Lineare Abbildung, Dimensionsformel

04.01.2008, 19:35

hasesh

Lineare Abbildung, Dimensionsformel

Moin!

1. Beispiel:

f $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+y \\ -x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Frage

zum Kern

heißt das, dass im Beispiel gleichzeitig x+y=0 und -x+y=0 sein muss, damit das zugehörige (x;y) Teil des Kerns ist?

Und muss der Kern nicht die abzubildenden Elemente auf den Nullvektor abbilden?

zum Bild

heißt das, dass zu jedem (x,y) ein Bild (u,v) gehört falls zu es (x,y) ein f (x,y) gibt?

würde das heißen, dass der Kern ebenfalls zur Menge der Elemente gehört, die zum Bild gehören. Ist also der Kern eine Teilmenge des Bildes?

Frage

Wenn der Kern nicht unbedingt der Nullvektor ist, was ist er denn dann?
Kann mir jemand ein Beispiel geben?

Wie berechnet man die Dimension des Kerns und des Bildes?
Ja, die Formel lautet...

dim V = dim(Bild(f)) + dim(Kern(f))

aber wie jetzt weiter??

04.01.2008, 19:43

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

"Frage zum Kern"

ja das ist richtig Freude

"Frage zum Bild"

Der Kern ist ein Untervektorraum des Urbildes, ist also im allgemeinen nicht aus der selben Menge wie das Bild und demnach auch keine Teilmenge des Bildes.

in diesem fall berechnest du die dimension des kerns indem du das LGS
$\begin{eqnarray*} x+y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x+y=0 \end{eqnarray*}$
löst.

und ein beispiel für einen "größeren kern": stell dir mal vor die zweite zeile der matrix wäre auch "x+y". dann würde (1,-1) eine basis des kerns bilden, welcher also die dimension 1 hätte.

04.01.2008, 19:45

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

antwort:

zum kern:
richtig!
du sagst ja schon was mit dem vektor $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ passieren muss:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$

zum bild:
die bildmenge einer abbildung ist einfach die menge aller bilder. nun was sind die bilder? die bilder sind die funktionswerte!
das heisst:
für eine abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} Bild\, f=\{v\in W\quad|\quad v=f(x)\text{ mit }x\in V\} \end{eqnarray*}$

zum rest:
der kern kann so ziemlich alles mögliche sein, betrachte
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto(0,0) \end{eqnarray*}$
das heisst im klartext, dass jedes element aus dem definitionsbereich in den kern geht (und damit $\begin{eqnarray*} Ker\, f=Bild\, f \end{eqnarray*}$ )

da war ich aber nur eine millisekunde langsamer smile

04.01.2008, 20:09

hasesh

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Danke euch!!

1. Aussage --- Der Kern ist ein Untervektorraum des Urbildes, ist also im allgemeinen nicht aus der selben Menge wie das Bild und demnach auch keine Teilmenge des Bildes.

Kann mir jemand dazu ein einfaches Beispiel geben?

Verwirren tut mich, dass die Dimension des Urbildes aus der Dimension des Kerns plus der Dimension des Bildes zusammensetzt???

Habe ich z.B. f(x) =m*x dann ist doch der Raum des Urbildes R derselbe wie der Raum des Bildes R; also keine unterschiedlichen Mengen oder?

2. Aussage --- der kern kann so ziemlich alles mögliche sein, betrachte

*** warum kopiert er nicht die formeln mit??? lästig! ***

f: R^2 -> R^2 definiert durch

(x,y) -> (0,0)

das heisst im klartext, dass jedes element aus dem definitionsbereich in den kern geht (und damit )

Ker f = Bild f

Jetzt steh ich völlig im Wald! Was heisst das denn?

Ist das jetzt ein Beispiel, in dem (x,y) immer auf (0,0) abgebildet wird?
Oder gilt das allgemein für jede Abbildung des R^2 nach R^2, oder...???

Ok, ich brauche erstmal ein, zwei einfache, konkrete Beispiele, für Kerne und Bilder!

Bisher kenne ich nur lineare Abbildungen, in denen nur der Nullvektor den Kern bildet...

05.01.2008, 00:08

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube du hast da grundlegend was nicht verstanden:

nehmen wir mal 2 vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , wobei dir annehmen dass beide endlichdimensional sind.

nun nehmen wir uns eine lineare abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ , das heisst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf dem ganzen vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ definiert und der funktionswert, also $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ liegt im vektorraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , das heisst $\begin{eqnarray*} f(v)\in W \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ heisst das bild von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . für die menge aller bilder schreibt man dann $\begin{eqnarray*} Bild\,f \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} Bild\,f=\{w\in W\quad|\quad \exists v\in V\text{ so, dass }w=f(v)\} \end{eqnarray*}$
manchmal schreibt man übrigens auch einfach $\begin{eqnarray*} f(V) \end{eqnarray*}$ und meint damit die menge aller bilder von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (sozusagen das bild von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ )

ihr habt sicherlich in der vorlesung gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} Bild\,f\subset W \end{eqnarray*}$ ein untervektorraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist.

nun definiert man noch den kern:
$\begin{eqnarray*} Ker\, f=\{v\in V\quad|\quad f(v)=0\} \end{eqnarray*}$
das heisst in prosa: der kern ist die menge aller vektoren des definitionsbereiches, die unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gehen.

nun zu deinen beispielen:
(1)
du hast
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} x\mapsto mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
das heisst also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nimmt sich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und schickt es auf das element $\begin{eqnarray*} mx \end{eqnarray*}$ (das meint genau die schreibweise " $\begin{eqnarray*} f(x)=mx \end{eqnarray*}$ ")
was ist nun der kern? das heisst welche vektoren (hier sinds sogar nur skalare) gehen nach $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} f(x)=mx=0 \end{eqnarray*}$ dabei sieht man, falls $\begin{eqnarray*} m\neq0 \end{eqnarray*}$ , dass
$\begin{eqnarray*} Ker\,f=\{0\} \end{eqnarray*}$ , denn nur die null aus dem definitionsbereich wird auf die 0 abgebildet.
was passiert wenn $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ ?
dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die nullabbildung und es gilt $\begin{eqnarray*} Ker\,f=\mathbb R \end{eqnarray*}$ (wobei hier natürlich nur der definitionsbereich im kern liegen kann...)

(2)
machen wir mal ein beispiel
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto x-2y \end{eqnarray*}$
(mach dir klar was die schreibweise bedeutet smile

)
nun was ist der kern? man muss also
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ untersuchen, also für welche vektoren $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist der funktionswert, also das bild $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} x-2y=0\Leftrightarrow x=2y \end{eqnarray*}$ , das heisst
$\begin{eqnarray*} (x,y)\in Ker\,f\Leftrightarrow x=2y \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben:
$\begin{eqnarray*} Ker\,f=\{(x,y)\in\mathbb R^2\quad|\quad x=2y\} \end{eqnarray*}$ oder nochmal anders geschrieben
$\begin{eqnarray*} Ker\,f=\{(2t,t)\in\mathbb R^2\quad|\quad t\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$
das heisst im klartext dass der kern die dimension 1 hat.
nun der witz der dimensionsformel:
welche dimension hat dann $\begin{eqnarray*} Bild\,f \end{eqnarray*}$ ?
lass uns nachrechnen:
$\begin{eqnarray*} \dim_{\mathbb R}\mathbb R^2=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \dim_{\mathbb R}Ker\,f=1 \end{eqnarray*}$
also muss nach der dim-forme notwendig $\begin{eqnarray*} \dim_{\mathbb R}Bild\,f=1 \end{eqnarray*}$ sein...

hoffe konnte bischen was erklären smile

edit:
fehler korrigiert, siehe folgendes post von tmo

05.01.2008, 01:02

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent

$\begin{eqnarray*} Ker\,f=\{(x,y)\in\mathbb R^2\quad|\quad x=2y\} \end{eqnarray*}$ oder nochmal anders geschrieben
$\begin{eqnarray*} Ker\,f=\{(t,2t)\in\mathbb R^2\quad|\quad t\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$

du meinst

$\begin{eqnarray*} Ker\,f=\{(2t,t)\in\mathbb R^2\quad|\quad t\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

sonst respekt für diesen langen post Freude

05.01.2008, 17:06

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, meine ich smile

werds editieren....

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abbildung, Dimensionsformel

Verwandte Themen