Quadratzahl und der Rest beim Dividieren... |
06.03.2004, 19:28 | Compy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Quadratzahl und der Rest beim Dividieren... Also ich wusste nicht, wohin mit diesem Post...und auch nicht, ob er schon einmal auftauchte..aber trotzdem: Folgende Aussage ist zu veri- / falsifizieren: - Man nehme eine ungerade Quadratzahl (9, 25, 49, 81 ...). - Man teile sie durch 8 Dabei ergibt sich immer der Rest 1. --- Nun ist die frage, "warum"... Ich hab mir auch schon den Kopf drüber zerbrochen, scheitere aber immer an Problemen wie - Wie stelle ich einen Rest dar Wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte (*letzte Hoffnung*) Danke für Antworten, MfG Compy |
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06.03.2004, 20:03 | marc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Compy, teilt man eine ganze Zahl n durch q, so kann man schreiben: n = k*q + r wobei r<q. r nennt man dann den Rest. Eine ungerade Zahl n kann man übrigens schreiben als n = 2m+1. Damit dürfte es dir eigentlich möglich sein, die Behauptung zu zeigen/zu wiederlegen (ich habe es noch nicht probiert). HTH, Marc |
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06.03.2004, 20:06 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo! Das ist eine schöne Aufgabe :-) Beh.: n aus IN, ungerade => n²=a*8 + 1 (wobei a aus IN ist) Bew.: n²=a*8 + 1 äquivalent zu n²-1=2*2*2*a äquivalent zu (n+1)*(n-1)=2*2*2*a Weil n ungerade ist, sind (n+1) und (n-1) gerade, also durch zwei teilbar! (n+1) und (n-1) sind zwei aufeinanderfolgende gerade natürlich Zahlen => eine von beiden ist durch 4 teilbar! Wenn jetzt ein von beiden durch 4 und die andere durch 2 teilbar ist, dann ist das Produkt durch 2*4=8 teilbar. Fertig. Gruß Anirahtak. EDIT: @marc: muss es nicht heißen r<q und nicht r<k??? |
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06.03.2004, 20:18 | marc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo, 2Anirahtak: Ja, natürlich, es müßte r<q heißen. Danke, ich hab's verbessert. Da die Aufgabe ja nun gelöst ist, hier noch eine Lösung: (2m+1)² = k*8+r <=> 4m²+4m+1 = k*8+r <=> 4(m²+m)+1 = k*8+r <=> 4*(m+1)*m+1 = k*8+r Nun ist (m+1)*m das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen, wesegen diese durch 2 teilbar ist, es gibt also eine Zahl s, so dass 2s = (m+1)*m <=> 4*2*s+1 = k*8+r <=> 8*s+1 = k*8+r => k=s und r=1 (wegen r<8 ). Aber die beiden Beweise sind natürlich trotzdem sehr ähnlich. Alles Gute, Marc |
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07.03.2004, 08:51 | Compy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also, vielen Dank erst einmal! Und nun noch zum Verständnis (ich verwende marc's letzten Post):
-> is klar... Zahl verdoppeln gibt immer ne gerade Zahl, plus 1... -> k ist der Ganzzahlige Anteil, r der Rest...
-> 1. binomische Formel
-> Ausklammern
-> Umformen -> 4*(m+1)*m = (4m + 4) * m +1 = 4m^2 + 4m +1
-> *grübel*...stimmt... gerade mal ungerade enthält wenigstens den Primfaktor 2... [quot] <=> 4*2*s+1 = k*8+r [/quot] -> klar...(m+1)*m ersetzt durch 2s [quot] <=> 8*s+1 = k*8+r [/quot] -> Umformen [quot] => k=s und r=1 (wegen r<8 ). [/quot] -> Das versteh ich nicht... Was, wenn r nicht 1 wäre? Vielen Dank nochmal, MfG Compy 1.edit: wegen fehlendem Tag... |
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07.03.2004, 14:15 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ich hätte anstatt (2m+1), (2m-1) geschrieben... sonst kannst du 1 nicht darstellen, nur wenn man 0 als natürliche Zahl betrachtet Ich hätte auch diesen Ansatz verwendet...aber bin leider zu spät mfg |
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07.03.2004, 17:25 | Compy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
könnte mir trotzdem jemand dieses
erklären? |
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07.03.2004, 17:38 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
s = k =>
nach r auflösen: r = 1 mfg |
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07.03.2004, 17:45 | marc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na, gut Wir hatten gefunden: 8s+1=8k+r <=> 8s-8k = r-1 <=> 8*(s-k) = r-1 Nun war 0<=r<8, d.h. r-1 liegt zwischen -1 und 6 (-1<=r-1<=6) Wenn du dir die letzte Gleichung oben noch einmal ansiehst, steht dort: Ein (ganzzahliges) Vielfaches von 8 muß eine der Zahlen [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] sein; das ist offenbar nur für s=k möglich, denn dann ist 8*0 = 0; r ist dann r=1. HTH, Marc |
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09.03.2004, 18:46 | Compy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
vollkommen klar...
Warum sollte r >= 0 und <8 sein?
Das will/kann ich einfach nicht verstehen...sorry Aber trotzdem Danke! MFG Compy |
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09.03.2004, 20:30 | marc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo Compy, ich hatte ja geschrieben:
Damit ist schon mal klar, dass r < 8 ist, da q=8. Und natürlich ist r>=0, das erkläre ich mal so: n = k*q+r bedeutet, dass das q k-mal in das n reinpasst, aber r übrig bleiben Beispiel: Du hast 23 Äpfel (n=23) und willst sie auf 8 Freunde (q=8 ) verteilen. Jeder Freund bekommt zwei Äpfel (k=2), es bleiben 7 Stück (r=7) übrig. Also ist 23 = 2*8 + 7 Alles klar? Marc |
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