Aussagen über Lineare Abbildungen

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schmida Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen über Lineare Abbildungen
Hallo an alle,
ich habe in Kürze meine erste Prüfung an einer ital. Uni und diese genau über lineare Algebra. Bin beim Durchlernen des Stoffes und wollte die Experten dieses Forums fragen ob diese meine Überlegungen richtig sind.

Nehmen wir an wir haben folgende Abbildung:


1) Wenn die Dim(V) und die Dim(W) gleich groß sind, dann ist die Abbildung bijektiv und somit umkehrbar!
2) Wenn Dim(V)>Dim(W) dann kann (oder muss) die Abbildung surjektiv sein
3) Die Abbildung kann nur dann bijektiv sein, falls Kern(V) nur aus dem Nullvektor besteht und somit auch umkehrbar.
4) Wenn Dim(V)<Dim(W) dann kann die Abbildung injektiv sein, aber immer unter der Vorraussetzung Dim (Kern(V)=0)
5) Eine Abbildung kann somit nur dann bijektiv sein, wenn die Vekoren von V Basen von W(also linear unabhänging und spanW) sind, denn nur dann kann garantiert werden, dass alle Vektoren von W erreicht werden können. (hmm, hoffe das stimmt)

ich hoffe diese Aussagen stimmen halbwegs.

vielen Dank
arnold
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen über Lineare Abbildungen
1, 2 und 5 sind falsch. Bei 1 und 2 betrachte die Abbildung T(v)=0.

Bei 5 bedenke, daß V und W nicht identisch sein müssen und daß also die Vektoren von V (erst recht deren Basis), keine Elemente von W sein müssen.
schmida Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank Mr. klarsoweit,

zu Aussage1) wenn ich aber annehme, dass Ker(T) nur aus dem Nullvektor besteht, somit Dim(ker(T))=0, dann sollte es stimmen, dann sollte meine Aussage stimmen.

zur Aussage 2) wenn ich wieder annehme, dass Ker(T)=0 ist, und weiters, dass die Dimension von V > als die von W ist dann kann die Abbildung doch surjektiv sein. Nehmen wir an zb:von R3---->R2, dann sollte es doch möglich sein dass die Abbildung surjektiv ist!

zur Aussage 5) Das mit den Basen, glaube habe da was verwechselt, aber auf jeden Fall kann die Abbildung nur bijektiv somit umkehrbar sein, wenn Dim(Ker(T))=0 und somit gilt: Dimension Abbildung = Dimension Bild, da ja Ker(T)=0.

Stimmt das nun soweit, danke
arnold
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

zu deiner 1. ja das würde stimmen, aber damit würdest du vorraussetzen dass die Abbildung injektiv ist und das steht nicht in der Aufgabenstellung.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

aus Dim(Ker(T))=0 folgt injektivität, wie sich leicht zeigen lässt.
schmida Auf diesen Beitrag antworten »

und Aussage 2) die sollte doch auch stimmen, oder ? Falls

dann falls Dim(V)>Dim(W) und Ker(T)=0, dann kann die Abbildung schon surjektiv sein, oder?

danke
arnold
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmida
zur Aussage 2) wenn ich wieder annehme, dass Ker(T)=0 ist, und weiters, dass die Dimension von V > als die von W ist dann kann die Abbildung doch surjektiv sein. Nehmen wir an zb:von R3---->R2, dann sollte es doch möglich sein dass die Abbildung surjektiv ist!

Überlege dir das nochmal unter dem Aspekt, daß gilt: dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)).
schmida Auf diesen Beitrag antworten »

danke und ok mr klarsoweit,

wenn dann nun
dim(V) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)).
Somit sollte gelten Dim(V)=Dim(W), dh: alle Vektoren von W werden durch V abgebildet: das sollte ja dann heißen dass die Funktion surjektiv ist!

Heißt das dann dass dim(V)=dim(W) sein muss damit die Funktion surjektiv ist?

danke
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

es muss nicht so sein.

wenn dim V > dim W ist, dann kann die abbildung auch surjektiv sein, jedoch kann der Kern dann nicht die dimension 0 haben, sondern?
schmida Auf diesen Beitrag antworten »

danke tmo,

dass sollte dann der Fall sein, wenn Ker(T) eben nicht 0 ist, dann muss eben der kern die Differenz haben, dh:

dim Ker(T)=2
dim(V)=5

dann muss eben gelten:

5=2 + 3, wobei dann das Bild von T() eben die Dimension 3 hat, domit dim(v)=5 und dim(w)=3

stimmt das so,
danke
arnold
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmida
5=2 + 3, wobei dann das Bild von T() eben die Dimension 3 hat, domit dim(v)=5 und dim(w)=3

Zunächst ist dann dim(Im(T)) = 3. Sollte dim(Im(T)) = dim(W) sein, dann ist Im(T) = W und die Abbildung surjektiv.
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