Lage von Ebenen

20.05.2005, 17:48

aRo

Lage von Ebenen

Hallo!

ich habe nach wie vor das Problem, dass ich es nicht ganz checke fest zu stellen, wo eine Ebene liegt, und wie ein Punkt zu ihr etc.

Wir haben das Bild, was im Anhang ist, ich hoffe man kann alles erkennen, so etwa im Unterricht gemacht.

also mit $\begin{eqnarray*} \vec{n}*\vec{p}>0 \end{eqnarray*}$ kann man feststellen, wie der Normalenvektor einer Ebene ist. Dabei ist n der Normalenvektor und P ein Punkt auf der Ebene. Ist das ganze größer 0, dann zeigt n vom Ursprung weg - stimmt doch so, oder?

Wenn der NOrmalenvektor also vom Ursprung weg zeigt, und ich einen negativen Abstand erhalte, liegt der Punkt unter der Ebene (sofern die Ebene über dem Ursprung liegt). Wie sieht es aus, wenn die Ebene unter dem Ursprung liegt?

Dies sind erstmal genug Fragen, oder Sachen richtig zu stellen.
Ich bitte jmd. mir zu helfen!! :-)

grüße,
aRo

20.05.2005, 18:56

Leopold

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siehe hier

20.05.2005, 20:04

aRo

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ok, das ist ja alles sehr schön und danke dir hierfür!

Kannst du trotzdem die Fragen beantworten, die ich da genau gestellt habe?
So wie du das machst klingt das zwar auch schön, aber so haben wir es nicht gemacht.

Wie ginge denn das hier zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2: 8x_1-5x_2-4x_3 = 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R(1/-2/-3) \end{eqnarray*}$

Bestimme wie die Ebenen und R im Raum liegen...

gruß,
aRo

20.05.2005, 21:02

riwe

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bringe E1 auf koordinatenform und setze das um, was leopold geschrieben hat, dann erhältst du das, was du siehst.
ich lasse die normierung weg: d(E1,O) = 24, d(E2,O) = -13, d(E1,R) = 54, d(E2,R) = 17, und nun siehe oben)
werner

20.05.2005, 22:06

aRo

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ich glaub ich checks noch immer nicht richtig.

das von leopold funktioniert ganz toll, aber irgendwie kann ich aus meinen ganzen informationen doch noch nicht die genaue anordnung festlegen.

Wieso hast du denn den NOrmalenvektor von E1 umgedreht?

gruß,
aRo

20.05.2005, 22:38

riwe

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ich habe den normalvektor nicht umgedreht, bei mir heißt er halt
$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} =\frac{1}{\sqrt{105}}\begin{pmatrix} 8 \\-5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(positive x-achse zeigt nach vorne, aber da kann auch die perspektive täuschen)
aber das ist für die lagebeurteilung eh egal
vielleicht hilft es:
d(E1,O) = 24 und d(E2,O) = -13 => die beiden ebenen liegen auf verschiedenen seiten des ursprungs, bzw. O liegt "unterhalb" von E1 und "oberhalb" von E2.
d(E1,R) = 54 => O und R liegen auf derselben seite der ebene, also im selben halbraum bezüglich der ebene E1, hier also beide "unterhalb"
d(E2,R) = 17 => O und R liegen auf verschiedenen seiten der ebene E2

(und aus den beträgen der abstände kannst du noch weitere schlüsse ziehen bezüglich der "reihenfolge", s. skizze)
mach halt immer aus deinen informationen eine bildchen, wenn du dir nicht sicher bist!!!
werner

20.05.2005, 22:52

aRo

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Zitat:

Original von wernerrin
d(E1,O) = 24 und d(E2,O) = -13 => die beiden ebenen liegen auf verschiedenen seiten des ursprungs, bzw. O liegt "unterhalb" von E1 und "oberhalb" von E2.

diese Aussage kannst du doch so einfach nicht treffen, oder doch?!

Dazu müsstest du doch wissen, wie der Normalvektor gerichtet ist...

gruß,
aRo

20.05.2005, 23:15

riwe

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die kennst du ja eh, du mußt dich nur darauf einigen, dass z.b a1 (faktor von x1) bei beiden ebenen dasselbe vorzeichen hat, damit legst du die richtung der beiden vektoren relativ zueinander fest, ob der eine dann nach oben und der andere nach unten oder umgekehrt zeigt, ist ja egal
so sehe ich es und denke, dass es stimmt
werner
(vielleicht liegt/lag da das problem)

20.05.2005, 23:32

aRo

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entweder ist es jetzt schon zu spät für mich oder....
wenn ich x1 bei beiden Ebenen mit dem gleichen Vorzeichen mache, müssen sich die anderen doch sowieso auch anpassen, sonst sind die Vektoren doch nicht mehr "gleich"..!

Was mein Problem ist:
Je nachdem, wie n gerichtet ist, kommen ja entweder negative oder positive Abstände zum Beispiel zum Ursprung raus.
Wie lege ich denn nu fest, was richtig ist?!

Gruß,
aRo

21.05.2005, 10:31

riwe

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Zitat:

Original von aRo

Was mein Problem ist:
Je nachdem, wie n gerichtet ist, kommen ja entweder negative oder positive Abstände zum Beispiel zum Ursprung raus.
Wie lege ich denn nu fest, was richtig ist?!

Gruß,
aRo

genau das habe ich ja gemeint,
am beispiel oben
aus dem exprodukt der beiden spannvektoren erhält man
E1: -8x + 5y + 4z - 24 = 0
(oder genau vorzeichenverkehrt, wenn du die reihenfolge der vektoren umgekehrt gewählt hast)
E2: 8x - 5y - 4z - 13 = 0

wenn du jetzt O(0/0/0) einsetzt erhältst du bei beiden einen negativen wert
und hier gilt das, was ich oben meinte; du mußt dich für eine richtung des normalenvektors "entscheiden", sonst kannst du natürlich aus dem vorzeichen nichts beurteilen.
wenn ich es richtig verstehe, steht es sinngemäß ja so auch im post von leopold (f(x1,x2,x3) => a1, a2, a3 sind gleich, natürlich ist "a0" bei 2 ebenen verschieden),
der langen rede kurzer sinn: du mußt (-8/+5/+4) und natürlich (a_01= -24) mit (-1) multiplizieren. nun schauen eben die normalvektoren in dieselbe richtung, und damit erhält man eine richtige beurteilung der gegenseitigen lage.
nun hast du E1: 8x - 5y - 4z + 24 = 0
und E2: 8x - 5y - 4z - 13 = 0
(a1 = 8, a2 = - 5, a3 = - 4)
oder umgekehrt E1: -8x + 5y + 4z - 24 = 0
und E2: - 8x + 5y + 4z + 13 = 0
(a1 = - 8, a2 = 5, a3 = 4)
und du siehst sofort, dass E1 und E2 auf verschiedenen seiten von O liegen, bzw. O zwischen ihnen

ich hoffe, ich habe die verwirrung nicht noch größer gemacht
werner

21.05.2005, 11:43

Leopold

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Ich habe mir angewöhnt, mich um die Richtung des Normalenvektors nicht zu scheren, sondern, nachdem ich mich einmal auf eine Normalenform festgelegt habe (egal welche!), nur die Vorzeichen der Punkte zu beachten, um zu entscheiden, ob sie im selben Halbraum liegen oder nicht. Statt daß ich mich also irgendwo im Anschauungsraum verheddere (oben, unten, links, rechts, vorne, hinten - was soll das alles bedeuten?), argumentiere ich relativ.

Im konkreten Beispiel geht das so (ich beziehe mich auf aRo's zweiten Beitrag).

Zunächst einmal stellt man sofort fest, daß der Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ auf den Richtungsvektoren von $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ senkrecht steht (Skalarprodukt), die Ebenen somit parallel sind. Für $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ kann man daher den Ansatz $\begin{eqnarray*} 8x_1-5x_2-4x_3 = c \end{eqnarray*}$ machen und erhält, wenn man die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} A_1(3|4|7) \end{eqnarray*}$ einsetzt, $\begin{eqnarray*} c=-24 \end{eqnarray*}$ . Die Ebenen haben also die Normalenformen

$\begin{eqnarray*} E_1: \ f_1(x_1,x_2,x_3) = 0 \ \ \text{mit} \ \ f_1(x_1,x_2,x_3) = 8x_1-5x_2-4x_3+24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2: \ f_2(x_1,x_2,x_3) = 0 \ \ \text{mit} \ \ f_2(x_1,x_2,x_3) = 8x_1-5x_2-4x_3-13 \end{eqnarray*}$

Jetzt besorge ich mir noch einen Punkt von $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} A_2(1|-1|0) \end{eqnarray*}$ . Man erhält die folgende Vorzeichentabelle, wenn man die Punkte in $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ einsetzt (ich schreibe $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ bei positivem, $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ bei negativem Vorzeichen; $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ sei der Ursprung).

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} & O & R & A_1 & A_2 \\ f_1 & + & + & 0 & + \\ f_2 & - & + & - & 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ liegen also im selben Halbraum bezüglich $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ (grün schraffiert), denn beide haben dasselbe (hier positive) Vorzeichen bezüglich $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ . Ebenso liegen $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ im selben Halbraum bezüglich $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ (rot schraffiert), denn beide haben dasselbe (hier negative) Vorzeichen bezüglich $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ .

Damit liegt $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ im Schnitt der beiden Schraffuren, also zwischen $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hat bezüglich $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ dasselbe Vorzeichen wie $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ , liegt also ebenfalls im grünen Bereich. $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ hat aber bezüglich $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ das andere Vorzeichen als $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und liegt somit nicht im roten Bereich.

21.05.2005, 13:22

aRo

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okay vielen Dank euch beiden!!
ich glaube ich habe es etwas besser auf jeden Fall verstanden!

Habt ihr Lust mir mal eine Übungsaufgabe rüberzuschmeißen?

Kann es sein, dass es im R3 gar nicht so richtig was wie oben und unten gibt? Also ich meine...kann man denn sicher klar machen, dass E1 unterm Ursprung leigt und E2 darüber, so wie Werner das in einem der ersten Posts meinte?

gruß,
aRo

21.05.2005, 13:48

riwe

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oben und unten natürlich ist relativ (und ganz egal)
werner

21.05.2005, 13:49

riwe

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klarerweise sind oben und unten immer relativ, drum habe ich es immer in anführungszeichen gesetzt
werner

tut mir leid wegen des doppelposts, aber heute geht alles fuchtbar zäh und chaotisch, zumindest hier bei mir

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