Umkehrregel

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07.03.2004, 15:46	herrlado	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrregel Kann jemand bitte erklären wie ich Umkehrregel anwende? Z.B. Gegeben sei Funktion A, und wie könnte die Aufgabestellung lauten? Danke!
07.03.2004, 16:57	thaxd	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrregel Ich denke mal das du damit das erstellen einer Umkehr funktion meinst. Na das ist eigentlich nicht so schwer. Du musst nur dir Funktion nach x umstellen und dann für x-ybzw für y-x schreiben. Bsp.: f(x)=X²-4 y=X²-4 y+4=x² x=wurzel aus(y+4) y=wurzel aus(x+4)
07.03.2004, 18:46	herrlado	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, Ich glaube es war ein bischen eindeutig: Also,ich meine: Regel zur Differentiation von Umkehrfunktionen. Bitte wenn es geht anhand eines Beispiels.
09.03.2004, 02:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es gillt allgemein, dass die Ableitung der Umkehrfunktion der reziproke Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion ist. Das muss man aber näher präzisieren. $\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(x)} \end{align}$ Dieser Zusammenhang besteht zwischen der Ableitung einer Funktion und deren Umkehrfunktion in impliziter Schreibweise, also noch VOR der Vertauschung der Variablen, wie recht einfach (in formaler Differentialschreibweise) zu zeigen ist: $\begin{align} f: y = f(x) \end{align}$ $\begin{align} (f^{-1})(x): x = f(y) \end{align}$ $\begin{align} f'(x) = \frac{dy}{dx} \end{align}$ $\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \end{align}$ Somit ist tatsächlich *$\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(x)} \end{align}$* Mit Hilfe dieser Beziehung kann man nun die Ableitung von Funktionen bestimmen, wenn die Ableitung der Umkehrfunktion bekannt ist. Beispiel: Bilde die Ableitung von arcsin(x) y = arcsin(x) y' = dy/dx = ? Umkehrfunktion: x = sin(y) $\begin{align} \frac{dx}{dy} = cos(y) \end{align}$ $\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos(y)} \end{align}$ jetzt muss noch cos(y) mittels sin(y) = x in das Argument x umgerechnet werden: $\begin{align} cos^2(y) = 1 - sin^2(y) = 1 - x^2 \end{align}$ $\begin{align} cos(y) = \sqrt{1 - x^2} \end{align}$ $\begin{align} -> dy/dx = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{align}$ Nach demselben Muster lässt sich (besonders einfach) die Ableitung von ln(x) aus exp(x) ermitteln: f(x) = ln(x) f '(x) = ? Umkehrfunktion $\begin{align} (f^{-1})(x) = e^{x} \end{align}$ $\begin{align} x = e^{y} \end{align}$ $\begin{align} \frac{dx}{dy} = e^{y} \end{align}$ $\begin{align} \frac{dy}{dx} = 1/e^{y} \end{align}$ $\begin{align} \frac{dy}{dx} = 1/x \end{align}$ f '(x) = 1/x Gr mYthos
09.03.2004, 12:59	herrlado	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt verstehe ich es! Vielen Dank!
20.04.2004, 09:25	Besucher	Auf diesen Beitrag antworten »
man, der alte mann da hats ja wohl faustdick hinter den ohren. fetten respekt, der muss ja tausend bücher mit zahlen gefressen haben, haha
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20.04.2004, 13:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte einmal eine anschaulich-geometrische Erklärung der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion geben. (Zum Verständnis sollte man gemäß den folgenden Erläuterungen eine Skizze anfertigen.) 1. Die Graphen von $\begin{align} f \end{align}$ und $\begin{align} f^{-1} \end{align}$ liegen symmetrisch zur Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten. 2. Tangenten des einen Graphen entsprechen Tangenten des anderen Graphen, die bezüglich w symmetrisch zueinander liegen. 3. $\begin{align} f'(x_0) \end{align}$ ist die Steigung des Graphen von f, also der Tangenten des Graphen von f, an der Stelle $\begin{align} x_0 \end{align}$ . Zeichnet man an die Tangente ein Steigungsdreieck mit Abszissenweg=a und Ordinatenweg=b, so gilt also $\begin{align} f'(x_0)=\frac{b}{a} \end{align}$ . 4. Beim Spiegeln geht die Tangente in eine Tangente des Graphen von $\begin{align} f^{-1} \end{align}$ über. Auch das Steigungsdreieck aus 3. wird gespiegelt. Dabei tauschen Abszissen- und Ordinatenweg ihre Werte. Also hat die gespiegelte Tangente die Steigung und damit die Umkehrfunktion die Ableitung $\begin{align} $f^{-1}$'(y_0) \ =\ \frac{a}{b} \ =\ \frac{1}{\ \frac{b}{a}\ } \ =\ \frac{1}{f'(x_0)} \end{align}$ , wobei $\begin{align} y_0 = f(x_0) \end{align}$ ist.
20.04.2004, 13:42	CalcDesaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hübsch. Das ist ja mal eine anschauliche Erklärung.
20.04.2004, 16:41	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Alter Paukertrick: Koordinatensystemfolie unterlegen. Auf ihr die Winkelhalbierende des 1.Quadranten (y=x)einzeichnen. Graph auf neue Folie zeichnen -> (y=x) ebenfalls einzeichnen. Folie umdrehen , so dass( y=x) an dieselbe Stelle kommt. --> Graph der Umkehrfunktion
12.02.2006, 22:55	Kryptisch	Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt einfachere wege um z.b. die ableitung von arcsin herzuleiten... man nehme: Umkehrregel (wiki) $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{1}{(f^{-1})'(f(x))} \end{eqnarray}$ setze ein. $\begin{eqnarray} arcsin'(x)= \frac{1}{sin'(arcsin(x))} \end{eqnarray}$ sin'(x) = cos(x) $\begin{eqnarray} arcsin'(x)= \frac{1}{cos(arcsin(x))} \end{eqnarray}$ additionstheorem sin²x + cos²x = 1 $\begin{eqnarray} arcsin'(x)= \frac{1}{\sqrt{1-sin^2(arcsin(x))} } \end{eqnarray}$ zusammenfassen. $\begin{eqnarray} arcsin'(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } \end{eqnarray}$ fertig.
20.01.2008, 16:56	James-Byron	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich krame hier ein altes Thema raus, aber ich verstehe das gerade nicht: f(x) = ln(x) f '(x) = ? Umkehrfunktion: (f^-1)(x)=e^x so weit komme ich mit... e^x ist Umkehrfunktion von ln(x) dann steht da: x=e^y ist das nun die Umkehrfunktion der Umkerfunktion, also die eigentliche Funktion? dann kommt: dx/dy=e^y wenn ich diesen Punkt verstehen würde wäre der Rest kein Problem, denn da für mich (f^-1)(x)=e^x ist die Ableitung der Umkehfunktion (f^-1)'(x)=e^x und nicht e^y... kann mir das jemand erklären...
01.03.2010, 01:10	later	Auf diesen Beitrag antworten »
mit "y" ist einfach nur ln(x) gemeint, also x=e^ln(x)

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