

einmal reicht wohl, oder?

http://www.matheboard.de/thread.php?sid=...9639#post159639

15.05.2005, 20:12

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Der Thread bleibt hier geöffnet. In dem anderen werde ich etwas anmerken ...

15.05.2005, 22:24

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahl Irrational?

Zitat:

Original von Medusa
ich habe auch gerad den Beweis gesucht, dass Wurzel 10 irr. ist. Wir hatten nämlich immer die Begründung, dass wenn man die Wrzel quadriert und die Zahl, die rauskommt eine Primzahl ist, dann einen Widerspruch bildet.

Bitte, was?

Zitat:

Man kann also nicht immer davon ausgehen (wegen dem Bsp. Wurzel 10) Allerdings habe ich nicht verstanden, wie ich den Beweis nun so verallgemeinere, dass man immer zeigen kann, ob diese Zahl unter der Wurzel irr. ist oder nicht. Geht das denn überhaupt?

Nun, in dem anderen Thread, in dem du gepostet hast, steht schon einen Beweis dafür, dass für $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt: ENTWEDER $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{n}\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{n}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Da du einen Widerspruchsbeweis möchtest, lasse mich diesen Beweis umformulieren:

Es sei ein vollständig gekürzter bruch $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q},\ p,q \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ haben keine gemeinsamen Primfaktoren. Für diesen Bruch gelte: $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} = \sqrt[m]{n}\quad(1) \end{eqnarray*}$ . Nun ist ENTWEDER $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ , ODER $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Im Weiteren gelte nun die Annahme, dass $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Aus (1) folgt $\begin{eqnarray*} \frac{p^m}{q^m} = n \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ keine anderen Primfaktoren enthält als $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ (alle Primfaktoren kommen nun lediglich $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -mal vor) und analog das gleiche für $\begin{eqnarray*} q^m \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} \frac{p^m}{q^m} \end{eqnarray*}$ auch vollständig gekürzt. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} q^m=1\ \Rightarrow\ q=1 \end{eqnarray*}$ . Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass $\begin{eqnarray*} q \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt: ENTWEDER gilt $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{n}\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ hast du genau den Fall für $\begin{eqnarray*} \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ .

17.05.2005, 19:22

Medusa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahl Irrational?
Ah ja.....
Ich habe noch herausgefunden, dass man das auch über die Endnullen bweisen kann. Stelle mir das ungefähr so vor:
Bei 10*q^2 =p^2
wäre 10q^2 hat 2*q*n+1 Endnullen, wobei p^2 dann 2*q*n Endnullen hat. Das ine wäre ungerade, das andere gerade.
Aber warum war mir nicht so klar.

Sorry übrigens, dass der Beitrag doch 2x drin war, bi mir kam die Meldung, dass das nicht geklappt hatte mit dem 1., deswegen 2 mal.

Sorry übrigens, dass der Beitrag doch 2x drin war, bi mir kam die Meldung, dass das nicht geklappt hatte mit dem 1., deswegen 2 mal.

17.05.2005, 19:36

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn ich nicht nachvollziehen kann, was genau du meinst (was in aller Welt ist bei dir n?), lässt sich ein Beweis über die Endnullen sicherlich nicht auf andere Zahlen außer $\begin{eqnarray*} \sqrt{10^n},~n=1,3,5,... \end{eqnarray*}$ übertragen.

03.01.2009, 23:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

ich kämpfe auch gerade mit diesen Beweisen...

Ihr schreibt immer folgende Vorbedingungen:
a) $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ muss vollständig gekürzt sein und b) q darf nicht 1 sein....

Vielleicht stehe ich auf der Leitung, aber wie kann ich dann die ganzen nicht-Primzahlen aufschreiben?? zB 6? Entweder $\begin{eqnarray*} \frac{12}{2} \end{eqnarray*}$ (darf ich wegen Vorbedingung a nicht machen) oder $\begin{eqnarray*} \frac{6}{1} \end{eqnarray*}$ (darf ich wegen Vorbedingung b nicht machen)!

Danke schon im voraus

Neue Frage »

Antworten »

Zahl Irrational?

Verwandte Themen