koordinaten eines tetraeders

18.05.2005, 11:38

fresh

koordinaten eines tetraeders

hallo, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. bin schon am verzweifeln.
und zwar soll ich die eckpunkte eines tetraeders der kantenlänge 10 bestimmen. dabei soll das dreick,auf dem der tetraeder steht, in der x-y- ebene liegen und zwar so,dass sein mittelpunkt mit dem koordinatenursprung zusammenfällt und die z-achse eine symmetrieachse ist.
ich habe keinen blassen schimmer wie ich vorgehen soll. und wäre sehr glücklich,wenn ihr mir weiterhelfen könntet.

18.05.2005, 12:32

Leopold

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Ich denke, es geht um ein reguläres Tetraeder. Ich bezeichne mit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ seine Seitenlänge, mit $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ die Höhe eines Seitendreiecks und mit $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Tetraederhöhe.

Dann gelten die Beziehungen

$\begin{eqnarray*} l = \frac{\sqrt{3}}{2} \, s \ , \ \ h = \sqrt{\frac{2}{3}} \, s \end{eqnarray*}$

(Die erste Beziehung ergibt sich mit Pythagoras im halben gleichseitigen Dreieck. Die zweite Beziehung erhält man im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , der Kathete $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und der zweiten Kathete $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \, l \end{eqnarray*}$ (z.B. Dreieck $\begin{eqnarray*} ASD \end{eqnarray*}$ ). Hierbei wird verwendet, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks im Verhältnis 2:1 teilen. Im gleichseitigen Dreieck ist eine Seitenhalbierende aber zugleich Höhe.)

Wenn nun $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ die Eckpunkte des Tetraeders sind und das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene liegt, so daß $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf der (positiven) $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse liegt, dann sind die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ schon einmal klar. Und für $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ gibt es jetzt unendlich viele Möglichkeiten (man kann das Dreieck ja um den Ursprung $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ drehen). Es bietet sich nun an, $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auf die positive $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse zu legen. Dann hat man die Situation der Zeichnung. Jetzt kann man alle Koordinaten ablesen.

18.05.2005, 22:55

riwe

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oder wenn mit mittelpunkt das gemeint ist, mußt halt die z- koordinate ein bißchen anpassen
werner

19.05.2005, 10:11

Leopold

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RE: koordinaten eines tetraeders

Zitat:

Original von fresh
dabei soll das dreick,auf dem der tetraeder steht, in der x-y- ebene liegen und zwar so,dass sein mittelpunkt mit dem koordinatenursprung zusammenfällt und die z-achse eine symmetrieachse ist.

Das mit der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse als Symmetrieachse ist wohl etwas unbeholfen ausgedrückt.

19.05.2005, 17:04

fresh

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vielen dank für deine schnelle hilfe. du hast mir sehr geholfen.

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