Tangente an einem Kreis durch einen best. Punkt

19.05.2005, 18:01

Basti_mp

Tangente an einem Kreis durch einen best. Punkt

Gegeben ist der Kreis $\begin{eqnarray*} k:x^2-2x+y^2+4y=95 \end{eqnarray*}$ und der Punkt P (-9|8).

a) In welchem Punkten B1 und B2 berühren die Tangenten durch den Punkt P den Kreis k?

So ehrlich gesagt habe ich viele kleine Ansätze aber alle scheitern schon nach wenigen Schritten.

Z.B.: zwei Geraden, die orthogonal zueinander sind, jeweils eine mit dem Stützvektor im Mittelpunkt und im Punkt P. Nur dann ist leider der Schnittpunkt noch nicht auf dem Kreis :-(

Bin für jeden Tipp dankbar!!

19.05.2005, 18:12

Leopold

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Der Kreis hat $\begin{eqnarray*} M(1|-2) \end{eqnarray*}$ als Mittelpunkt und $\begin{eqnarray*} r=10 \end{eqnarray*}$ als Radius. Da die Abszisse von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gleich der Abszisse des linken Kreisrandpunktes und die Ordinate von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gleich der Ordinate des obersten Kreisrandpunktes ist, kann man alles unmittelbar aus der Zeichnung ablesen. Zu rechnen ist hier also rein gar nichts.

19.05.2005, 18:26

Basti_mp

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Ich hätte es jetzt doch noch auf nen anderen Weg probiert. Nämlich um den Punkt P einen zweiten Kreis ziehen, mit dem Radius der Strekce PB1! Dann Sind die Schnittpunkte der beiden Kreise die Punkte B1 und B2

Wie berechne ich nur die Schnittpunkte zweier Kreise? Beim gleichsetzten habe ich dann ja zu viele Unbekannte?!

19.05.2005, 18:33

Leopold

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Ich zitiere mich ja nur ungern selber - aber:

Zitat:

Original von Leopold
Zu rechnen ist hier also rein gar nichts.

19.05.2005, 18:39

Basti_mp

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Ok, was ist eine Abszisse und was sind Ordinaten? (das gleiche wie Koordinaten?)

Aber angenommen die Aufgabe lautet, man solle es rechnerisch lösen??
Danke dir für deine flotte Antwort!! Freude

19.05.2005, 18:41

Leopold

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Abszisse = 1. Koordinate
Ordinate = 2. Koordinate

19.05.2005, 18:59

Krissi123

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Also, wenn ich das ganze rechnerisch lösen sollte würde ich folgendermaßen vorgehen.

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} k: x^{2}-2x+y^{2}+4y=95 ; P(-9/8) \end{eqnarray*}$

Umgeformt in die Normale Kreisgleichung ergibt das ganze nach meiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} k: (x-1)^{2} + (y+2)^{2}=92 \end{eqnarray*}$

Also ist M(1/-2) und r= $\begin{eqnarray*} \sqrt{92} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich folgenden Satz im Kopf:
Die Tangenten von einem Punk P(x/y) an einen Kreis, welcher in Normalform vorliegt berühren den Kreis in den Punkten Q und R. Diese Punkte sind die Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} (x_{p}-x_{m})(x-x_{m})+(y_{p}-y_{m})(y-y_{m}=r^{2} \end{eqnarray*}$

Dann kann man die Schnittpunkte des Kreises mit einer Geraden, die den Kreis in den beiden Berührpunkten der Tangenten berchnen und dann mit der normalen Tangentenglechung die Gleichungen für die beiden Tangenten ausrechnen!

19.05.2005, 21:41

Basti_mp

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hört sich ganz gut an, nur das der Radius 10 ist also $\begin{eqnarray*} \sqrt{100} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Danke euch vielmals!

19.05.2005, 22:56

riwe

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r = 10 und der rest ist ok (polare), aber:
ich würde zuerst über das nachdenken, was leopold geschrieben hat
werner

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Tangente an einem Kreis durch einen best. Punkt

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