Rechtssystem |
| 07.03.2004, 20:39 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rechtssystem Der Verweis meiner Lehrerin auf die rechte-Hand-Regel hat mir nicht weitergeholfen, ich hätte schon gerne eine genaue Definition. |
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| 07.03.2004, 22:57 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Rechtssystem Meines Wissens ist der Begriff für den dreidimensionalen Raum so definiert, dass die kanonischen Einheitsvektoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, und jedes Koordinatenkreuz, das aus diesen durch Drehung und Verschiebung hervorgeht. Die Vektoren eines Rechtssystems liegen dann zueinander wie Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger der rechten Hand. Dass man dieses ein Rechtssystem nennt, und nicht das System (1,0,0), (0,0,1), (0,1,0), ist eine Konvention. Das heißt, wenn du letzteres als Rechtssystem definierst, liegen eben diese Vektoren wie die Finger der rechten Hand, du hast dann aber ein anderes Vektorprodukt. Hoffe, das hilft dir erstmal weiter, SirJective PS: Mir ist gerade nicht bekannt, ob man Begriff des Rechtssystems auch ohne einen Prototypen (kan. Einheitsvektoren) allein durch das Skalarprodukt definieren kann. Wenn ja, würds mich interessieren wie. |
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| 09.03.2004, 02:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da das Skalarprodukt kommutativ ist, kann aus diesem nicht geschlossen werden, ob ein Rechtssystem vorliegt. Vielmehr ist das Vektorprodukt dazu maßgebend. Es liegt ein (kanonisches) Rechtssystem (O; x,y,z) vor, wenn die x- y- und z- Achse jeweils durch die kürzeste positive Drehung (+90°) ineinander übergeführt werden können, also x in y, y in z und z in x. Die Einheitsvektoren auf der x-, y- und z-Achse seien Dann ist das Vektorprodukt bzw. Bei der Definition des Vektorproduktes ist es dabei eine wichtige Tatsache, dass der Produktvektor aus den Ausgangsvektoren genau so hervorgeht, wie die z-Achse aus der x- und y- Achse, also die Ausgangsvektoren und der Produktvektor ebenfalls ein Rechtssytem bilden. Gr mYthos |
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| 09.03.2004, 09:57 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ist dann der positive Drehsinn definiert? Ich stell mir jetzt gerade einen beliebigen dreidimensionalen reellen Vektorraum mit Skalarprodukt vor. Kann man in einem so allgemeinen Raum überhaupt von Drehungen sprechen? Mir persönlich würde ja der letze Satz als Richtungsbestimmung des Vektorproduktes völlig ausreichen, aber da die Frage ja nach nach dem "Rechtssystem" war... |
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| 09.03.2004, 17:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Der positive Drehsinn (auch der Umlaufsinn) ist als Drehung gegen den Uhrzeigersinn definiert. Im Raum (R3) bilden die x- und y - Achse doch eine Ebene, und eine Achse kann dort in die andere hineingedreht werden! Es entspricht allerdings den Tatsachen, dass allgemein bei der Definition der Rechts- oder Links - "Händigkeit" eines Systems nicht zu untersuchen ist, ob denn nun ein positiver oder negativer Drehsinn vorliegt. Kennzeichnend für ein Rechtssystem ist die Tatsache, dass das Spatprodukt (a x b).c der Basisvektoren a, b, c positiv ist, d.h. dass (a x b) und c einen spitzen Winkel bilden (a, b nicht parallel). Im Weiteren folgt daraus die Rechtsschraubregel: Drehen wir die x-Achse auf dem kürzesten Weg in die y-Achse und denken wir uns diese Achsen mit einer Schraube verbunden, so zeigt die z-Achse in die Bewegungsrichtung der Schraube. Bei der Definition des Vektorproduktes (a x b) zweier Vektoren a, b ist hinsichtlich dessen Orientierung genau diese Rechtsschraubenregel zugrunde zu legen: Drehen wir a auf dem kürzesten Weg in b und denken wir uns diese Vektoren mit einer Schraube verbunden, so zeigt (a x b) in die Bewegungsrichtung der Schraube. Daraus resultiert die (oft auch in der Physik angewandte) bekannte Rechte-Hand-Regel: In einem Rechtssystem folgen die x-, y, z-Achse so aufeinander, wie der Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand. Dabei kann man durchaus zunächst auch an einen beliebigen (nicht orthogonalen) dreidimensionalen Vektorraum denken. Erst dann, wenn der Mittelfinger senkrecht zur Ebene des Daumens und des Zeigefingers, die selbst auch normal aufeinander sind, gehalten wird, liegt ein orthogonales Rechtssystem vor. Gr mYthos |
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| 11.03.2004, 13:22 | gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Richtung des Uhrzeigersinns hängt ja immer davon ab, von welcher Seite man die durch Vektor a und b aufgespannten Ebene betrachtet. Dies kann aber durch den Vektor c festgelegt werden. Kann man also sagen: a, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, wenn man a über einen Winkel <= 180° und - in Richtung von c gesehen - im Uhrzeigersinnin b drehen kann. Wenn ich das jetzt richtig sehe, habt ihr mir auf alle Fälle schon mal weitergeholfen. |
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