stammfuntion zur mantelfläche von rotationskörpern

18.05.2005, 16:07

darky

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stammfuntion zur mantelfläche von rotationskörpern

ich brauch für ein referat noch eine aufgabe aus dem e und ln bereich
doch ich bekomm die stammfunktion nicht hin

$\begin{eqnarray*} M=2\pi\int_{1}^{2}e^{\frac{1}{2}x+4}*\sqrt{1+(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x+4})² } dx \end{eqnarray*}$

da ich die aufgabe vorrechnen muss , brauch ich dringend diese stammfunktion.
hoffe jemand kann mir helfen.

18.05.2005, 17:41

Frooke

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RE: stammfuntion zur mantelfläche von rotationskörpern
$\begin{eqnarray*} M=2\pi\int_{1}^{2}e^{\frac{1}{2}x+4}+\sqrt{1+(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x+4})^2 } dx \end{eqnarray*}$

Schreibe für die Exponenten ^2 in LaTex.

EDIT: Vllt bringt Dich die Substitution $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}x+4}=u \end{eqnarray*}$ weiter.

18.05.2005, 18:25

darky

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hmmm bringt mich leider nicht wirklich weiter

2pi* $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ u* $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+(1/2*u)^2} \end{eqnarray*}$

kann ich die wurzel in $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sqrt{(1/2*u)^2} \end{eqnarray*}$ umwandeln und dann die wurzel aus 1 als konstante vors integral ziehen??

18.05.2005, 18:32

brunsi

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antwort
Nein das geht nicht!!

aber ich glaube du hast da auch noch etwas vergessen. wenn du die vorgeschlagene substitution anwendest, dann musst du acuh die 1 vor dem integral mit berücksichtigen, die ist bei dir ganz weggefallen!!

18.05.2005, 18:35

darky

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stimmt muss noch dx nach du umwandeln

wo is da noch ne 1 vor dem integral?

18.05.2005, 18:36

Frooke

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RE: antwort
Vielleicht hat jemand eine bessere Substitution auf Lager (ich kenn mich da ned so aus). Aber KEINE WURZELN BRECHEN!!! Lehrer

Lehrer

!
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Nur so... Vielleicht solltest du die +1 auch noch grad mitsubstituieren. Bringt das was?

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18.05.2005, 18:41

brunsi

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RE: antwort
naja ich bin jetzt so weit, das ich da folgendes stehen habe:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~1~du+ \int_{2}^{1}~\sqrt{1+[(1/2)*u]^2}~du \end{eqnarray*}$

vielleicht fällt dir da ja noch etwas ein??? oder du kommst damit etwas weiter??

18.05.2005, 18:44

darky

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..

18.05.2005, 18:49

Frooke

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Ja sorry, da muss man wohl nochmals substituieren...
$\begin{eqnarray*} z=1+\frac{1}{4}u^2 \end{eqnarray*}$

18.05.2005, 18:49

brunsi

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antwort
was würdest du denn jetzt hier machen?? ich habe die oben angegebene Substitution verwendet. wie würdest du jetzt weiter vorgehen, um das integral mit der wurzel zu lösen???

@Frooke: genau, dass muss man, aber ich dachte du verrätst es nicht und darky kommt selbst drauf!!!

18.05.2005, 18:58

darky

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hatte auch schon dran gedacht, war nur noch am rechnen
ich muss dann ja wieder von du nach dz umwandeln und dann hab ich wieder ein u im term.

hab es dann so versucht aufzulösen

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~1~du+ \int~\sqrt{z}*\sqrt{(1+1/4)/z}~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~1~du+ \int~\sqrt{z*(1+1/4)/z}~dz \end{eqnarray*}$

stimmt das??

und was hast du da vorne gemacht $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~1~du+ \end{eqnarray*}$ wo hast du das hergenommen und wo sind die 2pi geblieben?

18.05.2005, 19:20

brunsi

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antwort
@darky: dein weg ist nicht möglich!!

die 2 pi hab ich mir geschenkt, da sie nur unliebsamme zahlen beim integrieren sind. die hab ich einfach vor das integral gezogen und "erst einmal" vernachlässigt. Bei der Stammfunktion nachher kommen sie wieder hinzu.

ich habe einfach in dieser funktion den e-Ausdruck ddurch u ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~e^{(1/2)x+4}+\sqrt{1+[(1/2)*e^{(1/2)x+4}}]~dx \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~u+\sqrt{1+[(1/2)*u}]~dx \end{eqnarray*}$
so und dann das dx noch durch du ausgedrückt. das bekommst du aber selber hin, falls nicht wir heflen gerne.

und dann hab ich das Integral einfach aufgespalten, da in diesem Integral eine summe vorhanden ist. und dadurch kommst dann das $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~ 1*u du \end{eqnarray*}$ zustande!! (Info: das aber erst, nachdem ich das dx durch du ausgedrückt habe.

18.05.2005, 19:29

Frooke

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
@Frooke: genau, dass muss man, aber ich dachte du verrätst es nicht und darky kommt selbst drauf!!!

Hast recht, war nicht so schlau von mir...

18.05.2005, 19:29

darky

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gut das hab ich verstanden
aber ich weiss grad nich was ich nu machen soll
ich muss doch jetzt nochmal substituieren und dann bei beiden integralen du nach dz umwandeln , oder?
und was an meinem weg geht nicht??

18.05.2005, 19:31

brunsi

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RE: antwort
macht ja nichts Frooke, kann jedem passieren. Mal schauen, ob der threadschreiber es hinbekommt?? ist eigentlich nicht so schwer.

ICh glaube seine Probleme liegen bei der Bildung der ableitung dieser e-Funktion. denn dadurch kann er auch das dx evtl nicht richtig durch du ausdrücken!!

edit: @darky: du hast unter dder wurzel ein z zuviel daher geht das nicht!!

18.05.2005, 19:45

darky

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ich hab ja das hier
$\begin{eqnarray*} z=1+\frac{1}{4}u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{1}{2}u \end{eqnarray*}$

und so wie ich das gelernt hab mit dem umwandeln von du nach dz geht das so

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{dz}{du} \end{eqnarray*}$

und dann hab ich da nochn z drin , denn ich muss ja das u durch ein z ersetzen

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{(1+1/4)/z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=1/(\sqrt{(1+1/4)/z})dz \end{eqnarray*}$

dort muss dann ja irgendwo nen fehler sein , oder?

bin wohl nich ganz auf der höhe heute

18.05.2005, 20:12

Mathespezialschüler

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RE: antwort
Alle mal tief durchatmen und wenns geht, von vorne anfangen! Ihr redet alle aneinander vorbei!

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~e^{(1/2)x+4}+\sqrt{1+[(1/2)*e^{(1/2)x+4}}]~dx \end{eqnarray*}$

@brunsi & Frooke
Beim Integral von darky ist es ein Multiplikationszeichen und kein Additionszeichen. Also das gesuchte Integral ist

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int_1^2~\operatorname{e}^{\frac{1}{2}x+4}\cdot \sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\operatorname{e}^{\frac{1}{2}x+4}\right)^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Deswegen kamen auch die Missverständnisse, dass da die 1 nach vorn gezogen wurde.
Ich hab hier nicht alles überblickt, weil die latex-Codes sehr konfus aussehen, weil es keine Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} a/b \end{eqnarray*}$ sind. @darky $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ geht mit "\frac{a}{b}". Aber wenn ihr alle drei an einem falschen Integral gearbeitet habt, solltet ihr nochmal von vorn anfangen.

Die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{2}\operatorname{e}^{\frac{1}{2}x+4} \end{eqnarray*}$ ist aber ok (das 0,5 hab ich zugefügt, damit es einfacher wird ...). Dann erhält man

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}u=\frac{1}{4}\operatorname{e}^{\frac{1}{2}x+4}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int\limits_{\frac{1}{2}\operatorname{e}^\frac{9}{2}}^{\frac{1}{2}\operatorname{e}^5}~4\sqrt{1+u^2}~\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

18.05.2005, 20:14

Frooke

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Danke für die «Dekonfusion»!

18.05.2005, 20:17

darky

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wenn das von eben nu richtig ist kommt das da hin

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sqrt{1+1/4z}}~dz+ \int~\sqrt{z}*\sqrt{1+1/4z}dz \end{eqnarray*}$

sagt ma ob das jetzt stimmt

18.05.2005, 20:20

Mathespezialschüler

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RE: antwort
Ich hatte mich gewundert, warum brunsi trotzdem ein ähnliches Integral erhielt:

Zitat:

Original von brunsi
ich habe einfach in dieser funktion den e-Ausdruck ddurch u ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~e^{(1/2)x+4}+\sqrt{1+[(1/2)*e^{(1/2)x+4}}]~dx \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{1}~u+\sqrt{1+[(1/2)*u}]~dx \end{eqnarray*}$
so und dann das dx noch durch du ausgedrückt. das bekommst du aber selber hin, falls nicht wir heflen gerne.

So geht das natürlich nicht! Du darfst nicht bei der Funktion schon ein u haben, wenn du hinten immer noch dx stehen lässt. So sollte man das auf keinen Fall machen, das verwirrt nur! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich weiß ja, dass du es nicht so hast mit der genauen Schreibweise, aber wenn es den Fragesteller verwirren könnte, dann ist das leider nicht mehr ok, brunsi! Nicht böse gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@darky
1. Bitte lies dir meinen Beitrag durch!
2. Bitte schreibe mit $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , dann bin ich auch gewillt, dir zu helfen. Was bedeutet $\begin{eqnarray*} 1/4z \end{eqnarray*}$ ?? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4z} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}z \end{eqnarray*}$ ??
3. Habe ich jetzt schon eine Substitution durchgeführt, möchtest du nicht damit weiterrechnen?

Gruß MSS

18.05.2005, 20:20

darky

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ok streichen wir das , das sieht doch schon viel besser aus

18.05.2005, 20:23

brunsi

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antwort
da bin ich wohla uch von falschen voraussetzungen ausgegangen.

ich glaub ich werde langsam alt. naja dann machen wir mal da weiter wo MSS aufgehört hat nicht wahr??? unglücklich

unglücklich

" border="0" alt="ICh glaube ich schaue mir die aufgabe nächstes mal genauer an und gehe auch lieber von dem Integral des Threadschreibers aus *gg*!!Was ich in diesem fall leider nicht getan habe!! unglücklich

unglücklich

" />

edit: @MSS: ich hab ja geschrieben, dass das dx noch durch du ausgedrückt werden muss. das hab ich mir gespart, weil darky das selbst machen sollte ud ich ihm nicht alles in den mund legen wollte.

18.05.2005, 20:34

darky

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und der fehler geht wohl auf meine kappe , da stand angangs das plus , hab das aber noch korrigiert , war aber wohl zu spät

18.05.2005, 20:41

brunsi

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antwort
naja istnichts os chlimm, dann machen wir das jetzt noch mal richtig, ich brauch nen kleinen vorlauf um das integral jetzt noch einmal richtig bzu lösen, da ich das alles per hand machen muss. hab keinen taschenrechner der das für mich macht!!

18.05.2005, 20:53

Mathespezialschüler

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Nagut, das neue Integral ist sehr schwer zu lösen. Falls dies eine Schulaufgabe ist, ich würde es einem Schüler nicht zutrauen!
Hier mal die Lösung:

$\begin{eqnarray*} 2\pi \int\limits_{\frac{1}{2}\operatorname{e}^\frac{9}{2}}^{\frac{1}{2}\operatorname{e}^5}~4\sqrt{1+u^2}~\mathrm{d}u=8\left[\frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right)\right]_{\frac{1}{2}\operatorname{e}^\frac{9}{2}}^{\frac{1}{2}\operatorname{e}^5} \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

18.05.2005, 20:55

darky

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ah da lag mein fehler in der stammfunktion
zu hoch für mich, muss ich wohl nochn bisschen üben

vielen dank für die hilfe Gott

Gott

Prost

so nu stimmt auch das ergebnis smile

smile

nochmal danke an euch

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

18.05.2005, 21:19

brunsi

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antwort
@MSS: hast du die Integration auch mit 2-maliger Substitution gemacht? wenn ja, was hast du denn für die letzte substitution raus?

ich komm da nämlich irgendwie nur auf das:

$\begin{eqnarray*} 16\pi [\frac{2}{3}* z^{3/2}]_{b}^a \end{eqnarray*}$ als stammfunktion raus. natürlich muss ich das dann noch resubstituieren. aber kann meins denn angehen?

ich hab die substitutionen verwendet, die Frooke und ich zusammen ausgeckt haben!!

18.05.2005, 21:19

Mathespezialschüler

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Bitte

Augenzwinkern

@brunsi
Bei welchem Integral sind wir denn?

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+z^2}~\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

?? Deine Funktion kann sicher keine Stammfunktion dazu sein, guck doch mal die Ableitung davon an! Wie gesagt, eine Stammfunktion zu finden, ist nicht ganz einfach! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

18.05.2005, 21:24

brunsi

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antwort
gern geschehen!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

auch wenn ich dir nicht so wirklich helfen konnte, weil da irgendwie nen Zeichenfehler drin gewesen ist und wir das nicht bemerkt hatten.

@MSS: haste das noch mal nachgerechnet?? ich will hier schließlich keinen fehle rmachen. leg mir jetzt mal nen ordner mit so ganzen funktionen etc. an.

alles was hier so rein kommt und ich mitgestalte nehme ich auf. mal schauen, wieviel am ende des jahres zusammen gekommen sein wird *gg*!!

edit: dann poste ich jetzt mal rein, was ich gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} 4\pi\int_{2}^{1}~e^{(1/2)x+4}*\sqrt{1+[(1/2)e^{(1/2)x+4}]²}~dx \end{eqnarray*}$

Dann mit Substitution:

$\begin{eqnarray*} e^{(1/2)x+4}=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=(1/2) e^{(1/2)x+4} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{e^{(1/2)x+4}}*du=dx \end{eqnarray*}$

Damit:

$\begin{eqnarray*} 4\pi\int_{2}^{1}~u*\sqrt{1+[(1/2)u]^2}*(2/u) du \end{eqnarray*}$ und integral noch vereinfachT:

$\begin{eqnarray*} 8\pi \int_{b}^{a}~\sqrt{1+[(1/2)u]^2}~du \end{eqnarray*}$

Dann geht es mit der 2.Substitution weiter:

$\begin{eqnarray*} 1+(1/4)*u^2=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=(1/2)u \end{eqnarray*}$

umgeformt:

$\begin{eqnarray*} 2dz=du \end{eqnarray*}$

so und nun substituiert:

$\begin{eqnarray*} 8\pi*2 \int_{b}^{a}~\sqrt{z}~dz \end{eqnarray*}$

so und das dann integriert müsste doch meine obige formel ergeben??!!

18.05.2005, 22:29

Mathespezialschüler

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=(1/2)u \end{eqnarray*}$

umgeformt:

$\begin{eqnarray*} 2dz=du \end{eqnarray*}$

Huch, wo ist das u geblieben?
Wie gesagt, so einfach geht es sicher nicht! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

19.05.2005, 09:10

brunsi

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RE: antwort
dann müsste ich doch diese gleichung einfach nach u umstellen ??

$\begin{eqnarray*} 1+(1/4)*u^2=z \end{eqnarray*}$

aber wie stelle ich denn diese nach u um? da kommen ja zwei lösungen wegen dem Quadrat im Exponenten von u in Frage!! wie müsste man denn hier weiterverfahren, wenn ich jetzt diese beiden lösungen für u=... habe??

fährt man da sozusagen zweigleisig wieter???

19.05.2005, 09:51

Leopold

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Das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{a^2+b^2 x^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

wird mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac{a}{b} \sinh{t} \end{eqnarray*}$ gelöst. Dabei macht man sich ähnlich wie beim trigonometrischen Pythagoras die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} \cosh^2{t} - \sinh^2{t} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}(\sinh{t}) = \cosh{t} \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ zunutze. Das dabei entstehende Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\cosh^2{t}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ wird analog zu $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\cos^2{t}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$ mit partieller Integration, wieder unter Zuhilfenahme der Funktionalgleichung, behandelt.

19.05.2005, 12:20

Mathespezialschüler

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Leopold macht es sich natürlich wieder einfach. Vorausgesetzt man kennt sinh, cosh, deren Ableitungen, Funktionalgleichung etc., ist es natürlich die einfachste Lösung.
Ich bin jetzt mal, wahrscheinlich nicht zu Unrecht, davon ausgegangen, dass dies nicht bekannt ist. Und dann wird es eben doch ein Stückchen schwerer!

@brunsi
Das sind eben die Tücken der Substitution. Die Substitutionsregel ist eigentlich (in der "exakten" Mathematik) klar formuliert mit eindeutigen Voraussetzungen. Und du musst halt hier jetzt eine Fallunterscheidung machen.
Aber es ist gut, dass du das erkannt hast! Ich hab mich da nämlich auch schonmal in etwas reingeritten. Leopold weiß, wovon ich spreche ... Big Laugh

Big Laugh

Gruß Max

19.05.2005, 17:07

brunsi

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antwort
ok, dann hab ich jetzt noch mal ne Frage an LEOPOLD oder jemanden, der sich damit auskennt.

Leopold hat das hier geschrieben:

$\begin{eqnarray*} nd \mathrm{d}(\sinh{t}) = \cosh{t} \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

wie kommt dieses zu stande???

und was bedeutet das h in dem unterer Formel:

Zitat:

x = \frac{a}{b} \sinh{t}

???

19.05.2005, 17:14

iammrvip

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@brunsi
Hallo Wink

Wink

Hast du schon mal was vom hyperbolischen Funktionen gehört verwirrt

verwirrt

Nach Definition:

$\begin{eqnarray*} \sinh x := \frac{1}{2}\left(\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cosh x := \frac{1}{2}\left(\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

19.05.2005, 17:27

brunsi

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antwort
hab ich eben nicht,d aher weiß ich auch nichts damit anzufangen. kannst du mir das mal anhand einer graphik verdeutlichen und das dann acuh noch erklären??

vor allem, wann nehme ich solche funktionen?? wozu dienen sie??

19.05.2005, 17:29

iammrvip

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Diese Funktionen spielen in der Anwendung eine wichtige Rolle. So z.B. bei Hochspannungsleitungen.

/edit: Siehe auch hier und hier.

Hier noch ein kleines Bildchen dazu:

19.05.2005, 18:09

brunsi

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Frage
und wie erkenne ich, dass ich hier bei diesem integral diese funktionen benutzen muss?

19.05.2005, 18:22

Mathespezialschüler

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@brunsi
Das musst du doch gar nicht! Es ist nur eine, aber nicht die einzige Möglichkeit, dafür aber die einfachste.
Du weißt doch selbst schon, dass soetwas Erfahrung ist und wenn du die Funktion grad erst kennen gelernt hast, dann wirst du das nicht erkennen. Sowas erkennt man dann vll erst, wenn man die Funktion schon länger kennt und wenn man folgende Formel kennt, die Leopold auch schon gepostet hat:

$\begin{eqnarray*} \cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1 \end{eqnarray*}$

Denn damit lässt sich das Integral vereinfachen, vor allem fällt die Wurzel weg! Ich wusste, dass das 'Verwirrung' gibt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

19.05.2005, 18:51

brunsi

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Antwort
@MSS: es ist egal, ob es verwirrung gibt, aber ich möchte jetzt gerne wissen, wieso ich das einfach anwenden darf??

ist es, weil unter der Wurzel die quadrate sind? und wieso heben sich dann durch LEOPOLDS hilfsmittel die wurzeln auf??

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