Stichprobenumfang berechnen

18.05.2005, 13:17

Jean25

Stichprobenumfang berechnen

Hallo Ihr,

ich bin gerade am Erarbeiten eines Stichprobenprojektes. Wir ziehen eine Stichprobe von Schreiben bzw. Dokumenten und wollen davon auf die Gesamtmasse schließen. Leider steh ich rein garnicht in der Wahrscheinlichkeitsrechung und ich denke, dass wir das auch nicht so ausführlich begreifen müssen. Allerdings haben wir unsere Stichproben bereits praktisch durch geführt, aber mich würde doch schon sehr interessieren, ob unsere Ergebnisse überhaupt irgendeiner Gesetzmäßigkeit entsprechen. Wir hatten auch mal eine sehr komplizierte Formel zur Berechnung des Stichprobenumfangs, allerdings funktionierte die nie. Ich denke, wir haben dazu einfach zu wenig Angaben. Aber vielleicht kann uns ja doch jemand weiterhelfen. Wir möchten den Stichprobenumfang berechnen.

Es ist bei uns festgelegt, dass die Wahrscheinlichkeit fehlerfreier Schreiben bei 95 % liegen soll.

Nun habe ich eine Stichprobenprüfung durchgeführt. Und nach dem Dreisatz einiges berechnet, allerdings weiß ich nicht, ob das so einfach möglich ist. Und ob meine Schlussfolgerungen richtig sind.
Ich würde mich sehr freuen, wenn Sie mir helfen würden. Vielen Dank!

Gesamtmenge: 120 319
Stichprobe: 1 325 (wurde ohne Vorüberlegungen gezogen)
Gef. Fehler in SP: 28
Wahrscheinlichkeit fehlerfreier Schreiben in Gesamtmasse: 95 %

Wir haben 28 Fehler in unserer Stichprobe von 1 325 gedruckten Schreiben (entspricht 1,1% von der Gesamtmenge ~ da 1325/120 319*100) gefunden. Bezogen auf 120 319 gedruckte Schreiben (Gesamtmasse) ergibt sich daraus eine Fehlermenge von ca. 2 542 (1,1% von 120 319). Das entspricht einem Fehlerquotienten von ca. 2,1%.
Folglich liegt die Wahrscheinlichkeit fehlerfreier Schreiben bei 97,9%!Damit ist das Ziel, eine Fehlerfreiheit von 95 % zu erlangen,
erreicht.

Vielen Dank für eure Unterstützung.
Janine

18.05.2005, 21:07

Papam Benedictus XVI.

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RE: Stichprobenumfang berechnen!
Also mir ist noch nicht ganz klar, worauf du hinauswillst. Willst du deinen notwendigen Stichprobenumfang berechnen, denn du brauchst um auf einen 95%-Konfidenzniveau einen Standardfehler von max. x zu generieren oder willst du wissen, wie hoch mit 95% Sicherheit die Fehlerwahrscheinlichkeit deiner Grundgesamtheit ist?

1. Fall: Die Formel für den notwendigen Stichprobenumfang. Die funktioniert, wenn man die richtigen Werte einsetzt!

2. Fall: Parameterschätzung, Konfidenzintervall um den Stichprobenmittelerwert herum. Standardfehler? Verteilung?

Und ich habe noch nicht verstanden, wie du den Fehlerquotienten 2,1% errechnest und damit auf 97,9% schließt?

18.05.2005, 23:31

bil

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hi..
@papam den fehlerquotient von 2,1 hat sie folgendermassen bestimmt, die kardinalität der stichprobe war ja 1 325 mit einem fehleranteil von 28. daraus folgt das die stichprobe zu 2,1% fehlerhaft ist.

willst du jetzt die wahrscheinlichkeit wissen das die gesamtmasse zu 95% fehlerfrei ist?
oder willst du wissen ob man von diese 2,1% auf die gesamtmasse beziehen kann?

habt ihr den stichprobenumfang einfach willkürlich bestimmt oder wurde der berechnet. falls ihr es einfach willkürlich bestimmt habt kannst du nicht einfach annehmen das deine gesamtmasse ebenfalls ca. 2.1% fehler behaltet. muss aber nochmal genau nachschaun wie es funktioniert....
mfg bil

19.05.2005, 11:27

Jean25

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immernoch Stichprobenumfang
Hallo! Augenzwinkern

ich würde gerne wissen,
1. wie der Stichprobenumfang aussehen müsste.
(also nach irgendeiner Formel oder Gesetzmäßigkeit)

Wir haben dazu allerdings nur die bereits angegebenen Angaben. Für eine bestimmte Formel benötigt man meines Wissens aber viel mehr Angaben (@Benediktus, also wie du sagst, Parameterschätzung, Verteilung etc - ist bei uns alles nicht gegeben).
Also weiß ich nicht, ob es überhaupt möglich ist, den Stichprobenumfang in unserem Fall rechnerisch zu ermitteln.
Wir haben in der Praxis die Stichprobe willkürlich gezogen. Möchten nun aber herausfinden, ob die nun wenigsten angemessen war bei unseren etwa 120.000 Schreiben.

2. ob man wirklich errechnen kann, dass die Wahrscheinlichkeit fehlerfreier Schreiben in der Gesamtmasse bei mind. 95 % liegt, wenn man die Stichprobe gezogen hat und die darin enthaltenen Fehler kennt. Gibt es da einen Zusammenhang.

Unserer Rechnung und Logik trau ich da nicht wirklich... traurig

Vielen Dank für Eure Hilfe !!
Gruß; Jean

21.05.2005, 21:05

Papam Benedictus XVI.

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RE: immernoch Stichprobenumfang
Ich fasse mal das zusammen, was ich wie verstanden habe.

Du möchtest auf der Grundlage einer Stichprobe eine Aussage über deine Grundgesamtheit machen. Also sind wir im Reich der Parameterschätzungen bzw. Parametertests. Und zwar in Bezug auf den Anteilwert $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Das ist der Anteil der fehlerhaften oder fehlerfreien (reine Definitionsfrage) Schreiben in der Grundgesamtheit. Die einzig vorhandene Information ist der Grundgesamtheitsumfang N = 120.319. Ich lasse deine Stichprobe völlig außer acht.

Als Antwort auf deine beiden Fragen: JA!

1) Stichprobenumfang: Du willst wissen, wie groß deine Stichprobe sein muss. Als erstes die Formel, dann die Erläuterung:

$\begin{eqnarray*} n\geq \frac{z^2\theta (1-\theta )N}{(\Delta \theta )^2(N-1)+z^2\theta (1-\theta )} \end{eqnarray*}$

Kurzer Statistik-Exkurs: Du musst eine gewisse Unschärfe zulassen, d. h. ein Fehlerniveau muss toleriert werden. Dies ist das sog. Signifikanzniveau $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

n: Stichprobenumfang
N: Grundgesamtheitsumfang
z: z-Wert der Standardnormalverteilung. Du musst also ein Konfidenzniveau wählen (1% oder 5%) und den zugehörigen z-Wert der Standardnormalverteilung einsetzen. Für $\begin{eqnarray*} \alpha =0,05: z=1,96 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} \alpha =0,01: z=2,58 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ : Grundgesamtheitsanteilswert. Da der unbekannt ist und deine Stichprobe ja gerade nicht valide ist, benutze für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \theta (1-\theta ) \end{eqnarray*}$ die größtmögliche Abschätzung 0,25.
$\begin{eqnarray*} \Delta \theta \end{eqnarray*}$ : Der wählbare Unsicherheitsbereich. Hier musst du wissen, wie breit dein Konfidenzintervall (eine von-bis-Angabe) werden soll. Je kleiner du es wählst, desto mehr Stichprobenwerte musst du zugrunde legen.

Unter den getroffenen Einschränkungen ergibt sich deine Formel zu:

$\begin{eqnarray*} n\geq \frac{30.079,75z^2}{120.318(\Delta \theta )^2+0,25z^2} \end{eqnarray*}$

Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} \alpha =0,01: z=2,58 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta \theta =0,01 \end{eqnarray*}$ (1%):

$\begin{eqnarray*} n\geq 15.745 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt könntest du mit 99% Sicherheit sagen, dass in allen Schreiben der Fehlerquotient zwischen 1,1% und 3,1% liegt. (Bei einem Stichprobenanteilswert von 2,1%.)

2) Damit erledigt sich auch der zweite Test, denn wenn du oben auf über 5% kommst, kannst du eben nicht mit Sicherheit ausschließen, dass mindestens 95% der Schreiben fehlerfrei sind.

Kurzum, eure Logik (Dreisatz) ist einfach der völlig falsche Weg gewesen...

Wenn noch Fragen sind, könnt ihr gerne ein Kurzgutachten bei mir in Auftrag geben.

22.05.2005, 01:14

Papam Benedictus XVI.

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RE: immernoch Stichprobenumfang

Zitat:

Damit erledigt sich auch der zweite Test

Man könnte natürlich auch im ersten Fall für $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ dein Stichprobenergebnis annehmen, dann kommst du zu einem bedeutend geringerem Stichprobenumfang, der notwendig ist. Ist aber nicht unproblematisch das Ergebnis selber aufgrund einer Stichprobe herzuleiten.

Zu zweitens fällt mir noch, könnte man auch einen Hypothesentest machen, ob auf der Grundlage der Stichprobe die Nullhypothese, dass der Fehleranteil kleiner als 5% sei, verworfen werden kann oder nicht.

Wenn gewünscht, bitte repost.

17.05.2007, 04:51

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Stichprobenumfang_2
Hallo ihr Könner,
ich habe ein ähnliches Problem und kann es trotz eurer Beschreibung nicht lösen, vielleicht könnt und wollt ihr mir ja helfen!?
Also:
Es geht um eine Grundgesamtheit von 8000 Stk. (Autos von mir aus).
Ein gewisser unbekannter Anteilswert von ihnen ist geschädigt und muss repariert (zurückgerufen) werden.
Wieviel Stk. (Autos) muss ich als Stichprobenumfang untersuchen, um mit 99%iger Sicherheit auf die Schädigung der Grundgesamtheit schließen also hochrechnen zu können, wieviel Stk. insgesamt geschädigt sind?
Vielen Dank!
MfGMN

07.09.2009, 11:04

DonnaDicky

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Hallo zusammen,

habe ein ganz ähnliches Problem und komme mit der Lösung von Papam auf eine realitische Stichprobengröße. Allerdings verstehe ich nicht, wieso man den Dokumenten bzw. Schriftstücken eine Standardnormalverteilung zu Grunde legen kann? Muss ich das nicht vorher belegen und wenn ja, wie? Das war nämlich eigentlich das ursprüngliche Problem, weshalb ich nicht weiterkam...

Ich würde mich freuen, wenn hierzu noch ein Hinweis kommen könnte, auch wenn es schon eine Weile her ist!

DonnaDicky

07.09.2009, 12:40

DonnaDicky

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Muss noch etwas hinzufügen:
Eine Normalverteilung zu bestimmen, das ist mir natürlich bekannt, dafür gibt es genügend Tests. Problem ist allerdings, dass mir nur die Grundgesamtheit mit N= 5000 bekannt ist und ich einfach eine richtig/falsch Aussage bezüglich der Schriftsätze treffen möchte. Und daraus möchte ich dann anhand der zufällig ausgewählten Stichprobe sagen können, dass mit 95 % P meine Grundgesamtheit stimmt.
Und dabei ist mein Problem, dass ich mir unsicher bin, ob ich schlichtweg eine Approximation der Standardnormalverteilung vornehmen kann, oder nicht. Und wenn das möglich ist, warum? (gerne mit Literaturhinweis).

Vielen Dank, es wäre toll, wenn mir jemand einen Denkanstoß gibt!

15.01.2010, 10:41

technomanager

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Stichprobenumfang
Hallo zusammen,
ich bin gerade dabei einen Stichprobenumfang für eine Qualitätsprüfung zu ermitten. Es geht um folgendes:
Im Presswerk eines Automobilherstellers werden täglich 2000 Pressteile produziert. Der Werker hat sieben Sekunden Zeit, diese Teile einer schnellen Sichtprüfung zu unterziehen. Jedem gesunden Menschenverstand ist klar, dass 7 Sekunden nach 3 Augenzwinkern vorbei sind -sprich es ist eine umfangreichere Sichtprüfung notwendig.
Da ich aus Kostengründen aber nicht jedes Teil prüfen kann (Logistik, Lager, Kapazität...), muss dies im Rahmen einer Stichprobe erfolgen. Nun hat man sich entschieden, jedes 200. Teil zu prüfen, jedoch ist bei diesem Umfang festgestellt worden, dass immer noch sehr viele Teile mit Fehler "durchschlüpfen". Ob diese Teile unter den ersten 500 oder letzten 1000 Teilen entstanden sind weiss kein Mensch.
Aufgabe: Wie muss ich meine Stichproben gestalten, um minimalen Durchschlupf zu erreichen? Evtl. wäre hier eine dynamische Prüfung sinnvoll? Aber vielleicht gibt es auch andere Möglichkeiten?

Vielen Dank

14.09.2010, 13:45

Gast?

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RE: immernoch Stichprobenumfang
Hallo zusammen,

könnte mir jemand sagen, woher diese schicke Formel stammt?
Wer sie sich ausgedacht, bzw. entwickelt hat?

Danke!

15.08.2012, 13:39

AndyBee

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Re: Stichprobenumfang berechnung
Hallo ich habe eine Frage und hoffe, dass ihr mir etwas weiterhelfen könnt.
Ich möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% eine Repräsentative Teilstichprobe per Zufall ziehen. Die Grundgesamtheit / Population entspricht 3000 Personen und interessiere mich für ein Dichotomes Antwortitem (Ja / Nein). Die Verteilung höchst wahrscheinlich nicht normalverteilt.
Ist die oben genannte Formel auch für Dichotome Items anwendbar?
Es wäre toll wenn auch noch kurz gesagt werden kann von wem von wem die Formel stammt oder wer sie wo publiziert hat!
Besten Dank, Andy

15.08.2012, 14:14

Math1986

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RE: Stichprobenumfang berechnung
Stichprobenumfangberechnung bei keiner Normalverteilung:
Bitte bleib bei einem Thema

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Stichprobenumfang berechnen

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