wirksam_schätzer???

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20.05.2005, 14:03	laplace	Auf diesen Beitrag antworten »
wirksam_schätzer??? hi meine aufgabe ist: gegeben sind zufallsvarialblen von $\begin{eqnarray} X1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} Xn \end{eqnarray}$ . mit $\begin{eqnarray} E(Xi)=mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(Xi)=sigma^2 \end{eqnarray}$ (wie schreibt man eigentlich in latex mu und sigma,alpha?). $\begin{eqnarray} alpha:=(a1,..,an) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~ai=1 \end{eqnarray}$ . der erwartungswert von $\begin{eqnarray} mu \end{eqnarray}$ wird mit dem schätzer $\begin{eqnarray} \vec{mu}(X1,...,Xn)=\sum_{i=1}^n~aiXi \end{eqnarray}$ geschätzt(beim schätzer mu steht unten noch ein kleines alpha, den pfeil hab ich für schätzer gesetzt, wie macht man einen geraden strich bzw. den schätzerstrich drüber?) für welches $\begin{eqnarray} alpha \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} \vec{mu} \end{eqnarray}$ dir grösste wirksamkeit? haben das thema so gut wie garnicht durchgenommen, schätze das die grösste wirksamkeit erreicht wird wenn die varianz am geringsten ist. also muss $\begin{eqnarray} V(\vec{mu}) \end{eqnarray}$ so klein wie möglich werden. dann hab ich angefangen umzuformen und dabei bin ich nicht weiter gekommen. $\begin{eqnarray} V(\sum_{i=1}^n~aiX)=E((\sum_{i=1}^n~aiX)^2)-E(\sum_{i=1}^n~aiX)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ...=E((a1X1+...+anXn)^2)-mu(a1+...+an) \end{eqnarray*}$ aber das bringt mich nicht voran. wie formt man es besser um?
20.05.2005, 14:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wollen wir zunächst mal die Optik verbessern: Dein Ansatz $\begin{eqnarray} \hat{\mu}=\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_iX_i \end{eqnarray}$ beschreibt alle möglichen linearen Schätzer der Stichprobe. Durch die Zusatzforderung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i=1 \end{eqnarray}$ wird erreicht, dass $\begin{eqnarray} \hat{\mu} \end{eqnarray}$ erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu=\mathbb{E}~X \end{eqnarray}$ wird, d.h., $\begin{eqnarray} \mathbb{E}~\hat{\mu}=\mu \end{eqnarray}$ . Und als besten dieser linearen erwartungstreuen Schätzer (englisch: BLUE = Best Linear Unbiased Estimator) bezeichnet man denjenigen, für den die Varianz des Schätzers (also $\begin{eqnarray} V(\hat{\mu}) \end{eqnarray}$ ) minimal wird. Das "am besten" bezieht sich auf folgende Eigenschaft: Ein Schätzer heißt "besser" bzw. "wirksamer" als ein anderer Schätzer, wenn er eine geringere Schätzvarianz aufweist. Da $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig identisch verteilt sind, lautet die Rechnung einfach $\begin{eqnarray} V(\hat{\mu})=\sum\limits_{i=1}^n~V(\alpha_iX_i)=\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2V(X_i)=V(X_1)\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2 \end{eqnarray}$ Damit ist das Grundproblem darauf reduziert, die Quadratsumme $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2 \end{eqnarray}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i=1 \end{eqnarray}$ zu minimieren. Für letzteres gibt es nun mehrere Möglichkeiten: Ungleichung zwischen arithmetischen und quadratischen Mittel Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
20.05.2005, 15:02	laplace	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so. das aus $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i=1 \end{eqnarray}$ folgt das der schätzer erwartungstreu ist hab ich garnicht dran gedacht, gut zu wissen. werde beide ungleichungen mal probieren und dann mein erebniss posten. danke schonmal.
20.05.2005, 15:48	laplace	Auf diesen Beitrag antworten »
komme mit den ungleichungen nicht richtig klar. wie lautet die die erste ungleichung eigentlich genau. die schwarzsche ungleichung versteh ich nämlich nicht bzw weiss nicht wie ich es hier anwenden kann.
20.05.2005, 15:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (nette Abkürzung: CSU - an all die tiefschwarzen Bajuwaren) lautet $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n~\beta_i^2\right) \geq \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i\beta_i\right)^2 \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ bleiben hier natürlich so, wie sie vorgegeben sind. Und wie du die $\begin{eqnarray} \beta_i \end{eqnarray}$ wählen musst, damit rechts was bekanntes auftaucht, fällt dir sicher selber ein.
20.05.2005, 16:19	laplace	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. dann bekomm ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n~(V(X_i))^2\right) \geq \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_iV(X_i)\right)^2 \end{eqnarray}$ da fehlt glaub ich noch die wurzel über V(X). aber was sagt mir das jetzt über $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$
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20.05.2005, 17:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte ja eher an $\begin{eqnarray} \beta_1=\ldots=\beta_n=1 \end{eqnarray}$ gedacht, aber so geht's auch - Hauptsache sie sind alle einander gleich: Setz doch mal deine Voraussetzung $\begin{eqnarray} V(X_i)=\sigma^2 \end{eqnarray}$ ein! Außerdem sollte man noch wissen, wann in der CSU Gleichheit herrscht: Genau dann, wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n) \end{eqnarray}$ linear abhängig sind.
20.05.2005, 17:46	laplace	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^n~(\sigma^2)^2\right) \geq \left(\sigma^2\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i\right)^2 \end{eqnarray}$ ich werd aber nicht wirklich schlau darüber was das über $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aussagt. mein ziel ist ja $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu minimieren.
20.05.2005, 17:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein - dein Ziel ist, die Varianz $\begin{eqnarray} V(\hat{\mu}) \end{eqnarray}$ zu minimieren, und das zugehörige $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Die CSU liefert nun sowohl eine untere Schranke für die Varianz, also auch den Wert des Vektors $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , für den diese untere Schranke angenommen wird. Also ist diese untere Schranke auch tatsächlich ein Minimum, wie wir es suchen. Und vereinfache doch bitte die erhaltene Ungleichung: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2\right)\cdot n\sigma^4 \geq \sigma^4\cdot 1^2 \end{eqnarray}$
20.05.2005, 20:11	laplace	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n~\alpha_i^2\right)\geq \ 1/n \end{eqnarray}$ mehr sollte glaube ich nicht machbar sein. ist jetzt die gleichheit das kleinste V(mu)?

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