Basis von V un dim(V)

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ellocko Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von V un dim(V)
Hab wiedermal nen Beweis mit dem ich nicht gut klar komme:

Sei M eine nichtleere endliche Menge und K ein (der?) Körper mit den zwei Elementen 0 und 1. Für definiere
, ,

(a) Zeigen Sie: V ist eine K-Vektorraum
(b) Bestimmen Sie eine Basis von V und dim(V)

Könnte mir jemand speziell bei den Basen helfen? Ich weiß nicht wie man die bestimmt...
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal: ja DER Körper mit 2 Elementen.
Ansonsten kannst du auch P(M) explizit angeben, sind ja nur 4 Elemente.
damit kannst du die VR-Axiome im Notfall überprüfen, in dem du einfach alle Kombinationen von Vektoren X,Y durchprobierst
Für die Basis:
was ist die 'Null' in deinem VR?
Probiere erst ob du mit einem anderen Element als Basis alle Elemente darstellen kannst, wenn es nicht reicht, nimm 2 Basiselemente und so weiter.
Ansonsten gilt auch hier: die Basis eines VR ist nicht eindeutig, es gibt mehrere verschiedene.
ellocko Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge V ist ja dann explizit .
Wenn ich jetzt jede Kombination von Elementen ausbprobiere, klappt es bei den definerten Regeln der Multiplikation und bei der Addition bei den Kombinationen in denen das letzte Element nicht vorkommt. Damit sind aber nicht alle Regeln für alle Kombis erfüllt und V ist kein Vektorraum über K? Ich sollte doch aber zeigen, dass es einer ist? verwirrt

Zur (b):
Ist dann die Basis von V ? Die "Null" ist doch so gesehen das Gleiche wie die leere Menge, oder? Wenn sich mit der 0 die leere Menge darstellen lässt, dann müsste ich doch mit der Basis alle 4 Elemente darstellen können... Hammer

Und müsste dann doch gelten...?

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

An welche Stelle hapert es denn genau bei den VR-Axiomen, soweit ich das überblicke, sollte es schon funktionieren.
deiner Überlegungen zur Basis sind alle richtig, es passt nur nicht zusammen, das du erst zeigst, es ist kein VR und danach die Basis angibst.
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